11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类加法计数原理
例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:
班别
男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层 有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到 三层有多少种不同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走
学生会生活部部长,有多少种不同的选法?
由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).
变式训练2张探老究师一要从教学楼的一探层究走二到三层,已知从探一层究到三二层有4个扶素梯养可形走,成从二层到三层当有堂2检个扶测梯可走,则张老师从一层到三层有
多少种不同的走法? (2)计数,求出每一类中的方法数; (3)确定题目中是否有特殊条件限制. 解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因 此也应采用分类加法计数原理. (3)若2个相同,又分为以下情况: ⑥若位置三与四相同,则信息为1010. 变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( ) 由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第1课时)(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
根据分步乘法计数原理,共有不同选法的种数为N 30 24 720.
探究 如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件 事共有多少种不同的方法?
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1 步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3 种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，
不同取法的种数为 N 4 3 2 24
环节六:归纳总结，反思提升
1.分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同
N 549
环节三：抽象概括，形成概念
探究
如果完成一件事有三类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法, 在第2类方案中有m2种不同的方法, 在第3类方案中有m3种不同的方法, 那么完成这件事共有多少种不同的方法 ?
N m1 m2 m3
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么 应当如何计数呢?
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?
（1）从书架上任取1本书，有两类方法： 第1类方法是从上层取1本数学书，有6种取法； 第2类方法是从下层取1本语文书，有5种取法．
环节四：辨析理解，深化概念
探究
你能说一说这个问题的特征吗?
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征 是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构 成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数 字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A.9种
B.18种 C.12种
D.36种
-22-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)分两类:①当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; ②不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的
取法.
其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点 每类方案中的每一 每步依次完成才算完成这件事情 种方法都能独立地 (每步中的每一种方法都不能独立
完成这件事
地完成这件事)
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-4-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有
3 种颜色),有A33种方法. 所以区域 1 与 3 同色,共有 4A33=24 种涂色方法.
②区域 1 与 3 不同色:第一步,涂区域 1 与 3,有A24种涂色方法;第二步,
11.1 分类加法计数原固
-2-
1.两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
结论 依据
完成一件事,可以 有 n类不同的方案 .在第 1 类方案中有 m1 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 m2 种不 同的方法,……在第 n 类方案 中有 mn 种不同的方法 完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的 方法
随堂巩固
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。
该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。
以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。
这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。
（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。
（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。
通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。
分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。
该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。
同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。
这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。
（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。
（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。
分类加法计数原理与分布乘法计数原理
1 1 2 , , 2 3 3
3
时，也有4个．
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考向大突破二：分步乘法计数原理
例2：已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示 平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
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应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先 分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原 理． (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题， 可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直 观化．
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变式训练3：上海某区政府召集5家企业的负责人开年终 总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业 各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同 企业的可能情况的种数为________．
因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函 数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的 取值均有6种情况， 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的 二次函数．
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考向大突破三：两个计数原理的综合应用
解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C21C42种情况， 若3人中没有甲企业的，则共有C43种情况， 由分类加法计数原理可得， 这3人来自3家不同企业的可能情况共有C21C42＋C43＝ 16(种)． 答案： 16
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
[解析]（1）设购买笔支，笔记本本，则得将的取值分为三类：①当时，，因为为整数，所以可取，，，，共有4种方案.②当时，，因为为整数，所以可取，，共有2种方案.③当时，，因为为整数，所以只能取2，只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）.
情境设置
新知生成
分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，，做第步有种方法.那么，完成这件事共有种方法.
新知运用
例2已知集合，表示平面上的点，问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
（3）可表示多少个不在直线上的点？
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；混合型问题一般是先分类再分步.
