工程测试技术 第二章信号分析基础 第三讲
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Sy ( f ) H( f ) 2 Sx ( f )
通过输入、输出的自谱分析，就可以得到系统的频率响应幅频特 性，但是丢失了相位信息。
对于一个单输入、单输出的 理想线性系统，频率响应函数为
Sxy( f ) H ( f ) Sx ( f )
2.3 信号的频域分析
系统分析中的三类问题： x(t) h(t) y(t)
超门限报警
第二章、信号分析基础
信号的幅值域分析
1 概率密度函数 以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现
的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信 号落在不同幅值强度区域内的概率情况。
p(x)
lim
p( x x (t ) xx ) x
x
第二章、信号分析基础
p(x)的计算方法：
2.2 信号的相关分析
3、传递通道的相关测定
相关分析方法还可以用于工业 噪声传递通道的分析和隔离；剧场 音响传递通道的分析，音响效果的 完善；复杂管路振动的传递和振源 的判别等。
2.2 信号的相关分析
4、相关分析的声学应用
相关分析方法在 声学测量中应用很多
测定物体的吸声 系数、衰减系数，从 多个声源测出某个声 源到一定地点的声功 率等。
2.2 信号的相关分析
1、相关法测速
工程中用两个间隔一 定距离的传感器进行非接 触测量运动物体的速度。
例如：运动的钢带表 面反射光，经过透镜聚焦 在距离为 d 的两个光电池 上，转换成电信号，经可 调延时器时，再进行相关 处理。
当可调延时器的延时 = 钢带上某个点在两个测点之间经过所需要的 时间 d 时，互相关函数为最大值。则钢带的运动速度 = d / d 。
1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它们推 断系统的传输特性。(系统辨识)
第二章信号分析基础(频谱)
（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
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复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
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若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋
1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
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X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
测试技术(第二章 信号描述)
举例：
余弦、 正弦 信号 的频 谱
（三）周期信号的强度表示
1、峰值与峰-峰值
2、均值与绝对均值
3、有效值，即均方根值
4、平均功率
三、非周期信号的各离散频率不成整倍数关系。
通常所说的非周期信号指的是瞬态信号。
（一）傅立叶变换 非周期信号的傅立叶变换可以从周期信号的傅立叶级数分 析引申开来。 周期信号可认为是非周期信号的周期延拓；而非周期信号为周 lim xT (t ) x(t ) 期信号的周期 T ，则 T
n 1
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了 信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅 值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。
对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等 离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 （1）周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 （2）频谱分析的工程意义 （3）付氏分析的局限性
幅值
时域分析
频域分析
式中|X(f)|——信号在频率f处的幅值谱密度； ——信号在频率f处的相位。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示：
以f为横坐标，Re[X(f)]、Im[X(f)]为纵坐标画图，绘出的曲线 图称为实频、虚频密度谱图（实频图，虚频图）；
以f为横坐标，|X(f)|、 为纵坐标画图，绘出的曲线图称为 幅值、相位密度谱（幅频图，相频图）； 以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密 度谱。
思考：
（ 1） 求 sin 0t ， sin t sin 2t 的频谱特征
（2）例，求以下周期信号的频谱图（按约定形式展开）
x(t ) 10 5sin(2 10t ) 3cos(2 20t 4 / 3) 0.3cos(2 40t ) 0.1s in(2 50t / 4)
余弦、 正弦 信号 的频 谱
（三）周期信号的强度表示
1、峰值与峰-峰值
2、均值与绝对均值
3、有效值，即均方根值
4、平均功率
三、非周期信号的各离散频率不成整倍数关系。
通常所说的非周期信号指的是瞬态信号。
（一）傅立叶变换 非周期信号的傅立叶变换可以从周期信号的傅立叶级数分 析引申开来。 周期信号可认为是非周期信号的周期延拓；而非周期信号为周 lim xT (t ) x(t ) 期信号的周期 T ，则 T
n 1
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了 信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅 值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。
