第4讲[1].定义新运算.教师版
第1讲：定义新运算讲义
定义新运算(★★)(迎春杯试题)规定n※b＝3×n－b÷2。
例如：1※2＝1×3－2÷2＝2。
根据以上的规定，10※6＝()(★★)两个不相等的自然数a、b(b≠0)，较大的数除以较小的数商为a△b，余数记为a◇b，如3△11＝3、3◇11＝2，那么6◇(2△7)＝()。
⑴(★★★)(“从小爱数学”邀请赛)设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b＝3a－2b，例如，当a＝6，b＝5时，6※5＝3×6－2×5＝8。
①计算：(8※7)※9；②已知：x※(4※1)＝7，求：x。
⑵(★★★)规定a○b＝(3a－2b)，例如4○5＝3×4－2×5＝2，那么当x○5比5○x大5时，x等于几？⑴(★★)规定a⊗b＝a×3＋b÷2，其中a、b都是自然数。
①6⊗8的值；②8⊗6的值。
⑵(★★★)定义运算※为a ※b ＝a ×b －(a ＋b )，①求12※(3※4)，(12※3)※4；②这个运算“※”有结合律吗？③如果3※(5※x )＝3，求x 。
⑴(★★★)(“祖冲之杯”数学邀请赛)如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____。
⑵(★★★★)(中环杯试题)已知A *B ＝A ×B ＋A ＋B则101*9*9*9**9*9 共次运算＝__________。
(★★★★★)定义a *b 为a 与b 之间(包含a 、b )所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14＝(7＋9＋11＋13)÷4＝10，18*10＝(18＋16＋14＋12＋10)÷5＝14。
在算式□*(19*99)＝80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
找规律、程序运算和新定义-教师版
在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 从数与式的特征观察； 从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况.规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在以往“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，现在又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.模块一：找规律 数字规律【例1】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -，________，__________； (2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【答案】(1)565,6a a -(2)200720082007,2008a a - (3)()11n n na --【例2】 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公 式，找规律、程序运算和新定义同步练习知识讲解从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第(1)n n …个数据是___________ 【解析】每个分数的分子之间都是成()23n n ≥且n 为正整数排列,且每个分数的分子与分母差4,所以答案是)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n【答案】)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n【变式练习】观察下列等式：第一行 3＝4-1 第二行 5＝9-4 第三行 7＝16-9 第四行 9＝25-16 第五行 11＝36-25 … …按照上述规律，第n 行的等式为 .【解析】等式左边是成奇数排列,右边是比这个奇数小两位的那两数的平方差,所以答案是()22211n n n +=+-【答案】()22211n n n +=+-【变式练习】下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行 4 5 6------------------第3行7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律,第8行第2个数是【解析】由图知每行的数的个数与行数是相同的,所以每行最后一个数是前面行数数的和,到第7行的最后一个数应该是28,故答案是30.【答案】30【例3】 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．15B ．25C ．55D ．1225【答案】D【例4】 右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n 横行的数字和为 ．【解析】第一行的数字和为：012=，第二行的数字和为：1112+=， 第三行的数字和为：21212++=， 第四行的数字和为：313312+++=，… 第n 行的数字和为：12-n ，前n 行的数字和为：01234122222221-++++++=-n n ．【答案】21n -【例5】 研究下面的一列数：1，3-，5，7-，9，11-，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n 个数.【答案】1(21)(1)+--n n【例6】 右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于1A ，2A ，3A ，…．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈(长为7)，从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．【解析】从图形观察每一圈比前一圈长428⨯=(分别在四个角部分各长2)，所以第10圈的长为：7(101)879+-⨯=．11111111111010556443321【答案】79【例7】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n +段，需n 刀，这就是说线段上n 个点将线段分成1n +段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．【解析】绳子对折一次，剪断后的段数为1321=+；绳子对折二次，剪断后的段数为2521=+； 绳子对折三次，剪断后的段数为3921=+； 绳子对折四次，剪断后的段数为41721=+；…… 设绳子对折的次数为n ，经过剪后会变成m 段， （1）当4n =时，42117m =+=； （2）当2003n =时，200321m =+；（3）不能，当2003m =时，有212003n '+=，所以2n '=2002，故2n '-1=1001， 显然，2n '-1是偶数(n '>2)，而1001是奇数，偶数≠奇数，结论成立．【答案】（1）当4n =时，42117m =+=；（2）当2003n =时，200321m =+；（3）不能，当2003m =时，有212003n '+=，所以2n '=2002，故2n '-1=1001【例8】 图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层，第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：⑴ 按照要求填表：⑵ 写出当10n =时，s =．【答案】⑴ 123410+++=．⑵ 12341055+++++=．【例9】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？n12 3 4 … s 1 3 6 …图1 图2 图3这个点阵共有多少个点？【解析】我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：1； 第二层有点数：16⨯； 第三层有点数：26⨯； 第四层有点数：36⨯； ……第n 层有点数：(1)6n -⨯．因此，这个点阵的第n 层有点(1)6n -⨯个．n 层共有点数为 ()116263616n +⨯+⨯+⨯++-⨯()16121n =++++-⎡⎤⎣⎦()()111162n n +-⨯-⎡⎤⎣⎦=+⨯()131n n =+-．【答案】()131n n +-图形数数规律【例10】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________【解析】由图可知，可列表第n 层………… …… 次数1 2 3……木块数2 10 18 ……由上表发现，后面每次镶嵌的木块都比前一次增加8块，即第n 次镶嵌木块数为()28186n n +-=+（块）观察图形变化可找规律，从表格中数量变化也可寻找规律，因此可以从“数”“形”两方面解 决此类问题。
