人教版初中八年级上册数学最短路径问题课件

如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A，B两地的距离：
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的
A
B
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河A1 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
C
B
l B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接
AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
第十三章
八年级数学上（RJ） 教学课件
轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． （重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D
为平行四边形，于是AD=FD′,
A
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小.
C
D 河
A
B
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都 是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′百度文库D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连
②最短，因为两点之间，线段最短
①
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A
连接AB,与直线l相交于一点C.
根据是“两点之间，线段最短”， A
可知这个交点即为所求.
C l
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
l 想一想： 对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
A· M C
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
ND
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.
E
B
方法归纳
解决最短路径问题的方法
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变 化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的 选择. 2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形， 从而将问题转化为平行四边形的问题解答.
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
A
Ｍ
Ｎ
B
1.把A平移到岸边.
A (Ｍ)
Ｎ
B AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边. A
Ｍ
（Ｎ）B
AM+MN+BN长度改变了
怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?
∴ AC +BC
B
= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
A
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
C C′
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
l B′
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
l A′
讲授新课
最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我 们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路 径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马 人饮马问题”及“造桥选址问题”.
① ② A ③B
P
A BC
Dl
牧马人饮马问题
当堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q P
Q P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
A
A
M
N
B
B
思维分析 A
1.如图假定任选位置造桥MN， 连接AM和BN，从A到B的路 径是AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ B
2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见