对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等 离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 （1）周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 （2）频谱分析的工程意义 （3）付氏分析的局限性
幅值
时域分析
频域分析
式中|X(f)|——信号在频率f处的幅值谱密度； ——信号在频率f处的相位。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示：
以f为横坐标，Re[X(f)]、Im[X(f)]为纵坐标画图，绘出的曲线 图称为实频、虚频密度谱图（实频图，虚频图）；
以f为横坐标，|X(f)|、 为纵坐标画图，绘出的曲线图称为 幅值、相位密度谱（幅频图，相频图）； 以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密 度谱。
思考：
（ 1） 求 sin 0t ， sin t sin 2t 的频谱特征
（2）例，求以下周期信号的频谱图（按约定形式展开）
x(t ) 10 5sin(2 10t ) 3cos(2 20t 4 / 3) 0.3cos(2 40t ) 0.1s in(2 50t / 4)
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
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吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
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N=1
2.5 信号的频域分析
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用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
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2.5 信号的频域分析
工程测试技术2012-(1 信号分析基础)-3
§1.3信号的相关分析所谓相关，是指变量之间的关联性。
¾相关函数、协方差函数、相关系数均是衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度的。
♣若是针对一个随机过程，则分别称为自相关函数、自协方差函数、自相关系数。
♣若是对于两个随机过程，则分别称为互相关函数、互协方差函数、互相关系数。
1、协方差{}]][[EY Y EX X E −−定义：为随机变量X与Y的协方差，))(()(]}][{[),cov(EY EX XY E EY Y EX X E Y X −=−−=记为:对于两个随机变量X、Y, 若X、Y相互独立，则{}0]][[=−−EY Y EX X E 协方差（Covariance ）在一定程度上反映了X、Y之间的相互关系。
协方差的性质1. ()()cov ,X X D X =()()2.cov ,cov ,X Y Y X =，a ，b 为任意常数。
()()3.cov ,cov ,aX bY ab X Y =，c 为任意常数。
()4.cov ,0c X =()()()12125.cov ,cov ,cov ,X X Y X Y X Y +=+2、相关系数相关系数描述波形的相关程度¾取正值：相似；＋1 相同；¾取0：不相似；¾取负值：反相似；－1 相反；DYDX Y X XY),cov(=ρ时，定义0;DX 当0;DY 、为随机变量的相关系数。
1≤XY ρf 1(t)tf 2(t)tT/4T/2f 1(t)与f 1(t)相关系数为＋1；（相等）f 1(t)与f 2(t)相关系数为－1；（相反）参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，因此相关系数只有一个。
相关系数有正负号反映相关关系的方向，正号反映正相关，负号反映负相关。
计算相关系数的两个变量都是随机变量。
xy1=xy ρxy1−=xy ρxy10≤≤xy ρxy=xy ρ3、互相关函数互相关函数——描述不同时刻，函数之间的关系。
传感器与测试技术课件第二章 信号分析基础2 35页
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第2章 信号分析基础
5) 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
Rx(nT )Tl i m T 1
Tx(tn)Tx(tnT )d(tn)T
0
lim 1
T T
0Tx(t)x(t)d(t)Rx()
例求正弦函数 x(t)x0si nt ()的自相关函数
要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要
有无限长时间记录，但实际上这是不可能的。通常用 统计方法对以下三个方面进行数学描述：
1）幅值域描述: 均值、均方值、方差、概率密度函数等。
2）时域描述: 自相关函数、互相关函数。
3）频域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。
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第2章 信号分析基础
解： Rx()T 10Tx(t)x(t)dt
记
T 10 Tx 0 2si n t ()si n (t [) ]dt
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第2章 信号分析基础
把 T 2 t 代入上式得
R x()2 x 0 20 2 sin sin ()d x 2 0 2c2x 2R x()x 2x 2
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第2章 信号分析基础
自相关函数的性质
4) 当 时，x (t ) 和 x(t)之间不存在内在联系，
彼此无关.即 rx()0 , Rx( ) x2
若 x 0 ，则 Rx()0，如图所示.
