量子力学I简介

Ψ ( x,t) ˆ r F ( r ,− ih ∇ )
| Ψ (t ) > ˆ F < Q m | Q n >= δ mn < Ψ ( t ) | Ψ ( t ) >= 1
∫ ∫Ψ
* u m ( x ) u n ( x ) dx = δ mn *
( x , t ) Ψ ( x , t ) dx = 1
Em
m 2π 2 h 2 = 8µa 2 ψ ψ = ψ ψ
I
=ψ
II
ψ
= 0 mπ = A sin x 2a
III III
对应 m = 2 n
m ≠ 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m
I
=ψ
II
= 0 mπ x = A cos 2a
Schrö 方程(量子力学基本假定之一) Schrödinger 方程(量子力学基本假定之一)
∂ h2 2 r r r r ˆ Ψ (r , t ) i h Ψ (r , t ) = [− ∇ + V ( r )]Ψ ( r , t ) = H 2µ ∂t
定态Schrödinger方程 定态Schrödinger方程 Schrödinger
波函数的统计解释
点附近几率的大小， |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说， 点处， 确切的说，|Ψ (r)|2Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元 Δz中找到粒子的几率 中找到粒子的几率. Δx Δy Δz中找到粒子的几率.波函数在空间某点的强度 振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， （振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微 据此，描写粒子的波可以认为是几率波， 观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称 观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称 为几率幅. 为几率幅.这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解 释，它是量子力学的基本原理. 它是量子力学的基本原理.
ˆ a+]= 1
占有数表象中： 占有数表象中：
ˆ a =
µω
2h
ˆ [ x +
ˆ p ] =
µω
α
2 α
2
ˆ [ x −
ˆ [ x +
1 ih α
1 ih α
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ p ]
ˆ p ]
ˆ a
+
=
µω
2 h
ˆ [ x −
ˆ p ] =
ˆ a | n >= n | n − 1 >
ˆ a + | n >= n + 1 | n + 1 >
定理： 定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数
系的充要条件是这组算符两两对易. 系的充要条件是这组算符两两对易
测不准关系
ˆ ˆ，ˆ [F G] = ik
ˆ Q x， x ] = ih [ p
ˆ Q L ，ˆy ] = ihL [ ˆx L z
(k)2 (∆ ˆ )2 •(∆ ˆ )2 ≥ F G 4
∫
项目
X 表象
Dirac 符号
ˆ ˆ ( ( Ψ x, t) = F(x, px )Φ x, t) r r r r ˆψ ˆ (r, p) (r) = λψ(r) 本 方 征 程 F ˆψ 平 值 F = ∫ψ*F dx 均 式 公
氢原子
En = − 2 2 n = 1,2,3, L 2h n r ψ nlm ( r ) = Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ )
µe 4
三 、力学量
表示力学量的算符： 1、表示力学量的算符：算符定义 和一般特性 2、动量算符 （1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化 3、角动量算符 （1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程 （3）角动量算符的对易关系 （4）角动量升降阶算符
III
-a
0
a
（1）列出各势域上的S—方程； 列出各势域上的S 方程； 求解S 方程； （2）求解S—方程； 利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） （3）利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数和能量本征值； 定未知数和能量本征值； 由归一化条件定出最后一个待定系数（ （4）由归一化条件定出最后一个待定系数（归一 化系数） 化系数）
态叠加原理（量子力学基本原理之一）
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样. 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样.而 干涉和衍射的本质在于波的叠加性 波的叠加性， 干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相 加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射. 加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射. 因此，同光学中波的叠加原理一样， 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力 学中也存在波叠加原理. 学中也存在波叠加原理.因为量子力学中的 即波函数决定体系的状态， 波，即波函数决定体系的状态，称波函数为 状态波函数， 状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称 态叠加原理。 为态叠加原理。
势垒散射
势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题.典型势垒是方势垒 典型势垒是方势垒， 一维运动问题 典型势垒是方势垒， 其定义如下： 其定义如下：
V0 V( x) = 0
0< x < a x < 0, x>a
E I 0 II a III V(x) V0
现在的问题是已知粒子以 正向入射. 能量 E 沿 x 正向入射.
（1）L．De Broglie 关系 （2）de Broglie 波 （3）de Broglie 波的实验验证
二、 定态问题
1、波函数的统计解释 和态叠加原理 、 2、 Schrödinger 方程 及定态 、 及定态Schrödinger方程 方程 3、一维无限深势阱 、 4、 线性谐振子 、 5、一维势垒散射问题 、 6、氢原子
Dirac 符号
左矢空间 <n | < n,l,m | <x' | <A | < l,m | <p' | <Qn | 左矢， 左矢， bra 右矢空间 |n > |n,l,m > |x' > |A > |l,m > |p' > |Qn > ket, 右矢
项目
X 表象
Dirac 符号
波函数 算符 归一化 本征函数
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象.
