11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

人教A版选修2—3 精讲细练

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

、知识精讲

.计数原理

.计数原理选取

对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰.

二、典例细练

【题型一】：分类加法计数原理的简单应用

例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层

放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？

【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：

第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法；

第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法；

第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法.

其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，

故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42.

【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏.

变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表：

(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：

第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；

第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；

第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.

由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种)

(2)由题设知共有三类：

第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；

第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；

第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；

由分类加法计数原理知，不同的选法共有

N = 30+30+20=80(种).

【题型二】：分步乘法计数原理的简单应用

例题2:已知集合M= {-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b e M)表示平面上的点，问：

⑴点、P可表示平面上多少个不同的点？

(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？

【解析】:⑴确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值，有6种不同方法;第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上点P的个数为6x6二36・ (2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成:第一步确定d的值，由于GV O,所以有3种不同方法;第二步确定方的值，由于b>0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3x2=6.

【点评】利用分步乘法计数原理解决问题应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的;⑵各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

变式训练1: (2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一

个兴趣小组的概率为( )

C.|

D-4

【解析】：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性

有3x3=9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣

3 1

小组的概率P=§=亍

变式训练2:现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )

A. 56

B. 65

MM 驾4X3X2

D. 6x5x4x3x2

【解析】：每位同学都有5种选择，则6名同学共有5°种不同的选法，故选A.

【题型三】：两个计数原理的综合使用

例题3:现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.

(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？

（2）若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？

（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？【解析】（1）从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.

（2）从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30= 63 000种选法. （3）①高一和高二各选一人作中心发言人，有50X42=2 100种选法；

②高二和高三各选一人作中心发言人，有42X30=1 260种选法；

③高一和高三各选一人作中心发言人，有50X30=1 500种选法.

故共有2 100+1 260+1 500=4 860 种选法.

【点评】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是'吩步”，其次要清楚“分类''或“分步"的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步” 时要正确设计“分步''的程序，注意步与步之间的连续性.

变式训练：7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋•现从这7人中选2 人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

【解析】：

\ 3 /

依题意，既会象棋又会围棋的“多面手''有5+4-7 = 2人.

方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的3人中选1人，再从会下围棋的4人中选1人，共有3x4= 12（种）选法.

第二类，先从既会下象棋又会下圉棋的2人中选1人，再从会下围棋的剩余3人中选1人下围棋，有2x3 = 6（种）选法，由分类加法计数原理得N =12+6=18（种）. 方法二：第一类，“多面手''不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选1人，共有3x2 = 6（种）选法.