识别信号中是否含有周期成分和它的频率大小
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第2章 信号分析基础
几种典型信号的概率密度、自相关和功率谱图
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第2章 信号分析基础
5) 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
Rx(nT )Tl i m T 1
Tx(tn)Tx(tnT )d(tn)T
0
lim 1
T T
0Tx(t)x(t)d(t)Rx()
例求正弦函数 x(t)x0si nt ()的自相关函数
要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要
有无限长时间记录，但实际上这是不可能的。通常用 统计方法对以下三个方面进行数学描述：
1）幅值域描述: 均值、均方值、方差、概率密度函数等。
2）时域描述: 自相关函数、互相关函数。
3）频域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。
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第2章 信号分析基础
解： Rx()T 10Tx(t)x(t)dt
记
T 10 Tx 0 2si n t ()si n (t [) ]dt
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第2章 信号分析基础
把 T 2 t 代入上式得
R x()2 x 0 20 2 sin sin ()d x 2 0 2c2x 2R x()x 2x 2
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第2章 信号分析基础
自相关函数的性质
4) 当 时，x (t ) 和 x(t)之间不存在内在联系，
彼此无关.即 rx()0 , Rx( ) x2
若 x 0 ，则 Rx()0，如图所示.
识别信号中是否含有周期成分和它的频率大小
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第2章 信号分析基础
几种典型信号的概率密度、自相关和功率谱图
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工程测试技术3
25
(3) t= T0 时，y(T0)=A2 T0
x()
y(t) A2T0
-T0
T0
h(T0/2- )
-2T0
-T0
T0
0
2T0
A2
-T0
T0
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26
(4) t= 3T0/2 时，y(3T0/2)=A2
T0/2
x()
y(t)
-T0
T0
h(T0/2- )
-2T0
式中: Fn
1 T
T 2 x(t)e jn0t dt
T 2Biblioteka Fne jn ,Fn
1 2
an2 bn2
1 2
An
（模）
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6
3. 频谱图的概念
工程上习惯将计算结果用图形方式表
示，以fn (ω0)为横坐标， an、bn为纵坐标
画图，称为实频－虚频谱图。
3.对称性
若 x(t) ←→ X(f)，则 X(-t) ←→ x(-f)
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15
2.4.4 傅立叶变换的性质（续）
4. 时间尺度改变性
若 x(t) ←→ X(f)，则： x(kt) 1 X f k k
5. 时移性
e 若：x(t) ←→ X(f)，则： x(t t0 ) X f j2 ft0
3
1. 傅里叶级数的表达形式
x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n 1
式中:
n 1, 2, 3,,
a0
1 T
工程测试与信号处理第二章信号分析基础1
(a) 拉氏变换:
(s) (t)est dt 1
(b) 傅氏变换:
( f ) (t )e j2ft dt 1
第二章 信号分析的基础
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2.sinc函数
sinc(t)函数又称为抽样函数、滤波函数或内插函数，在许多场合
下频繁出现.其定义为
sin c(t) sin t , or, sin t , ( t )
离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
第二章 信号分析的基础
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离散时间信号可以从试验中直接得到，也可能从连续时间信 号中经采样而得到。
典型离散时间信号有单位采样序列、阶跃序列、指数序列等.
单位采样序列用δ(n)表示，定义为:
(n)
0, n 0 1, n 0
此序列在n=0处取单位值1，其余点上都为零(图2-3 (a ) ).单位采样序
物理信号具有如下性质: (1)必然是能量信号.即时域内有限或满足可积收敛条件; (2)叠加、乘积、卷积运算以后仍为物理信号.
