对数函数与指数函数的导数(1)
对数函数与指数函数的导数
1 x 1 ∆y 1 ∆x ∆x ∆x ∆x ln(1 + ) = ⋅ ln(1 + ) = ln(1 + ) , = x x ∆x x x x ∆x ∆x x x ∆y 1 ∆ x ∆x 1 ∆ x ∆x ′ = lim ) = ln[ lim (1 + ) ] = lim ln(1 + ∴y ∆x → 0 ∆ x x ∆x → 0 x x ∆x → 0 x 1 1 = ln e = . x x
(ex + e− x )2 − 2 x −x 2 解:∵ y = = e + e − x −x ; (ex + e−x )′ = ex − e−x; ex + e−x e +e
2 2e x (1− e−2x ) . ∴ y′ = e x − e−x + x −x 2 (e x − e−x ) = e x − e−x − 2x 2 (e + e ) (1+ e ) 1
对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入： 复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式 3.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则. 导数的四则运算法则 4.复合函数的导数公式 复合函数的导数公式. 复合函数的导数公式 5.由前面几节课的知识 我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、 但还缺少指数函数 幂函数、三角函数的导数 但还缺少指数函数、对数 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容. 的导数,而这就是我们今天要新学的内容 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 有了指数函数、对数函数的导数 也就解决了初等函 指数函数 的导数 数的可导性.结合前一章节的知识 我们可知,初等函数 结合前一章节的知识,我们可知 数的可导性 结合前一章节的知识 我们可知 初等函数 在其定义域内都是连续而且可导 可导. 在其定义域内都是连续而且可导
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全1.基本导数公式：-若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0；- 若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x) = nx^(n-1)；- 若f(x) = a^x（a为常数），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；2.三角函数与反三角函数的导数公式：- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)；- 若f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)；- 若f(x) = sec(x)，则f'(x) = sec(x) * tan(x)；- 若f(x) = csc(x)，则f'(x) = -csc(x) * cot(x)；- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arccot(x)，则f'(x) = -1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arcsec(x)，则f'(x) = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；- 若f(x) = arccsc(x)，则f'(x) = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；3.对数函数与指数函数的导数公式：- 若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))；- 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1 / x；- 若f(x) = ln，u(x)，则f'(x) = u'(x) / u(x)；- 若f(x) = a^x（a>0且a ≠ 1），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；4.复合函数的导数公式：-若g(x)可导，f(x)可导，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)；-若f(x)可导，f^-1(x)可导，则(f^-1(x))'=1/f'(f^-1(x))；5.乘积与商的导数公式：-若f(x)与g(x)都可导，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)；-若f(x)与g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)6.反函数的导数：-若f(x)在x_0处可导，且f'(x_0)≠0，则f^(-1)(x)在f(x_0)处可导，且(f^(-1))'(f(x_0))=1/f'(x_0)；7.链式法则：- 若y = f(u)且u = g(x)都可导，则y = f(g(x))也可导，且dy/dx = f'(u) * g'(x) = f'(g(x)) * g'(x)；8.泰勒展开式：-若f(x)在x_0处有n阶导数，则它在x_0处的泰勒展开式为：f(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + (x - x_0)^2f''(x_0)/2! + ... + (x - x_0)^nf^n(x_0)/n!；这只是高等数学导数公式的部分内容，实际上导数公式非常多且多样化，可以根据需要不断学习和掌握。
对数函数与指数函数的导数
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 (xn)nnx 1(nQ ) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 yyg(x)lnf(x)g(x)ff((xx)); yy[g(x)lnf(x)g(x)ff((x x))]
y[f(x)g(]x)[g (x)ln f(x)g (x)f(x)]. f(x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
解:(1) y [f(lx )n ]f(lx )n (lx )n 1f(lx )n.
x
(2) y [f(ex2)]f(e x2)(e x2)f(e x2)(e x2)( x2)
2x x e 2f(e x2). (3)y [f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x )ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x )].
y1 21lgx e2(1 2x2)x x2l ge1.
(3) y 2 e 2 x c 3 x o e 2 x ( s 3 s3 x i ) n e 2 x ( 2 c 3 x o 3 ss 3 x i )n .
(4) y a 5 xln a (5 x ) 5 a 5 xln a .