专题九 新(定义)运算-2020春北师大版七年级数学下册习题课件(共13张PPT)
3．对于任意有理数a，b，定义运算如下： a*b＝(a－b)×(a＋b)，则(－3)*5的值为_－__1_6____．
4．现规定一种新的运算△：a△b＝ab，如4△2＝42＝16，
则(－
1 2
)△3的值为__－__18____．
5．对于任意一个正数m，定义[m]为取数m的整数部分， 即[3]＝3，[2.63]＝2，[4.3]＝4.计算： (1) [7.38]＝___7_____； (2) [3.69]＋[5.21]＝__8______； (3) [6.43+2.58]＝__9______．
(1)计算－2 3的值； (2)当a，b在数轴上位置如图所示时，化简a b.
(1)根据题中的新定义得：原式＝2－3－5＝－6； (2)由a，b在数轴上位置，可得a－b＞0， 则a b＝ a － b － a b ＝a＋b－a＋b＝2b.
10．对于实数a，b，c，d，规定一种运算 a b ＝ad－bc，例如
6．定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n＋5；
②当n为偶数时，结果为
n 2k
n
(其中k是使 2k
为奇数的正整数)，并且
运算重复进行．
例如：取n＝26，则运算过程如图：
那么当n＝9时，第2 019次“F运算”的结果是_______8_________．
7．新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n！表示，
cd
2 3 ＝2×5－3×4＝10－12＝－2，再如 x x 3 ＝－2x－3(x－3)
45
3 2
＝－5x＋9.
x 8 x 1
(1)化简： 3 2 ；
(2)那么当 (x 1) (x 2) ＝27时，求x的值；
小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】 表示
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】
【例 2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【答案】
【巩固】设 △ ，那么，5△ ______，(5△2)△ _____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
,
【答案】
【巩固】 、 表示数， 表示 ，求3 (6 8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1, ,那么
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
四奥第讲定义新运算教案
课题：四奥第四讲定义新运算教学目标：1、使学生认识什么是定义新运算；2、使学生理解新运算的规则并能够按新运算的要求进行计算；3、培养学生分析问题、解决问题的能力；重难点：重点：理解新运算的定义并能够按新运算的要求进行计算；难点：对于题目没有直接告诉我们符号的运算规则时，可以通过观察条件，找到符号的运算规则；教具与学具：本周通知事项：教学过程：一、引入：同学们，告诉你们一个好消息，Ali也来到了巨人课堂，但是他遇到了困难希望同学们能够帮帮他，老师相信乐于助人的你们一定很想快点帮Ali解决困难，好吧，那我们就一起来看看Ali遇到的是什么困难吧。
二、新课教授：例1：设a,b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a－3×b。
试计算5△6，6△5。
【老师】哦，原来是题目中出现了一个奇怪的三角形，Ali不知道是怎么回事，那聪明的你们知道怎么办吗？【学生甲】“△”和我们所学的符号不一样【老师】说的很对，我们以前是没有见过，那我们可不可以根据他所给的来寻找规律，解决下面的题目呢？【学生乙】老师，我知道，根据已知的条件可以知道“△”表示的是△前面一个数乘以4减去后一个数乘以3的差。
【老师】好！同学们掌声鼓励下，这位同学观察得非常仔细，只要我们找到了这个规律，那我们解决下面的问题还难吗？！我们一起来看看。
请同学们上黑板做，然后再一起规范过程解：因为a△b=4×a－3×b5△6=4×5-3×66△5=4×6-3×5=20-18=24-15=2=9同学们确实很聪明，Ali看到这个都不知道该怎么办，但是我们能够很快的解决，不得不承认大家都是聪明的，但是同学们，你们有没有发现，“△”前后的数字交换后，结果就不一样了，所以呢，今天Ali的困难也就是我们今天要学习的新内容“定义新运算”，它不同于我们所学的＋、－、×、÷，赋予我们一种新的定义，在这一讲中，我们会学习利用一些特殊的符号，比如○、△、＃、※、◎……，并利用＋、－、×、÷定义一些新的运算规则。
第1讲-定义新运算(教师版)
第1讲定义新运算教学目标学会理解新定义的内容；理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；学会自己总结解题技巧。
知识梳理一、知识概念1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
典例分析例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求8 ★ 5 。
【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）。
【解析】根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。
第4讲 定义新运算
第4讲定义新运算【重点摘要】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
.例题1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
.练习1、1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
答2、设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
答.例题2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
.1、设p、q 是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
答2、设M、N 是两个数，规定M*N＝M N N M +，求10*20－41。
答.例题3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
.练习3、1、规定 ab a aa aaa aa a b a 个)1(*-+++=，那么8*5=________。
答2、如果2*1=21，3*2=331，4*3=4441，那么（6*3）÷（2*6）=________。