第二章 信号分析的基础
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六、信号分析中常用的函数
1. 脉冲函数—函数
函数表示一瞬间的脉冲. 狄拉克(Dirac)于1930年在量子力学中
引入了脉冲函数.从数学意义上讲，脉冲函数完全不同于普通函数，
第二章 信号分析的基础
二、能量信号与功率信号 1.能量信号
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在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为 能量信号，满足条件：
x 2 (t )dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
第二章 信号分析的基础
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2. 功率信号
机械工程测试技术第2章
• 类似地，也可画出各谐波初相角φｎ 与频率(或角频率)的曲线图，如 图２－１(ｃ)和(ｄ)所示，称为相位频谱，简称相位谱。
• 由图２－１ 可见，周期信号的谱线只出现在频率为０、１Ω、２Ω、 …… 等离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。 下面以周期性矩 形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。
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２.１ 信号的分类与描述
• ２. 连续信号与离散信号 • 在信号的时间函数表达式中，按信号的取值时间是否连续，将信号分
为连续信号和离散信号。 • (１) 连续信号。 在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连
续点(第一类间断点)外，都可给出确定的函数值，即时间变量ｔ 是连 续的，此类信号称为连续信号。 例如，正弦信号、直流信号、阶跃 信号、锯齿波、矩形脉冲信号等都属于连续信号。 连续信号的幅值 可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号 ，则称为模拟信号。
标，以各谐波的振幅Ａｎ 或虚指数函数的幅度
为纵坐标，可画
出如图２－１(ａ)和(ｂ)所示的曲线图，称为幅度(振幅)频谱，简称为
幅度谱。 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。
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２.２ 周期信号与离散频谱
• 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。 连接各谱线顶点 的曲线(如图中虚线所示)称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变 化的情况。
第２ 章 信号分析基础
• ２.１ 信号的分类与描述 • ２.２ 周期信号与离散频谱 • ２.３ 非周期信号与连续频谱 • ２.４ 随机信号
返回
２.１ 信号的分类与描述
• ２.１.１ 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。 根据信号所具有的 时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号与随机信号、连续信号 与离散信号等。
• 由图２－１ 可见，周期信号的谱线只出现在频率为０、１Ω、２Ω、 …… 等离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。 下面以周期性矩 形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。
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２.１ 信号的分类与描述
• ２. 连续信号与离散信号 • 在信号的时间函数表达式中，按信号的取值时间是否连续，将信号分
为连续信号和离散信号。 • (１) 连续信号。 在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连
续点(第一类间断点)外，都可给出确定的函数值，即时间变量ｔ 是连 续的，此类信号称为连续信号。 例如，正弦信号、直流信号、阶跃 信号、锯齿波、矩形脉冲信号等都属于连续信号。 连续信号的幅值 可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号 ，则称为模拟信号。
标，以各谐波的振幅Ａｎ 或虚指数函数的幅度
为纵坐标，可画
出如图２－１(ａ)和(ｂ)所示的曲线图，称为幅度(振幅)频谱，简称为
幅度谱。 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。
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２.２ 周期信号与离散频谱
• 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。 连接各谱线顶点 的曲线(如图中虚线所示)称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变 化的情况。
第２ 章 信号分析基础
• ２.１ 信号的分类与描述 • ２.２ 周期信号与离散频谱 • ２.３ 非周期信号与连续频谱 • ２.４ 随机信号
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２.１ 信号的分类与描述
• ２.１.１ 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。 根据信号所具有的 时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号与随机信号、连续信号 与离散信号等。
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积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。
cxy
E[(xx )(yy )]
xy
xy
E[(x x )2 ]E[( y y )2 ]1 / 2
2021/9/2
7
2. 波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数，即 x(t)与y(t)，二者之间是否存有关联？信号的相关描 述又称信号的时差描述。它的特点是在广义积分平 均时，将信号作了恰当时延，从而反映信号取值的 大小及先后的影响。
x(t)
y(t)
2021/9/2
8
1). 信号的相关函数
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。 信号的互相关函数定义为：
Rxy( )
lim
T
1 T
T
x(t)y(t )dt
0
• Rxy(τ)与Ryx(τ)是两个不同函数, Rxy(τ)=Ryx(-τ) 。
• 均值为零的两个统计独立的随机信号其Rxy(τ)=0。