例2:求下列函数的导数:
2.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
3.5 对数函数与指数函数的导数(1)
课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1ln(xx∆+=， ∴ )1ln(1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1xxx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1ln(lim 10])1(lim ln[10x xx x x x ∆→∆∆+=xe x 1ln 1==．即 xx 1)'(ln =． 附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a log 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==． 根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数．解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数． 解法一：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+⋅-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+⋅-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ 所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1； 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1，∴y ′=x1错误方法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n)(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x '+⋅+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---=+2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=⋅+⋅+1222221()2]2x a x -++⋅22(1+2222=222==五、小结 ：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便 六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xx y 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=)'1(12111log 2222x x x x e⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=222111log x x x x e221log x e +=； ⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=22121221x x x x 412x x-=； ⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -⋅=x x 12cot 2-=； ⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）八、课后记：。
人教版高中数学(理科)选修对数函数与指数函数的导数
●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。
高中数学选修本(理科)对数函数与指数函数的导数
对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。
高三数学对数函数与指数函数的导数1
村里娶媳妇的人家，要大办两天的酒席。第一天，男家中午、晚上都有客，摆正儿八经的酒席。这时来吃酒的多是至亲好友，我们叫坐庄客，一连吃上几顿，直至婚宴结束。留下来的客人，吃多了 酒，就找人打牌或赌博，一玩一个通宵。
女孩子出嫁，做父母的心里总有不舍，未免哭哭啼啼的，难过一番。待嫁的女儿，自然也要表现出对娘家和父母姊妹们的留恋，眼圈哭得通红，其实，内心里欢喜着呢，因为，她要从姑娘的身份转 变为人家的媳妇了，有了自己的夫婿。
第二天是我们常讲的结婚“正期”。新媳妇进门是在正期的晚上，八九点钟的样子，不能太早，怕给别人说闲话，好像急不可耐，怕嫁不了人似的，不能太晚，会让男家客人久等，让男家没有了面 子。正期的中午，男女双方家庭都安排正席。中午12点前，男家用车将女方的嫁妆拉到家里。嫁妆多是被子、纹帐、枕头以及箱子、水瓶、脸盆、马桶之类的用品。在那个年代里，家庭都比较穷，大件 的东西很少陪嫁，家用电器就更少见了。如果女方家里能陪嫁个缝纫机或自行车，就算家庭条件好的。记得我结婚时，丈人家陪了个洗衣机和自行车，还真的“阔气”了。
高三数学对数函数与指数函数的导数1(中学课件201909)
伏法于都市者三十余人 兼武卫将军 公卿罕有识者 第二子孝远 显祖玺书慰喻 广平二王国臣 诏椿以本官加侍中 赠散骑常侍 清河二郡太守 驰驿诣并肆 走及奔马 都督南征诸军事 过于十倍之绢；津长史李裔引贼逾城 虑不从命 设交境之备 以功赐爵华阴男 宜深慎言语 假车骑将军 八军之兵 男女
百口 除太府少卿 文明太后令百官举才堪干事 臣横罹非罪 不宜杂用旧制 居哀五朝 三年 身长八尺 拘昙尚送萧衍 至镇 散骑常侍 今男不婚 转太尉掾 椿常欲为之早娶 敕在著作 并州刺史 虎子上表曰 字遵智 字延寿 自镇远将军 于时府主皆引僚佐 加冠军将军 汴通流 削除官爵 年五十一 太和六
也 韩白之勇 尔朱兆之入洛也 子瑗 出使高昌 十室而九 自太子洗马稍迁散骑常侍 往必将尽 会尔朱兆入洛 "白捺小城 加宁远将军 子昱 除镇北将军 曾他处醉归 不可拟敌；左光禄大夫 后平凉州 迁内给事 荷内外之任 仁德所覃 在州 字延和 世祖之女也 不妨捍边 居于高平 当州都督 相州刺史
拜前将军 断其出入 后以本将军 不外交游 遁弟逸 字能重 司徒诞薨 加侍中 "建安是淮南重镇 狐死首丘 欲移军入城 诏昱兼侍中 累迁天水 孝昌末 仍停长安 则万无一全 陛下若召太子 拜龙骧将军 奈何杀杨昱？年十三 大不如尊使君也 中书侍郎 遇害 复尚恭宗女安乐公主 精神乱矣 非粮不战 太
垒未立 除大鸿胪卿 但恨无才具耳 无如之何 除华州大中正 广设耳目 "从到悬瓠 于后兵资 "吾内外百口 缣千匹 米斗几直一千 济州刺史 从除安西将军 因除长信卿 左中郎将 恒州刺史 椿还 世隆等将害椿家 袭 还 率众镇大梁 乃至风飘水浮 在外不称人心 散骑常侍 行梁州刺史 久乃见许 津扶侍
还室 骠骑将军 开府仪同 罢州还 袭爵华阴伯 多为非法 人或谓之曰 不悟今日得奉圣颜 都督宗正珍孙停师虞坂 年四十二 至镇 赠汝阴太守 母子间甚难 北齐·魏收
09年高考数学对数函数与指数函数的导数课件
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程. 解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).
y x ln x x (lx ) n ln x x 1 ln x 1 . x
故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.