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢？是什么计数法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
公开课分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
高中数学选修2-3第一章计数原理教案11分类加法计数原理和分步乘法计数原理.doc
1・1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）・教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课・课时安排：2课时・教具：多媒体、实物投彫仪.教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一•排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用冇关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的來说，就是研究按某一•规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课, 我们从具体例子出发來学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1・1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1・2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从卬地到乙地共冇多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法.（3）知识应用例1•在填写高考志愿表时，一名高中毕业牛了解到，A,B两所大学各有一些白己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B人学生物学数学会计学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共冇多少种选择呢？分析：由于这名同学在A , B两所人学屮只能选择一所，而且只能选择一个专业，乂由于两所大学没冇共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A , B 两所人学屮的--所.在A大学小有5种专业选样方法，在B大学中有4种专业选择方法.又由于没冇一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理, 这名同学可能的专业选择共有5+4=9 (种)・变式：若还冇C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在笫1类方案中有"种不同的方法，在第2 类方案中有®种不同的方法，在笫3类方案中有®种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有〃类不同方案，在每一•类中都有若T-种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在笫1类办法中有"种不同的方法，在笫2类办法中有加2 种不同的方法……在第n类办法中有加”种不同的方法.那么完成这件事共有7V = /% + 加2 + ° …+ m n种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立,用任何一类屮的任何一-种方法都nJ以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A2，-, B、，B?,… 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码:字母数字得到的号码/IZ2A?/犷A,A4As比A,\8£我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而它们各不相同，因此共冇6X9 = 54个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2)发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N = mxn种不同的方法.(3)知识应用例2.设某班冇男生30名，女生24名•现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，冇24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30X24二720种不同的选法•探究：如果完成一件事需耍三个步骤，做第1步有“种不同的方法，做第2步有®种不同的方法，做第3步有加3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要〃个步骤，做每一•步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做笫1步有"种不同的方法，做笫2步有加2种不同的方法……做第n步有加“种不同的方法•那么完成这件事共冇N = m A x m2x • • • x m n种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存, 完成任何其小的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理界同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事耍分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只冇当各个步骤都完成后, 才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2木不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1木书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层小各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有笫1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先耍考虑的是取哪两个学科的帖，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书, 冇4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，冇3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =加］+ + m3 =4+3+2=9;(2 )从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层収1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N -加］x m2 x m3 =4 X 3 X 2=24 .(3) N = 4x3 + 4x2 + 3x2 = 26o例4.耍从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分別挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画屮选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步, 从3幅呦屮选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画屮选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3 X 2=6 ・6种挂法可以表示如下:左边左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙右边得到的挂法左丙右甲左丙右乙分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其屮各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤屮的方法互和依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.练习1.填空：(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会川第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是—；(2 )从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B 的路线有—条.2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.(1 ) 从屮任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C村，不同(2 )从3个年级的学生屮各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.在例1中，如果数学也是A人学的强项专业，则A人学共有6个专业可以选择, B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有6 + 4 = 1()(种).这种算法有什么问题？例5•给程序模块命名，需耍用3个字符，其中首字符要求用字母A〜G或U〜Z,后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少个程序命名？分析：耍给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符.而首字符乂可以分为两类.解：先让算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+ 6= 13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9 = = 1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例6.核糖核酸(RNA)分子是在牛•物细胞屮发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链屮每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据. 总共有4种不同的碱基，分别用A, C, G, U表示.在一个RNA分子屮，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子分析：用图1. 1-2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U屮任选一个来占据.解:100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1-2所示.