高三向量知识点及典型例题.docx

9级高三数学总复习讲义——向量

知识清单

一、向量的有关概念

1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量 .向量的大小叫向量的模 ( 也就是用来表示向量的有向线段的长度 ).

2.向量的表示方法:

r r r

⑴字母表示法 : 如a, b,c,L等 .

uuur uuur

⑵几何表示法 : 用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

uuur

O 为在坐标原点 , 终点 A 坐标为⑶坐标表示法 : 在平面直角坐标系中 , 设向量OA的起点

x, y ,则 x, y

uuur uuur

称为 OA 的坐标,记为 OA =x, y.

注: 向量既有代数特征 , 又有几何特征 , 它是数形兼备的好工具 .

3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等

r .两向量a

r r r

与 b 相等,记为 a b .

注: 向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量 :长度为零的向量叫零向量 .零向量只有一个 ,其方向是任意的 .

5. 单位向量 :长度等于 1 个单位的向量 .单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.

6.共线向量 : 方向相同或相反的非零向量 ,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同一直线

r

上.规定 : 0与任一向量共线.

注: 共线向量又称为平行向量.

7.相反向量 : 长度相等且方向相反的向量 .

二、向量的运算

(一 )运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运

算 ,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具 .特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算 ,向量运算问题可以完全坐标化 .

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言

加法与

OA+OB= OC记 OA =(x1,y1), OB =( x1

减法,y2)

uur uuur

OB OA= AB则 OA OB=(x1+x2,y1+y2)

uuur uur

OB OA=（x2-x1,y2-y1）

OA + AB = OB

实 数 与 AB =λ a

记 a =(x,y) 向 量 的

乘积

λ∈ R

则λ a =( λx,λ y)

两 个 向 r r r r r r r r ( x 2 , y 2) 量 的 数

a b a bcos a,b

记 a (x 1, y 1 ),b

量积

则 a · b =x 1x 2+y 1y 2

(二 )运算律

r r

r r r r r r r r

加法：① a b

b a (交换律 );

② (a

b) c a (b c) (结合律 )

r r r r

r r r

r

r 实数与向量的乘积：①

(a b)

a

b ; ② (

)a

a

a ; ③ (

a) (

)a

两个向量的数量积: ① a · b = b · a ; ② ( λ a ) · b = a · ( λ b )= λ ( a · b ); ③

( a + b )· c = a ·c + b · c

注：根据向量运算律可知，

两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，

正确

迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，

2

2

2 a b b 例如 ( a ± b )2= a

(三 )运算性质及重要结论

ur uur

⑴平面向量基本定理

: 如果 e 1 ,e 2 是同一平面内两个不共线的向量

, 那么对于这个平面内任一

r

r

ur

uur

ur uur

ur uur

向量 a , 有且只有一对实数

1, 2,

使 a

1

e

1

2

e

2

，称

1 e 1

2 e 2

为

e 1 ,e 2 的线性组合。

ur uur

; ①其中 e ,e

叫做表示这一平面内所有向量的基底

1

2

ur uur

, 并且这种分

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量

e , e 的方向分解为两个向量的和

1

2

解是唯一的 .

r

ur

uur

r ur

uur

这说明如果 a

1

e

1

2

e

2 且

a

1' e 1

2'

e 2 , 那么

11

2

2 .

ur uur

, 就建立了平面直角坐标系

, 因此平面向量基本

③当基底 e ,e 是两个互相垂直的单位向量时 1 2

定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若 A( x ， y)，则 OA =（ x,y ）；当向量起点不在原点时，向量

AB 坐标为终点坐标减去起点

坐标，即若 A （ x 1,y 1）， B （ x 2,y 2），则 AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)