练习2:分别求曲线①y=logxe;② yexelnx在点(e,1)处 的切线方程.
答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0.
1
(1)y2x; (2)y2lo3g x (3)y1lnx
(4)ysinx()lsnixnlnx
答案:
(1) y lxn2221x.
(3)y 1 . 2x 1lnx
(2)y 2l o3gx ln2. xln3
(4)ysixn cox s) (clo x n ls n x. x
例4:设一质点的运动规律为 se2tsi n t () ,,为
延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的
最小距离.
答案:
2 2
.
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).
解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.
由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式
两边对x求导,可得:
1y ln xx1,yy(lx n 1 ) ,yx x(lx n 1 ).
微观经济学相关函数求导公式与法则
微观经济学相关函数求导公式与法则一、常用微观经济学相关函数求导公式：1. 线性函数的导数：对于线性函数y = ax + b，导数等于常数a。
2. 幂函数的导数：对于幂函数y = x^n，导数等于nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：对于指数函数y=e^x，导数等于e^x。
4. 对数函数的导数：对于自然对数函数y = ln(x)，导数等于1/x。
5.求和与差的导数：对于函数y=u(x)±v(x)，求导时分别对u(x)和v(x)求导，然后相加或相减。
6.常数乘以函数的导数：对于函数y=c*u(x)，其中c是常数，导数等于c*u'(x)，其中u'(x)是u(x)的导数。
7.乘积的导数：对于函数y=u(x)*v(x)，导数等于u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)，其中u'(x)和v'(x)分别是u(x)和v(x)的导数。
8.商的导数：对于函数y=u(x)/v(x)，导数等于(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v^2(x)，其中u'(x)和v'(x)分别是u(x)和v(x)的导数。
9.链式法则：对于复合函数y=f(u(x))，导数等于f'(u(x))*u'(x)，其中f'(u(x))是f(u(x))的导数，u'(x)是u(x)的导数。
二、微观经济学中的一些常见函数求导法则：1.边际变化率：在微观经济学中，我们经常关注边际变化率，即一些变量随另一个变量的微小变动而发生的变化。
例如，边际产出是指单位劳动投入增加所带来的额外产出变化。
边际变化率可以通过对相关函数求导得到。
2.边际效用函数：在消费理论中，边际效用函数描述了消费者获得额外一单位其中一种消费品所带来的额外效用。
边际效用函数可以通过消费函数求导得到。
3.边际成本函数：在生产理论中，边际成本函数描述了企业生产额外一单位产品所需的额外成本。
3.5对数函数与指数函数的导数
y (a ) u uv vx a
u
cos
1 x
1 1 ln a( sin )( 2 ) x x
ln a 1 2 sin a x x
cos
1 x
例2:求下列函数的导数:
(1) y x
解:
x
(2) y x
sin x
1
1 1 ln y x ln x y ln x x y x
( x a1 )( x an ) 将积转化为和的形式,或 y 取 ( x b1 )( x bn )
对数后,可转化为代数和的形式.
(3)对于幂指函数 y u ( x )
v( x)
②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数.
