第4讲[1].定义新运算.教师版

一 定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二 定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型

3.观察规律型

4.其他类型综合

模块一、直接运算型

【例 1】 若A*B 表示（A ＋3B ）×（A ＋B ），求5*7的值。 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果

求乘积。

由 A*B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312

【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4） 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3

＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.

【解析】

56552613=⨯-⨯=△ 5255222=⨯-⨯=△,1

321216435=⨯-=△

【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示P 与Q 的平均数，求3*(6*8) 【解析】 68373*(6*8)3*(

)3*752

2

++===

=

【例 2】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：

[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

第四讲 定义新运算

[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝ 6×5 ＝30

【巩固】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两

数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：

15

23(0.6)(0.625)

23

35

3411(0.3)(

2.25)

99

6

∙

∙

Θ

+∆∆

+Θ的结果是多少？

【解析】15

23

2

531

(0.6)(0.625)

1

2335382434

1119312

(0.3)( 2.25)9963412

∙

∙

Θ

+∆

+

===∆+Θ+

【例 3】 [A]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计

算:([18][22])[7]+÷= . 【解析】 因为21823=⨯有(11)(21)6+⨯+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式(64)25=+÷=.

【巩固】 x 为正数,表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么

<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .

【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,

所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

【例 4】 已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么

[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .

【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗

425298=⨯-=

【例 5】 （第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运

算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△

狼总等于狼，所以 原式=狼

【例 6】 （北京市 “迎春杯”）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y

⨯⨯∆+,求2△9。

【解析】 根据定义6=2x y x y x y

⨯⨯∆+ 于是有6292295

229

5

⨯⨯∆=

=+⨯

【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()

11

1x y xy x y A *=+

++ ，已知

()()

11

22121

2113

A *=

+

=⨯++，求19981999*。