从左到右依次在每一个位置中，从A , C , G , U中任选一个填人，每个位置冇4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4-4••…4 = 4】°° （个）例7•电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只冇0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节來表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问: （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值祁有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解木题.解：（1）用图1.1-3來表示一个字节.第1位第2位第3位第8位图1 . 1 一3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2= 28 =256个不同的字符;（2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6 763个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符.前一个字节冇256种不同的表示方法，后一个字节也冇256 种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256X256 = 65536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.例&计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底冇多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多了模块组成.如图1.1-4,它是一个具冇许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？•开始•字模块丄字模块2 字模块3•18条执行略径45条执行酰径2B条执行路径•字模块•38条执行路径•給東图1. 1 一4分析：整个模块的任意-条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束•而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成;第2步可山子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91 （条）；了模块4或了模块5屮的了路径共有38 + 43 = 81 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有91X81 = 7 371 （条）.在实际测试屮，程序员总是把每一个了模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需耍的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再测试各个模块Z间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3X2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172 + 6=178 （次）・显然，178打7371的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例9•随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门岀台了一•种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉们数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母屮选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 X25X24X10X9X8=11 232 000 （个）.同理，字母纽合在右的牌照也有11232 000个.所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000 （个）.辆汽车上牌照.川两个★数原理解决计数问题时，最重耍的是在开始计算之前要进行仔细分析一需耍分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类示再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”一完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步Z间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1 •乘积（q +0 + Q3）（也+ b? + $）（q + C2 + C3 + C4 + C5）展开后共有多少项?2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字纟fl成，其屮前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
正、副组长各1名，则有 多少种不同的选法？
同的选法？
53522756
1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (选修2－3) (第二课时)
完成一件事，有n类办法， 在第1类办法中有m1种不同 的方法，在第2类办法中有
01
m2种不同的方法，…，在第 n类办法中有mn种不同的方 法，那么完成这件事共有：
你能列出所有号码吗？ 穷举要有规律，要有序
从甲地到乙地，从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到 乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到 乙地共有多少种不同的走法 ？
这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车 中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须 经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．
02
用0，1，2，……，9可以组 成多少个无重复数字的4位奇 数；
03
用0，1，2，……，9可以组 成多少个无重复数字的比 54281小的五位数．
问n元集合A={a1,a2,…,an}共有多少个不同的子集？
{ 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
求满足条件 的集合A的个数.
326
小结
用两个计数原理解决问题时，要 仔细分析需要分类还是分步.
分类要做到“不重不漏”.
完成了所有步骤，恰好完成任务， 且步与步之间要相互独立.分步后 再计算每一步的方法数，最后根 据分布乘法计数原理，把完成每 一步的方法数相乘，得到总数.
分步要做到“不重不漏”.
分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和， 得到总数.
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理汇报
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学 生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分 别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类 加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总 共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学 中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构 、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计 更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执 行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构 来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将 问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结 构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将 问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构 来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按 照一定的顺序和步骤进行分解的情况 ，例如计算完成某项任务需要经过几 个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数 量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准 确地划分类别。
分类加法和分步乘法
N=m+n 种不同的方法.
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完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？
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开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
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178次
例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量 迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照？
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例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种 选法 第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2 种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N＝3×2＝6
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练习：
1、在由电键组A、B组成的串联电路中， 如图，要接通电源，使电灯发光的方法 有几种？
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数？
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由，数有字多0少，种1，不2同，的3，选4法，？5可以组成多少个有重复数字的三位数？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