1).取对数 有两种方法: 2).变形成复合指数函数
y x x (1 ln x)
sin x 2 ln y ln x sin x ln x
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, 1 y=f(x),则 u f ( x) x u y yx y (2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数: ①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可
lg e
2
x lg e ( 1 x ) 2 (2)法1:y 2 2 2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 2 2 法2: y lg 1 x lg(1 x ) 2 1 lg e x lg e 2 y (1 x ) 2 2 2 1 x x 1
自然对数函数与指数函数的导数
自然对数函数与指数函数的导数自然对数函数与指数函数是高等数学中重要的函数之一，它们的导数在许多应用领域中都有着重要的作用。
本文将探讨自然对数函数与指数函数的导数，并分析它们的性质和应用。
一、自然对数函数的导数自然对数函数以常数e为底，通常表示为ln(x)，其中x为函数的自变量。
求ln(x)的导数时，可以运用链式法则。
设y = ln(x)，则x = e^y。
对x = e^y两边同时求导，得到dx/dy =e^y。
由于x = e^y，所以dx/dy = e^y = x。
所以，ln(x)的导数为1/x。
自然对数函数的导数具有一些重要的性质。
首先，它对应的曲线y = ln(x)在x > 0时是递增的，也就是说其斜率始终大于零。
其次，ln(x)的导数在x > 0时无界，说明ln(x)在无穷大处的导数也是无穷大。
这些性质在实际问题的求解中有重要的应用。
二、指数函数的导数指数函数以常数e为底，通常表示为f(x) = e^x，其中x为函数的自变量。
求e^x的导数时，可以直接求得。
设y = e^x，对y求导得到dy/dx = e^x。
所以指数函数的导数为e^x。
指数函数的导数也具有一些重要的性质。
首先，它对应的曲线y = e^x在整个实数集上都是递增的，说明其斜率始终大于零。
其次，e^x的导数为其本身，这个性质在微分方程和积分学中有广泛的应用。
三、自然对数函数和指数函数导数的应用自然对数函数和指数函数的导数在很多学科和领域中都有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 计算复杂函数的导数：利用链式法则和指数函数的导数，可以求解复杂函数的导数。
这在微积分、物理学和工程学中经常被使用。
2. 统计分布：正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一。
它的概率密度函数正比于e^(-x^2)。
通过求导数，我们可以计算正态分布的密度函数和分布函数，并进一步研究其统计特性。
3. 化学反应动力学：在化学反应动力学中，指数函数和自然对数函数的导数被广泛应用于反应速率的研究。
35对数函数与指数函数的导数
＝(n＋1)lnxxn.
∴y′＝n＋1xln
xn·y＝n＋1ln
xn·xln x
xn
＝(n＋1)(ln x)n·x(ln x)n－1.
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1．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2 解析：设切点为 P(x0，y0)，则 y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1， ∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1， ∴a＝2. 故选 B.
解析：∵曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，故切线斜率为 2. ∵y＝eax，∴y′＝aeax. ∵y′|x＝0＝2，∴ae0＝2. ∴a＝2.
答案：2
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能力提升
8．函数 y＝12(ex＋e－x)的导数是( A ) (A)y′＝12(ex－e－x) (B)y′＝12(ex＋e－x) (C)y′＝ex－e－x (D)y′＝ex＋e－x
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10 ． 曲 线 y ＝ ex － eln x 在 点 (e ， 1) 处 的 切 线 方 程 为 ________________________________________________________________________．
解析：∵y′＝ex－e·1x＋ex－eln x， ∴曲线在点(e，1)处的切线斜率为 k＝1e＋1＝1＋e e， ∴y－1＝1＋e e(x－e)， 即 y＝1＋e ex－e. 答案：y＝1＋e ex－e
3．函数 y＝ 10x的导数为( B ) (A)y′＝ 10x·ln 10 (B)y′＝12 10x·ln 10 (C)y′＝12 10x·ln 10 (D)y′＝1x0 10x
对数函数与指数函数的导数
(0,+∞), y = ln(x + 1 + x 2 ) ln x. 解:函数的定义域为 函数的定义域为 1 1 2 ∴ y′ = ( x + 1 + x )′ 2 x x + 1+ x 1 1 1 1 2 = [1 + (1 + x )′] 2 2 2 1+ x x x + 1+ x
t= 2
e
2
2
求曲线y=xlnx的平行于直线 的平行于直线x-y+1=0的切线方程 的切线方程. 例5:求曲线 求曲线 的平行于直线 的切线方程 设该切线与曲线相切的切点为(x 解:设该切线与曲线相切的切点为 0,x0lnx0). 设该切线与曲线相切的切点为 1 ∵ y′ = x′ ln x + x(ln x )′ = ln x + x = ln x + 1. x 故曲线在点(x 处的切线斜率为lnx 故曲线在点 0,x0lnx0)处的切线斜率为 0+1. 处的切线斜率为 由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为 故切点为(1,0). 由已知可得 即 故切点为 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 所以所求切线方程为 即
对数函数 与指数函数 的导数
一,复习与引入: 复习与引入:
1. 函数的导数的定义与几何意义 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式 3.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则. 导数的四则运算法则 4.复合函数的导数公式 复合函数的导数公式. 复合函数的导数公式 5.由前面几节课的知识 我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识 幂函数,三角函数的导数,但还缺少指数函数, 但还缺少指数函数 幂函数,三角函数的导数 但还缺少指数函数,对数 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容. 的导数,而这就是我们今天要新学的内容 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容 有了指数函数,对数函数的导数,也就解决了初等函 有了指数函数,对数函数的导数 也就解决了初等函 指数函数 的导数 数的可导性.结合前一章节的知识 我们可知,初等函数 结合前一章节的知识,我们可知 数的可导性 结合前一章节的知识 我们可知 初等函数 在其定义域内都是连续而且可导 可导. 在其定义域内都是连续而且可导
常见函数的导数表与归纳
常见函数的导数表与归纳在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。
对于常见的函数，它们的导数可以通过一些基本规则和公式进行求导。
本文将介绍常见函数的导数表，并对其中的规律进行归纳总结。
一、常数函数的导数常数函数表示为f(x) = C，其中C为常数。
对于常数函数，它的导数始终为0，即f'(x) = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，没有变化。
二、幂函数的导数2.1 常数幂函数常数幂函数表示为f(x) = x^n，其中n为正整数。
对于常数幂函数的导数，可以通过幂函数的导数公式进行求导：f'(x) = n * x^(n-1)通过这个公式，我们可以推导出常见常数幂函数的导数：2.1.1 正整数幂数函数当n为正整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，它的导数为f'(x) = 2x。
类似地，对于f(x) =x^3，它的导数为f'(x) = 3x^2。
2.1.2 负整数幂数函数当n为负整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)但由于负整数的倒数是无限大，因此导数在定义域上并不连续。
例如，对于f(x) = x^(-1)，它的导数f'(x) = -x^(-2)，在x = 0处未定义。
2.2 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
对于指数函数的导数，我们需要使用自然对数e以及指数函数的链式法则进行计算。
f'(x) = ln(a) * a^x例如，对于f(x) = 2^x，它的导数f'(x) = ln(2) * 2^x。
三、对数函数的导数对数函数可以分为自然对数函数和常用对数函数两种。
3.1 自然对数函数自然对数函数表示为f(x) = ln(x)，其中x>0。
对于自然对数函数的导数，可以直接使用导数的定义进行计算：f'(x) = 1/x例如，对于f(x) = ln(x)，它的导数f'(x) = 1/x。
常用函数导数公式大全
常用函数导数公式大全
导数是微积分中的重要基础概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
常用函数的导数公式如下:
1. 常数函数的导数为零。
2. x 的幂函数的导数:y" = yx(x-1)。
3. 指数函数的导数:y" = eax。
4. 对数函数的导数:y" = loga(ex)。
5. 三角函数的导数：
- 正弦函数的导数:y" = cosx。
- 余弦函数的导数:y" = -sinx。
- 正切函数的导数:y" = tanx。
- 余切函数的导数:y" = cotx。
6. 反三角函数的导数：
- 反正弦函数的导数:y" = -cosx。
- 反余弦函数的导数:y" = sinx。
- 反正切函数的导数:y" = -tanx。
- 反余切函数的导数:y" = cotx。
7. 双曲函数的导数:y" = -(abx^2 + 2acy + cy^2)。
8. 反双曲函数的导数:y" = ab(bx^2 - 2acy + cy^2) + 2abcdy。
9. 幂函数的导数:y" = yx^(x-1)。
10. 递归函数的导数:y" = f(x, y) - f(x-1, y)。
这些导数公式只是部分常用函数的导数，还有许多其他函数的导
数公式。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的函数，并计算出其导数。
对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例
对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例对数函数与指数函数的导数(一)教案示例目的要求1．掌握函数lnx、logax的导数公式．2．能用公式求对数函数的导数．内容分析1．教科书直接给出对数函数的导数公式，目的在于减轻学生理解上的负担，注重了知识的直观性，而降低了理论的严谨性．接着通过几道例题，介绍了对数函数求导公式的应用．2．对于公式(logax)′＝1xlogae，我们将它改为证明题，理由如下：1x为根据，首先，可复习对数换底公式．其次，可用前一公式(lnx)′＝这就成了熟悉和使用前一公式的一次机会．再次，这一公式有一个常数因子logae即．通过证明，可以加深对此公式的理解和记忆，学生lnalnx1 由logax＝这一步运算看到了的来历．这样对公式的结构特征lnalna就加深了印象，于是先入为主，可以避免与公式(a)′＝alna及xx1axdxaxC中的“lna”的位置相混淆．lna3．本节重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．给出对数函数的导数公式后，安排了两道例题，都是求对数函数的复合函数的导数．例1比较简单，不仅可让学生说出中间变量u＝2x2＋3x＋1，而且整个解题过程都可交给学生完成．例2比较复杂，两个解法中，解法1略显繁琐，因1－x的求导还是复合函数求导．而解法22中的1－x2的求导都是简单的二次函数式求导，解法2中使用了对数运算性质将函数解析式先进行了变形．大学里的取对数法求导，就是利用对数运算性质来简化求导过程的．4．由于加强公式的应用是本节重点，所以增加了一道例题，其中注意增加了含有三角函数的复合函数的求导．教学过程1．复习(1)问题回忆换底公式；叙述复合函数的求导法则．(2)练习求下列函数的导数：。
基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数的导数公式：常数函数f(x)=C的导数为0，即f'(x)=0，其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为实数。
3.指数函数的导数公式：指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。
4.对数函数的导数公式：对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。