答例题4、规定②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果⑥1－⑦1=⑦1×A，那么，A 是几？1、规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果⑩1+）（111＝）（111×□，那么□＝________。
通用版小学4年级全册数学知识点汇总小四数学第21讲综合复习(二)(教师版)
第21讲(综合复习二)1.定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
2.加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+(点数一1);②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数。
3.逻辑推理基本方法简介：①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。
例如,假设a 是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
初一专题3新定义运算 -教师版
当 a b c 0 时， a b c 1 (a b c a b c) b c ，此时最大值为 b c 11 ；
2 3
11 6 ，
所有计算的结果中的最大值是 11，
故答案为：11．
【总结】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例 8】
对于有理数 a ， b ，定义一种新运算“ ”，规定 a b | a | | b | | a b | ． （1）计算 2 3 的值； （2）当 a ， b 在数轴上位置如图所示时，化简 a b
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可．
故答案为：8．
【总结】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键．
5
【例 7】
观察下列两个等式： 2 1 2 1 1 ， 5 2 5 2 1 ，给出定义如下
33
33
我们称使等式 a b ab 1 成立的一对有理数“ a ， b ”为共生有理数对”，记为 (a,b)
当 PN 2MN 时， NP 18 ，点 P 对应的数为 2 18 16 ，因此 t 9 秒； 第四种情况， M 为【 P ， N 】的美好点，点 P 在 M 左侧，如图 4，
当 MP 2MN 时， NP 27 ，点 P 对应的数为 2 27 25 ，因此 t 13.5 秒；
2
作为 a ， b ， c 的值，进行“ a b c “运算，求在所有计算的结果中的最大值是__________．
【分析】由 a-b-c≥0 和 a-b-c＜0 分别求解可得
新人教版-七年级(初一)数学上册-整式的加减章节-代数式和整式-找规律及定义新运算讲义教案
内容 基本要求略高要求较高要求找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）． 0b-1-2a-3A ．b a -B ．1b a - C ．11a b- D ．2()a b -【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)．⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。
定义新运算.汇总题库教师版
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
第四讲 六年级奥数——定义新运算(教师版)
第四讲六年级奥数——定义新运算（教师版）定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、知识储备二、例题讲解【例】设a b表示整数，规定⊙的运算为：a⊙b=a÷b×3＋5×a－b计算75⊙15。
解题思路：先弄清⊙是怎样的一种运算程序，按规定a⊙b的值是a÷b×3＋5×a－b的计算结果，那么利用代换思维，75⊙15说明此时a是75，b是15，带入算式进行解答75⊙15=75÷15×3＋5×75－15=15＋375－15=3751、对任意整数A B 规定：A ⊙B=9A+3B+1（1）12⊙10 （2）10⊙12139 1272、对任意整数a b 规定：a ⊕b=（a-b ）÷2（1）10⊕4 （2）（29⊕1）⊕43 53、对任意b a ,（b 不为0）规定：32+⨯÷=∆b a b a ，若19256=∆a ，求a 。
324、现定义m ■n ：2m+n+5。
已知（7■a ）■7=64，那么a 的值为多少？75、对于整数a b 规定如下：a ●b=a ×b －a －b ＋6，已知（2●m ）●3=16，求m 。
256、现定义a★b=ab-3。
已知（10★2）★（m★3）=1，m的值为多少？55517、现定义“★”运算为：a★b=ab+a—3，若（2★x）+（x★3）=1，则x的值为多少？568、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，….5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝？179、规定：6※2=6+66=722※3=2+22+222=2461※4=1+11+111+1111=1234则7※5=？8641510、定义某种新运算⊙：S=a⊙b的运算原理，如右侧流程图所示，则5⊙4-3⊙4=？911、定义两种运算⊙和△。
小五数学第19讲：定义新运算(教师版)
第十九讲定义新运算一、定义新运算（1）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
（2）基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3）关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
（4）注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类（1）直接运算型（2）反解未知数型（3）观察规律型（4）其他类型综合（1）正确理解新运算的规律。
（2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。
（3）新运算也要遵守运算规律。
例1.规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。
答案：100。
解析：(2*3)*5= [(3＋2)×3]*5=15*5=(5＋15)×5=100例2.对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。
已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。
答案：6。
解析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x。
例3.如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时， a等于几？答案：5。
解析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5。
第1讲 定义新运算(含解析)
第1讲定义新运算教学目标：①熟系定义新运算的意义；掌握新旧运算的转化方法；熟系定义新运算的类型。
②会用代换法解题，培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野。
教学重点：对新旧运算的转化理解。
教学难点：对代换法解题的掌握。
知识要点：加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉，除了这四种运算，我们还可以定义一些其它运算。
而这种定义，就是按照某种约定，再按照这种约定进行计算。
给这种新运算一个明确的含义，叫做定义新运算。