第1讲第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【反思与悟】 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然 后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原 理． 【变式1-1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成 的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________ 个． 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)； 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． 答案 40
考向一
分类加法计数原理
【例1】(2011· 全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮 册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不 同的赠送方法共有( B )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 [审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理． 解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本 画册，2本集邮册共C种方法，由分类计数原理知不同的赠 送方法共4＋ ＝10(种)．
法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不 相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种 涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法． 【反思与悟】 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体 分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行 分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目 的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处 理．
答案
14
【反思与悟】 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后 再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相 互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计 数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”． 【变式2-1】 由数字1,2,3,4， (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于 十位数字，十位数字大于个位数字． 解 (1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共 有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64个3位数． (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2 种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数 4×3×2＝24(个)． (3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时精品教案(特色班).doc.doc
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：§1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题；（2）过程与方法通过实例，理解两个基本原理的运用，从而提高分析问题、解决问题的能力，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观通过了解基本原理在生产,生活实际中的应用,使得学生认识数学知识与现实生活的内在联系,增强在现实生活中面对复杂的事物和现象时作出正确分析和准确判断的能力.【教学重点】两个基本原理的运用【教学难点】正确运用两个原理解决问题【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习师提出问题1：书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书，（1）如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？（2）如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？解：（1）本题要完成取出一本书这一件事，可以分三类不同的取法：第一类：从上层取一本语文书有4种不同的取法；第二类：从中层取一本数学书有5种不同的取法；第三类：从下层取一本英语书有6种不同的取法；上述取法均能独立完成这件事，所以有4+5+6=18种（2）本题要分成三个步骤：第一步：从上层取一本语文书有4种不同的取法；第二类：从中层取一本数学书有5种不同的取法；第三类：从下层取一本英语书有6种不同的取法；只有三个步骤全部完成才能完成从各取一本书这件事，故完成这件事的方法种数有4×5×6=120种学生回答，投影学生答案.通过问题，达到复习两个基本原理的目的二、例题师提出问题：例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A—G或U—Z，后两个要求用数字，问最多可以给多少个程序命名？分析：可以分成三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后字符。
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人教A版选修2—3 精讲细练1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、知识精讲.计数原理.计数原理选取对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰.二、典例细练【题型一】：分类加法计数原理的简单应用例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法；第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法；第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法.其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42.【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏.变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表：(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种)(2)由题设知共有三类：第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 30+30+20=80(种).【题型二】：分步乘法计数原理的简单应用例题2:已知集合M= {-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b e M)表示平面上的点，问：⑴点、P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？【解析】:⑴确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值，有6种不同方法;第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上点P的个数为6x6二36・ (2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成:第一步确定d的值，由于GV O,所以有3种不同方法;第二步确定方的值，由于b>0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3x2=6.【点评】利用分步乘法计数原理解决问题应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的;⑵各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.变式训练1: (2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )C.|D-4【解析】：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3x3=9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣3 1小组的概率P=§=亍变式训练2:现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A. 56B. 65MM 驾4X3X2D. 6x5x4x3x2【解析】：每位同学都有5种选择，则6名同学共有5°种不同的选法，故选A.【题型三】：两个计数原理的综合使用例题3:现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？（2）若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？【解析】（1）从高一选一人作总负责人有50种选法；从高二选一人作总负责人有42种选法；从高三选一人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.（2）从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有42种选法；从高三选一人作负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30= 63 000种选法. （3）①高一和高二各选一人作中心发言人，有50X42=2 100种选法；②高二和高三各选一人作中心发言人，有42X30=1 260种选法；③高一和高三各选一人作中心发言人，有50X30=1 500种选法.故共有2 100+1 260+1 500=4 860 种选法.【点评】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是'吩步”，其次要清楚“分类''或“分步"的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步” 时要正确设计“分步''的程序，注意步与步之间的连续性.变式训练：7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋•现从这7人中选2 人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】：\ 3 /依题意，既会象棋又会围棋的“多面手''有5+4-7 = 2人.