b. 谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上； c. 收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
2021/9/2
35
李娜- “青藏高原”波形图
2021/9/2
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庞龙- “两只蝴蝶”波形图
2021/9/2
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频谱图
庞龙- “两只蝴蝶”频谱 李娜-图“青藏高原”频谱
图
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例1：周期方波频谱的计算
响。引入一个无量纲的相关系数，其定义
xy ( )
Rxy( )
[Rx(0)Ry(0)]1/ 2
Rxy( ) x y
ρxy(τ)=1说明x(t)和y(t)完全相关；ρxy(τ)= 0说明x(t)和y(t)完全 不相关;0<ρxy(τ)<1说明x(t)和y(t)部分相关
cxy
E[(xx )(yy )]
xy
xy
E[(x x )2 ]E[( y y )2 ]1 / 2
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2. 波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数，即 x(t)与y(t)，二者之间是否存有关联？信号的相关描 述又称信号的时差描述。它的特点是在广义积分平 均时，将信号作了恰当时延，从而反映信号取值的 大小及先后的影响。
x(t)
y(t)
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1). 信号的相关函数
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。 信号的互相关函数定义为：
Rxy( )
lim
T
1 T
T
x(t)y(t )dt
0
• Rxy(τ)与Ryx(τ)是两个不同函数, Rxy(τ)=Ryx(-τ) 。
• 均值为零的两个统计独立的随机信号其Rxy(τ)=0。
b. 谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上； c. 收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
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李娜- “青藏高原”波形图
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庞龙- “两只蝴蝶”波形图
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频谱图
庞龙- “两只蝴蝶”频谱 李娜-图“青藏高原”频谱
图
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例1：周期方波频谱的计算
响。引入一个无量纲的相关系数，其定义
xy ( )
Rxy( )
[Rx(0)Ry(0)]1/ 2
Rxy( ) x y
ρxy(τ)=1说明x(t)和y(t)完全相关；ρxy(τ)= 0说明x(t)和y(t)完全 不相关;0<ρxy(τ)<1说明x(t)和y(t)部分相关
04 工程测试技术 第二章 第三讲 工程测试技术 第二章 第一讲信号分析基础
x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
A() 1.5
0
() /2
x(t) 1.5cos(4t / 2)
0
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2.5 信号的频域分析
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x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
频域分析
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T
Bw=2/
24
2.5 信号的频域分析
频域分析
华中科技大学机械学院
25
2.5 信号的频域分析
频域分析
华中科技大学机械学院
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2.5 信号的频域分析
频域分析
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周期T越小，频率间隔0=2/T越大！
27
2.5 信号的频域分析
周期信号幅值谱性质
a. 谐波性：仅在一些离散频率点，
工程测试技术
第二章、信号分析基础
华中科技大学机械学院
本章学习要求：
1. 掌握信号分类方法 2. 了解信号分析中的常用函数 3. 掌握信号分析中函数的运算（卷积和相关） 4. 掌握信号时域波形分析方法 5. 掌握信号时域统计分析方法 6. 掌握信号频域频谱分析方法 7. 了解其它信号分析方法
1
第二章、信号分析基础
A() 2.0
0
()
x(t) 2cos2t
0
19
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
A()
0
-1.0
()
x(t) cos(3t )
工程测试技术 信号分析基础
t1 2
24
yzs (t)
⑤ 3≤t 时
2 1 d 1 t2 1 t 3
t1 2
4 24
29 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yzs(t) = 0
0
t-1 t t-1 t t-1 t 2
τt
h(τ )f (t -τ )
0 t t-1 1t t-1 2 3 τ yf (t )
-T0
T0
h(T0/2- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
2A2T0
-2T0
t= T0时：
0
2T0
y(T0)=A2 T0
10
x()
-T0
T0
h(T0- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
x(t)
(1)换元
h(t)
反折；
0
t (2)平移；
0
t
x(t)
(4)积分
(3)相乘； h(-)
(1)反折
(4)积分。
0
x(t)
h(t1 -)
t (3)相乘
0
h(t1 -)
(2)平移
00
t
23
0
2.6 卷积分
图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。
e(t)或e( )
h(t)或h( )
• 举例 1
t (6 e2te3 e ) d
e2t t (6 e3 ) d t e d
e2t 2 e3
工程测试与信号处理第二章信号分析基础3
则x(t)可表示为：
x*(t) xR (t) jxI (t)
x*(t)
R e j(nt n ) n
n
设n=k, 为转轴的转动角速度。因为T→时Δ→0， n=nΔ
为连续量
x*(t)
R e j(ktk ) k
k
x*(t) Rk [cos(kt k ) j sin(kt k )] k
变为
Rx ( ) x(t)x(t )dt
(2-45)
28
根据定义，相关函数有如下性质:
(1)自相关函数是τ的偶函数，满足下式:
Rx()=Rx(- ).