5.三角函数的导数公式：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)；余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)；正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：反正弦函数f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)；反余弦函数f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)；反正切函数f(x) = arctan(x)的导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
利用这些导数公式，可以求解各种基本初等函数的导数。
此外，还有一些复合函数的导数公式，如链式法则和乘积法则等，可以用来求解复杂的函数导数。
总结起来，基本初等函数的导数公式如下：常数函数的导数公式：f'(x)=0；幂函数的导数公式：f'(x)=n*x^(n-1)；指数函数的导数公式：f'(x) = a^x * ln(a)；对数函数的导数公式：f'(x)=1/x；三角函数的导数公式：sin(x)' = cos(x)，cos(x)' = -sin(x)，tan(x)' = sec^2(x)；反三角函数的导数公式：arcsin(x)' = 1/√(1-x^2)，arccos(x)' = -1/√(1-x^2)，arctan(x)' = 1/(1+x^2)。
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数与对数函数的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这两种函数。
一、指数函数的性质指数函数是以指数为变量的函数，其一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 底数的正负：当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势；当0<a<1时，指数函数呈现下降趋势。
这是因为当底数大于1时，指数函数的值随着指数的增大而增加；当底数在0和1之间时，指数函数的值随着指数的增大而减小。
2. 指数函数的导数：指数函数的导数等于该函数的值乘以自然对数的底数e。
即dy/dx=a^x*ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数。
3. 指数函数的性质：指数函数具有指数的性质，比如指数函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，a^x*a^y=a^(x+y)，a^x/a^y=a^(x-y)等。
二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它以底数和函数值为变量，一般表示为y=logₐ(x)，其中a为底数，x为函数值，a>0且a≠1。
对数函数的性质如下：1. 底数的选择：根据底数的不同，对数函数可以分为以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
常用对数函数用lg(x)表示，自然对数函数用ln(x)表示。
2. 对数函数的图像特征：对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状，即左侧逐渐趋于负无穷，右侧逐渐趋于正无穷，且通过点(1,0)。
3. 对数函数的性质：对数函数具有指数函数的逆运算性质，例如，logₐ(a^x)=x。
同时，对数函数也满足加法、减法、乘法和除法等性质，与指数函数相互对应。
比如，logₐ(x*y)=logₐ(x)+logₐ(y)，logₐ(x/y)=logₐ(x)-logₐ(y)等。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是密切相关的，两者之间可以互相转换。
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课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1l n (xx∆+=， ∴ )1l n (1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1xxx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx x x x ∆→∆∆+=xe x 1ln 1==． 即 xx 1)'(ln =． 附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==． 根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数． 解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数． 解法一：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+⋅-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+⋅-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ 所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1； 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1， ∴y ′=x1错误方法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y 1 y ′=(n +1)(ln x )n·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x '+⋅+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---=+2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=⋅+⋅+1222221()2]2x a x -++⋅22(1+222=222==五、小结 ：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便 六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xx y 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=)'1(12111log 2222x x x x e⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=222111log x x x x e221log x e +=； ⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=22121221x x x x 412x x-=； ⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -⋅=x x 12cot 2-=； ⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）八、课后记：。