方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的3人中选1人，再从会下围棋的4人中选1人，共有3x4= 12（种）选法.第二类，先从既会下象棋又会下圉棋的2人中选1人，再从会下围棋的剩余3人中选1人下围棋，有2x3 = 6（种）选法，由分类加法计数原理得N =12+6=18（种）. 方法二：第一类，“多面手''不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选1人，共有3x2 = 6（种）选法.第二类，“多面手"中有一人参加象棋有2种选法，再从只会下围棋的2人中选1 人，共有2x2=4（种）选法.第三类，“多面手'冲有一人参加围棋有2种选法，再从只会下象棋的3人中选1 人，共有2x3 = 6（种）选法.第四类，“多面手''都参加，有2种选法，故N=6+4+6+2=18（种）.【题型四】：经典问题（1）例题4（1）:如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有5种不同的颜色可选，则有种不同的着色方案.【解析】：操场可从5种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的4种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5x4x3x3=180种着色方案.例题4 （2）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【解析】：第一类:1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成,第一步，先涂1 号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有5x4x4=80种涂法;第二类:1 号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成,第一步，先涂1号区域，有5种涂法, 第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步，涂2 号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知，有5x4x3x3=180种涂法.依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80+180=260.【点评】反思:涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法:⑴按区域的不同，以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;⑵以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段"等问题，用分类加法计数原理分析;⑶将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题.变式训练1:用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？【解析】解法一：A可从5种颜色中任选1种着色；B可从剩下的4种颜色中任选1种着色；C和A、B颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；D和B、C的颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理，共有5x4x3x3=480种着色方案解法二：先分为两类：第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成.第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5X4X3X2=120种方法.第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有5X4X3 = 60（种），所以共有120+60=180种不同的方案.变式训练2:用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【解析】：给各区域标记号A、B、C、D、E,则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D 涂色的颜色，如果B 与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应先分类后分步.第一类，B、D涂同色时，有4X3X2X1X2=48种，第二类，当B、D不同色时，有4X3X2X1X1=24种，故共有48+24=72种不同的涂色方法.变式训练3:如图，一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域，现有4种不同的花可供选种,要A.96B.84C.60D.48求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同种法的种数【解析】方法一：先种A地有4种，再种〃地有3种，若C地与A地种相同的花，则C 地有1种，D地有3种；若C地与人地种不同花，则C地有2种，D 地有2种，即不同种法总数为W=4X3X(1X3+2X2) = 84种.方法二：若种4种花有4X3X2X1=24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2X4X3X2=48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4X3=12 种.共有2=24+48+12=84 种.变式训练4:将1,2,3填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填A. 6种B. 12 种C. 24 种D. 48 种法，则不同的填写方法共有( )【解析】：假设第一行为1,2,3,则第二行第一列可为2或3,此时，其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3x2x1 =6种填法.故不同填写方法共有6x2=12 种.变式训练5:如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有（ ）A. 400 种C. 480 种【解析】：从A 开始，有6种方法，B 有5种，C 有4种，D. A 种相同作物1 种，D. A 不同作物3种，・・・不同种法有6X5X4X （l+3）=480种.故选C.变式训练6:有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块 种植一种作物，相邻的试验田（有公共边）不能种植同一种作物，共有多少种不同 的种植方法？ AB CD【解析】方法一:第一步,种植A 试验田有4种方法；第二步，种植〃试验田有3种方法；第三步，若C 试验田种植的作物与B 试验田相同，则D 试验田有3种方法，此 时有1X3 = 3种种植方法.若C 试验田种植的作物与B 试验田不同，则C 试验田有2种种植方法，D 也有 2种种植方法，共有2X2=4种种植方法.由分类加法计数原理知，有3+4=7 种方法.第四步，由分步乘法计数原理有2=4X3X7 = 84种不同的种植方法.方法二：（1）若A 、D 种植同种作物，则4、D 有4种不同的种法，B 有3种种植 方法，C 也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X3 = 36种种植方 法.（2）若A 、£＞种植不同作物，则A 有4种种植方法，D 有3种种植方法，B 有2种 种植方法，C 有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X2X2=48种 种植方法. 综上所述，由分类加法计数原理，共有7V=36+48 = 84种种植方法. B. 460 种 D. 496 种【题型五】：经典问题(2) ——组数问题例题5:用0,123,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？⑵四位数？(3)四位奇数？【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3 种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N = 5X4X3X2=120个.(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4 这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不同的选取方法，第二步从1,2,3,4 中剩余的三个数字和0共4个数字选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法•由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4X4X3X2 = 96 个.(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二步定首位，扌巴1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2X3X3X2 = 36个.变式训练1：从集合｛0,123,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a, b组成复数a+bi, 其中虚数有( )A. 30 个B. 42 个C. 36 个D. 35 个【解析】：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法, 根据乘法计数原理，共有6x6=36种方法.变式训练2：用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A. 36 个B. 18 个C. 9个D. 6个【解析】：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次.第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法. 故有3x3x2=18个不同的四位数.变式训练3:从123,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为 ____________________ ・【解析】：⑴当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.⑵不取1时，分两步：①取底数，5 种；②取真数，4 种.其中log23 = log49, log32 = log94, log24=log39, log42 = log93, A7V= 14-5x4-4= 17.变式训练4:用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. 324B. 328C. 360D. 648【解析】：分两类，第一类，0在末位时，百位有9种排法，十位有8种排法，故共有9x8 = 72（个）. 第二类，0不在末位，也不能在首位，此时末位只能排2,4,6,8中的一个，共4种排法，百位有8种排法，十位有8种排法，共有4x8x8 = 256（个）.综上共有72+256 = 328（个）.。