(2-49)
互相关函数不是τ的偶函数，也不是奇函数，而满足下式:
Rxy(-)=Ryx().
(2-50)
(2)当=0时，自相关函数具有最大值，此时能量信号
2-3 信号的时域分析
一、时域分解
为了从时域了解信号的性质，或便于分析处理，可从不同角度将信 号分解为简单的信号分量之和，一般有如下情况.
直流分量+交流分量
信 号
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
脉冲分量
1
1.直流分量与交流分量
连续时间信号
f (t)
E
fAC (t )
t
O
Oபைடு நூலகம்
fDC (t ) E
t
t
O
各分量的正交条件为
t2
t1 t2
t1
xi (t)x j (t)dt x2 (t)dt k
i
0
(2-30)
即在区间((tl,t2)内分量乘积的积分为零;任一分量在区间((t1, t2)内能量为有
限值.
各分量系数是在满足最小均方差条件下由下式求得
x*(t) xR (t) jxI (t)
x*(t)
R e j(nt n ) n
n
设n=k, 为转轴的转动角速度。因为T→时Δ→0， n=nΔ
为连续量
x*(t)
R e j(ktk ) k
k
x*(t) Rk [cos(kt k ) j sin(kt k )] k
变为
Rx ( ) x(t)x(t )dt
(2-45)
28
根据定义，相关函数有如下性质:
(1)自相关函数是τ的偶函数，满足下式:
Rx()=Rx(- ).
(2-49)
互相关函数不是τ的偶函数，也不是奇函数，而满足下式:
Rxy(-)=Ryx().
(2-50)
(2)当=0时，自相关函数具有最大值，此时能量信号
2-3 信号的时域分析
一、时域分解
为了从时域了解信号的性质，或便于分析处理，可从不同角度将信 号分解为简单的信号分量之和，一般有如下情况.
直流分量+交流分量
信 号
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
脉冲分量
1
1.直流分量与交流分量
连续时间信号
f (t)
E
fAC (t )
t
O
Oபைடு நூலகம்
fDC (t ) E
t
t
O
各分量的正交条件为
t2
t1 t2
t1
xi (t)x j (t)dt x2 (t)dt k
i
0
(2-30)
即在区间((tl,t2)内分量乘积的积分为零;任一分量在区间((t1, t2)内能量为有
限值.
各分量系数是在满足最小均方差条件下由下式求得
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幅值
华中科技大学机械学院
信号的频谱X(f)代表 了信号在不同频率分 量处信号成分的大小， 它能够提供比时域信 号波形更直观，丰富 的信息。
时域分析
频域分析
7
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
2、周期信号的频谱分析
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满 足条件： x ( t ) = x ( t + nT )
T x(t) sin n0tdt,
nN nN
T ―周期：T=2π/ω0
ω0―基波圆频率；
f0 ―基频：f0= ω0/2π
11
2.5 信号的频域分析 三角函数的正交特性
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
华中科技大学机械学院
12
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
n0t
bn
sin
n0t )
An
an2 bn2
n
arctan
bn an
x(t)
a0 2
n1
An
cos(n0t
n )
An n An2
幅值谱 相位谱
功率谱
信号的基波、基频
a0
21 T
x(t )dt
T
0
2
T
an
2 T
T x(t) cosn0tdt,
2
bn T
幅值谱：幅度--频率 相位谱：相位--频率 功率谱：功率--频率
3、非周期信号的频谱分析
幅值谱密度--频率 相位谱密度--频率 功率谱密度--频率
4、傅立叶变换的性质 5、频谱分析的应用
华中科技大学机械学院
4
2.5 信号的频域分析 1、频域分析的概念
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
华中科技大学机械学院
狄义赫利条件
(1) 在一个周期内，间断点的个数有限 (2) 极大值和极小值的数目有限 (3) 信号绝对可积
满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正 交函数(集)线性组合”的无穷级数。
8
2.5 信号的频域分析 2、周期信号的频谱分析
华中科技大学机械学院
三角函数集（正弦型函数）
正交函数集
{1, cos n0t, sin n0t : n N}
工程测试技术
第二章、信号分析基础
华中科技大学机械学院
本章学习要求：
1. 掌握信号分类方法 2. 了解信号分析中的常用函数 3. 掌握信号分析中函数的运算（卷积和相关） 4. 掌握信号时域波形分析方法 5. 掌握信号时域统计分析方法 6. 掌握信号频域频谱分析方法 7. 了解其它信号分析方法
1
第二章、信号分析基础
n1
3
5
15
2.5 信号的频域分析
复指数函数集
{e jn0t : n Z}
• 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“ 傅里叶级数”。
• 相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数 ”。傅里叶级数的两种不同表示形式。
• 傅里叶级数工程上物理上的应用相当广泛。任一周期函数可以利用傅里叶级 数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信 号函数则可以利用傅里叶积分来分析。