解题时，需注意以下几点：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
规定a※b＝a×（b＋2），则5※2＝5×（2＋2）＝20，同理可得：3※8＝（）A．24B．30C．26D．40【分析】把a＝3，b＝8，代入a※b＝a×（b＋2），然后按照先算小括号里面的，再算括号外的顺序进行计算即可．【解答】因为a※b＝a×（b＋2）所以3※8＝3×（8＋2）＝3×10＝30故选：B．对于两个数A、B，规定A*B＝A×B÷2，求5*6（）A．15B．30C．25D．10如果定义a△b＝2ab﹣b2，那么7△9＝（）A．56B．45C．77D．14规定一种运算：a※b＝（b＋a）×b，则（3※2）※4＝（）A．56B．40C．9D．24【分析】按规定的计算方法：两个数的积等于两个数的和与后一个数的积，据其先求出3※2的结果，进一步计算即可．【解答】a※b＝（b＋a）×b3※2＝（3＋2）×2＝1010※4＝（10＋4）×4＝56所以（3※2）※4＝56故选：A“定义运算“*”：a*b＝a×b＋b，如2*3＝2×3＋3＝9，则（4*5）*2＝（）A．48B．50C．51D．52如果A☆B＝4×A＋3×B，则2☆（3☆4）的值是．如果1*4＝1234，2*3＝234，7*2＝78，那么4*5＝（）A．4B．20C．45678【分析】由题意得：1*4＝1234，2*3＝234，7*2＝78，里面*后面的数表示从*前面的数开始，要写出的连续的自然数的个数，所以4*5表示从4开始写，连续写出5个自然数，据此解答。
小五数学第19讲：定义新运算(教师版)
第十九讲定义新运算一、定义新运算（1）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
（2）基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3）关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
（4）注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类（1）直接运算型（2）反解未知数型（3）观察规律型（4）其他类型综合（1）正确理解新运算的规律。
（2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。
（3）新运算也要遵守运算规律。
例1.规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。
答案：100。
解析：(2*3)*5= [(3＋2)×3]*5=15*5=(5＋15)×5=100例2.对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。
已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。
答案：6。
解析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x。
例3.如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时， a等于几？答案：5。
解析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5。
小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全
小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第16讲巧算24第2讲数字谜(二)第17讲位置原则第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)第15讲子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
奥数第一讲奥数定义新运算教师版(可编辑修改word版)
定义新运算姓名分数加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉．除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其它运算，并给出特定的运算规则，这样的运算形式我们一般称之为定义新运算．它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙等，这与四则运算中的“+、-、×、÷”表示的意义是不同的，其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同，解题的关键是通过表达式寻找到运算规则．一、假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5 和13*（5*4）。
解析：这道题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算规定了要先算“小括号”里的。
因此，在 13* （5*4）中，就要先算小括号里的5*4。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=2 65*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13 +10）+（13-10）=26举一反三（15 分）1.设a*b=(a+b)×(a-b),求27*9.解：27*9=（27+9）×（27-9）=36×18=648．2. 设 a*b=a2+2b, 求 10*6 和5*（2*8）。
解：（1）10*6 =102+6×2 =100+12 =112；（2）5*（2*8）=5*（22+8×2） =5*（4+16） =5*20 =52+20×2 =25+40 =65．13.设a*b=3a-b ×2 ，求（25*12）*(10*5).解：（25*12）*（10*5） =（25×3-12× ）*（10×3-5× ） =（75-6）*（30-2.5） =69*27.5=69×3-27.5× =207-13.75 =193.25．二、 设 p 、 q 是两个数,规定:.求.解:因为 ,所以:所以:.举一反三（15 分）1.设 p、 q 是两个,规定 :数30△（5△3）＝30△［52 +（5－3）×2 ］.求5△(6△4).解:因为,所以:所以:2.设 p、q 是两个数，规定p△q＝p 2+（p－q）×2。
定义新运算附答案
定义新运算附答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（定义新运算附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为定义新运算附答案的全部内容。
定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。
如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算。
当然，这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“＋”，“－"，“×”，“÷”运算不相同。
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2， 2△3;②这个运算“△"有交换律吗？③求（17△6）△2,17△（6△2);④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。
分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0。
②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有:17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6)△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23,所以17△（6△2）＝23。