矩阵表示
b (t) F 1 11 b (t) F 21 2 M = L b (t) F 1 n n M L F 12 F 22 L F2 n L L L L Fm L 2 L L L L Fm L n L L L Fm 1 a1(t) a2(t) M am(t) M
交 正 归 性 一
* u ′ (x)u ′′ (x)dx = (q′ −q′′) δ ∫ q q
< q′ | q′′ >=δ(q′ −q′′) | Q ><Q |=1 n n ∫| q >dq < q|=1
* u (x′)u (x) =δ(x′ − x) n 本 函 征 数 ∑ n n * 封 性 闭 u (x′)u (x)dq =δ(x′ − x) q q
m 奇数。 奇数。
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依 次类推. 次类推.
A=
1 a
（取实数）
线性谐振子 1、方程的建立 2、求解 3、应用标准条件 4、厄密多项式 5、求归一化系数
ψn(x) =
α
2n n! π
e
−α2x2 / 2
Hn(αx)
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体 Ψ= 系的一个可能状态.其中 其中C 是复常数， 系的一个可能状态 其中C1 和 C2 是复常数，这就 是量子力学的态叠加原理. 中测量A 是量子力学的态叠加原理.若Ψ1中测量A为a1, Ψ2 中测量A 态中测量A值机可能是a 中测量A为a2,那么在 Ψ态中测量A值机可能是a1也 可能是a 具有不确定性，但有确定的权重. 可能是a2,具有不确定性，但有确定的权重. 态叠加原理推广到一般情况表述为： 态叠加原理推广到一般情况表述为： ,...是体系的一系列可能 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能 的状态， 的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ...(其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数). ...(其中 ,...为复常数). 为复常数 也是体系的一个可能状态. 也是体系的一个可能状态. 处于Ψ态的体系， 部分的处于Ψ 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态 ...，部分的处于Ψ ...，部分的处于Ψn，...
h2 ∴ ∆ )2 • ∆ x )2 ≥ （x （p 4
h2 2 ∴ ∆ x )2 • ∆ y )2 ≥ L （L （L z 4
ˆ 体 处 L 征 时 当 系 于 z本 态 ， h2 1 2 4 2 2 2 h （ L ) • ∆ y ) ≥ (m ) = m h ∆ x （L 4 4
态和力学量表象
物理学面临严重的危机!
2、难题的解释--量子论的产生 难题的解释--量子论的产生 -（1）Planck 黑体辐射定律 （2）光量子的概念和光电效应理论 散射——光的粒子性的 （3）Compton 散射 ） 光的粒子性的 进一步证实 波尔（Bohr） （4）波尔（Bohr）的量子论
3、 微粒的波粒二象性
V(r)与 无关时， V(r)与t无关时，可以分离变量
r r − h Et Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
i
h r r 2 [− ∇ + V ]ψ ( r ) = Eψ ( r ) 2µ
2
★一维无限深势阱
V(x)
0, V ( x) = ∞
| x |< a | x |≥ a
I
II
量子力学I简介
一、 量子力学产生 二、 定态问题 三 、力学量 四、自旋概念
一、 量子力学产生
1、 进入20世纪以后，经典理论在解释一些新的试 进入20世纪以后， 20世纪以后
验结果上遇到了严重的困难， 验结果上遇到了严重的困难，晴朗的物理学天空 飘着几朵乌云： 飘着几朵乌云：
（1）黑体辐射问题－紫外灾难 黑体辐射问题－ 光电效应--光照射到金属材料上，会产生光电子。 --光照射到金属材料上 （2）光电效应--光照射到金属材料上，会产生光电子。但产 与光的频率有关，与光的强度无关. 生条件 与光的频率有关，与光的强度无关 （3）原子的稳定性问题－原子塌缩 ）原子的稳定性问题－ 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为1ns. 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为
ψ(x) = ∑ cnφn(x)
n
两力学量同时有确定值的条件
当在 ψ 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具 有确定值，那么ψ 二力学量共同本征函数. 有确定值，那么ψ 必是 二力学量共同本征函数.
两算符对易的物理含义
定理： 定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易. 的本征函数系，则二算符对易
中 其 ： α=
µω
h
1 2
+ 1 xψn ( x) = α nψn−1 ( x) + n21ψn+1 ( x) 2 d + ψn ( x) = α nψn−1 ( x) − n21ψn+1 ( x) 2 dx
E = (n +
)h ω
ˆ [a ,
µω
i
i
n = 0 , 1, 2 ,L
4、 算符与力学量的关系
量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r) 量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r) ˆ III告诉人们 F n = λnφn φ 中测量任一力学量 F ， 所得的结果只能是由算 符 F 的本征方程 解得的本征值λ 解得的本征值λn之 一. 量子力学基本假定IV 量子力学基本假定IV 的本征函数φ (x)组成正 任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正 交归一完备系，在任意已归一态ψ(x) ψ(x)中测量 交归一完备系，在任意已归一态ψ(x)中测量 得到本征值λ 的几率等于ψ(x) ψ(x)按 力学量 F 得到本征值λn 的几率等于ψ(x)按 φn(x)展开式： (x)展开式： 展开式 中对应本征函数φ (x)前的系数 中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值 平方. 平方.