9
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
设周期函数x(t)的周期为T
展开成三角函数的无穷级数形式
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
a0是常数，表示直流分量；
n为正整数，n=1, a1cos0t+b1sin0t，基波 n=2, a2cos20t+b2sin20t，二次谐波 ancosn0t+bnsinn0t，n次谐波
频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
5
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除
单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和 各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
6
2.5 信号的频域分析
时域分析与频域分析的关系
时域分析
周期信号 ①FS 连续离散
简单周期信号 复杂周期信号
非周期信号 ②FT连续离散
准周期信号 瞬态信号
平稳随机信号
③功率谱 非高斯信号 高阶谱分析
各态历经信号 非各态历经信号
非平稳随机信号
④专题 时频分析、小波分析 独立变量 Hilbert-Huang变换
3
第二章、信号分析基础
掌握内容
1、频域分析的概念 2、周期信号的频谱分析
设周期为T的函数x(t)，展开成复指数函数的无穷级数形式：
x(t)
a0 2
(an
n1
cos n0t
bn
sin n0t)
cos n0t
e jn0t
e 2
jn0t
sin
n0t
e jn0t
e 2j
jn0t
x(t)
Cne jn0t
X (n0 )e jn0t
n
n
n 0,1,2,
系数计算方法，nω0是离散变量，离散频率
华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
2
第二章、信号分析基础
华中科技大学机械学院
信号
确定性信号 非确定性信号
图例
14
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
波形合成与分解
周期信号都可以用三角函数{sin(2πnf0t), cos(2πnf0t)} 的组合表示，也就是说，可以用一组正弦波和余弦波来合
成任意形状的周期信号。
x(t) sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) ....
用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析
系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶 系数(FS)。
系数an和bn的计算可由三角函数的正交特性求得。
10
2.5 信号的频域分析
设周期为T函数x(t)，展开成 三角函数的无穷级数形式
华中科技大学机械学院
三角函数的正交特性
x(t)
Cn
X (n0 )
1 T
T
2 T
x(t)e jn0t dt,
2
nZ
Cn
Cn
1 2
an2
bn2
1 2
An , (n
0)
注意是An /2
13
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
频谱图的概念
工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn (ω0)为 横坐标， an、bn为纵坐标画图，称为实频－虚频谱；以fn 为横坐标， An、n 为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以fn为横坐标，An2 为纵坐标画图，则称为功率谱。
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信号的频谱X(f)代表 了信号在不同频率分 量处信号成分的大小， 它能够提供比时域信 号波形更直观，丰富 的信息。
时域分析
频域分析
7
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
2、周期信号的频谱分析
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满 足条件： x ( t ) = x ( t + nT )
T x(t) sin n0tdt,
nN nN
T ―周期：T=2π/ω0
ω0―基波圆频率；
f0 ―基频：f0= ω0/2π
11
2.5 信号的频域分析 三角函数的正交特性
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
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12
2.5 信号的频域分析
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n0t
bn
sin
n0t )
An
an2 bn2
n
arctan
bn an
x(t)
a0 2
n1
An
cos(n0t
n )
An n An2
幅值谱 相位谱
功率谱
信号的基波、基频
a0
21 T
x(t )dt
T
0
2
T
an
2 T
T x(t) cosn0tdt,
2
bn T
幅值谱：幅度--频率 相位谱：相位--频率 功率谱：功率--频率
3、非周期信号的频谱分析
幅值谱密度--频率 相位谱密度--频率 功率谱密度--频率
4、傅立叶变换的性质 5、频谱分析的应用
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4
2.5 信号的频域分析 1、频域分析的概念
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