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一 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若A*B 表示（A ＋3B ）×（A ＋B ），求5*7的值。
【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4） 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【解析】56552613=⨯-⨯=△ 5255222=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示P 与Q 的平均数，求3*(6*8) 【解析】 68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
第四讲 定义新运算[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝ 6×5 ＝30【巩固】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996∙∙Θ+∆∆+Θ的结果是多少？【解析】15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)( 2.25)9963412∙∙Θ+∆+===∆+Θ+【例 3】 [A]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= . 【解析】 因为21823=⨯有(11)(21)6+⨯+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式(64)25=+÷=.【巩固】 x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【例 4】 已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=【例 5】 （第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以 原式=狼【例 6】 （北京市 “迎春杯”）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
【解析】 根据定义6=2x y x y x y⨯⨯∆+ 于是有62922952295⨯⨯∆==+⨯【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
【解析】 根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116A A A A =-=++==++++，所以()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000+*=+=+=⨯++⨯⨯⨯⨯==⨯⨯模块二、反解未知数型【例 7】 如果a △b 表示(2)a b -⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a △5=30时, a= . 【解析】 依题意,得(2)530a -⨯=,解得8a =.【巩固】 规定新运算※:a ※b=3a-2b.若x ※(4※1)=7,则x= . 【解析】 因为4※1=342110⨯-⨯=,所以x ※(4※1)= x ※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【例 8】 如果a ⊙b 表示32a b -,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x= 【解析】 根据题意x ⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6.【巩固】 对于数a 、b 、c 、d ，规定，< a 、b 、c 、d >＝2ab －c ＋d ，已知< 1、3、5、x >＝7，求x 的值。
【解析】 根据新定义的算式，列出关于x 的等式，解出x 即可。
将1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x ＝1＋x ，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x ＝7，x ＝6。
【例 9】 定义新运算为1a a b b+= ，⑴求2(34) 的值；⑵若4 1.35x = 则x 的值为多少？【解析】 ⑴因为313414+== ，所以212(34)2131+===⑵14 1.354x x +== ，14 1.35 5.4, 4.4x x +=⨯==，所以x 的值为4.4.【例 10】 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++- ，其中a 、b表示自然数.如果(3)23660x **=，那么x 等于几？【解析】 方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．36606061=⨯，即：60*23660=，则360x *=；60345=⨯⨯，即3*360=,所以3x =．方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *23660=，y *2(1)36606061y y =+==⨯,所以60y =，那么也就有x *360=，60345=⨯⨯，即3*360=，所以x 3=．【例 11】 定义a b *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：714=(7+9+11+13)4=10*÷，1810=(18+16+14+12+10)5=14 *÷．在算术(1999)=80**的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？ 【解析】 1999=(19+99)2=59*÷，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是80259101⨯-=；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80260100⨯-=．因此所填的数可能是100和101．【例 12】 （101中学小升初试题）如有a #b 新运算，a #b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x ））=5，则x 可以是________（x 小于50）【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x ）看成一个整体y .对于21#y =5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y 等 于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y 所 代表的式子（21#x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#x ）=8与（21#x ）=16.对于（21#x ）=8可分别解得，把21作被除数时：x =13， 把21作除数时为：x =29，50，…形如21N+8的整数（N 是正整数）.对于（21#x ）=16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x =37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37．模块三、观察规律型【例 13】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算 （3※2）×5。