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狄义赫利条件
(1) 在一个周期内，间断点的个数有限 (2) 极大值和极小值的数目有限 (3) 信号绝对可积
满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正 交函数(集)线性组合”的无穷级数。
8
2.5 信号的频域分析 2、周期信号的频谱分析
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三角函数集（正弦型函数）
正交函数集
{1, cos n0t, sin n0t : n N}
工程测试技术
第二章、信号分析基础
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本章学习要求：
1. 掌握信号分类方法 2. 了解信号分析中的常用函数 3. 掌握信号分析中函数的运算（卷积和相关） 4. 掌握信号时域波形分析方法 5. 掌握信号时域统计分析方法 6. 掌握信号频域频谱分析方法 7. 了解其它信号分析方法
1
第二章、信号分析基础
n1
3
5
15
2.5 信号的频域分析
复指数函数集
{e jn0t : n Z}
• 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“ 傅里叶级数”。
• 相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数 ”。傅里叶级数的两种不同表示形式。
• 傅里叶级数工程上物理上的应用相当广泛。任一周期函数可以利用傅里叶级 数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信 号函数则可以利用傅里叶积分来分析。
9
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设周期函数x(t)的周期为T
展开成三角函数的无穷级数形式
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
a0是常数，表示直流分量；
n为正整数，n=1, a1cos0t+b1sin0t，基波 n=2, a2cos20t+b2sin20t，二次谐波 ancosn0t+bnsinn0t，n次谐波
频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
5
2.5 信号的频域分析
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时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除
单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和 各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
6
2.5 信号的频域分析
时域分析与频域分析的关系
时域分析
周期信号 ①FS 连续离散
简单周期信号 复杂周期信号
非周期信号 ②FT连续离散
准周期信号 瞬态信号
平稳随机信号
③功率谱 非高斯信号 高阶谱分析
各态历经信号 非各态历经信号
非平稳随机信号
④专题 时频分析、小波分析 独立变量 Hilbert-Huang变换
3
第二章、信号分析基础
掌握内容
1、频域分析的概念 2、周期信号的频谱分析
设周期为T的函数x(t)，展开成复指数函数的无穷级数形式：
x(t)
a0 2
(an
n1
cos n0t
bn
sin n0t)
cos n0t
e jn0t
e 2
jn0t
sin
n0t
e jn0t
e 2j
jn0t
x(t)
Cne jn0t
X (n0 )e jn0t
n
n
n 0,1,2,
系数计算方法，nω0是离散变量，离散频率
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
2
第二章、信号分析基础
华中科技大学机械学院
信号
确定性信号 非确定性信号
图例
14
2.5 信号的频域分析
华中科技大学机械学院
波形合成与分解
周期信号都可以用三角函数{sin(2πnf0t), cos(2πnf0t)} 的组合表示，也就是说，可以用一组正弦波和余弦波来合
成任意形状的周期信号。
x(t) sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) ....
用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析
系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶 系数(FS)。
系数an和bn的计算可由三角函数的正交特性求得。
10
2.5 信号的频域分析
设周期为T函数x(t)，展开成 三角函数的无穷级数形式
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三角函数的正交特性
x(t)
Cn
X (n0 )
1 T
T
2 T
x(t)e jn0t dt,
2
nZ
Cn
Cn
1 2
an2
bn2
1 2
An , (n
0)
注意是An /2
13
2.5 信号的频域分析
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频谱图的概念
工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn (ω0)为 横坐标， an、bn为纵坐标画图，称为实频－虚频谱；以fn 为横坐标， An、n 为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以fn为横坐标，An2 为纵坐标画图，则称为功率谱。