新浙教版13解直角三角形
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你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 ?
要解决这个问题 ,我们可以将其数学化 ,如图:请与同 伴交流你是怎么想的 ? 怎么去做 ?
北
A
东
B
C
D
2.学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够
长），王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含 300的三
A
角板去度量旗杆的高度。
A
（3（（）12此））时若若他王王的同同数学学学将分老旗别师杆在来上点了绳C一子、看拉点，成D处建仰将议角旗王为杆同60上学0，绳只如子准图分用用别卷卷拉尺尺 去量量成，得仰你B角C能为=给46米0王0，、同则3学0旗0设，杆计如A方图B案的量完高出成多C任D少=务？8米吗，？你能求出旗杆
拓展一
如图,为了求河的宽度 ,在河对岸岸边任意 取一点A,再在河这边沿河边取两点 B、C,使得 ∠ABC=60°,∠ACB＝ 45°,量得BC长为100米, 求河的宽度（即求 BC边上的高） .
A A
45o 60o
B
D
C
翻
AAAA
转
B
B
45o
D
45Bo 60CB45ooC45oCCCCC45oo45o 5
l
有关精确度的计算要注意:
（1）取近似值时，过程中的数据比结 果的数据多保留一位。 （2）记住：
2 ? 1.414; 3 ? 1.732; 5 ? 2.236
如图， 在进行测量时，从下向上看， 视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下 看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例5.海防哨所0发现,在它的北偏西300,距离哨所 500m的A处有一艘船向正东方向,经过3分时间后到 达哨所东北方向的B处.问船从A处到B处的航速是 多少km/h(精确到1km/h)?
核心：构造含 特殊角的 Rt △
＝24wenku.baidu.coman600 ＝24 3
在△ADE中, ∠ADE＝∠ DAF＝300, DE＝BC＝24,
∴AE＝DE·tan∠ADE ＝24·tan30 0＝8 3
∴CD＝ AB －AE ＝24 3－8 3
＝16 3 ※※※※※※※※※※※※※※※※
答:两座建筑物的高分别 为24 3 m 和16 3 m.
BDDDDDD
o
40000000o56666666oooooo
C
D
45o
A
问题1 楼房AB的高度是多少 ?
问题2 楼房CD的高度是多少 ?
A 60o
M
30o
E
D
B 50m
C
B
旋转
45
Do
60
o
C
平移 A
BDDDDDD
o
40000000o 56666666oooooo
C
D
45o
A
A
A
A
45o 60o
北
A
B
300
O
东
解: 在Rt△AOC中,
北
OA＝500m, ∠AOC＝ 300,A
C
B
∴AC＝OAsin∠AOC
＝500sin30 0
500
＝500×0.5＝250(m)
300
∴OC＝OAcos∠AOC
＝500× 在Rt△BOC中,
3 2
＝250
3 (m).
∠BOC＝ 450,
O
核心：构造含
东
∴BC＝OC＝ 250 3(m). ∴特25殊0 (角1+的3 )R÷t △3×60
B
D
C
B
30o
45o
D
CB
30o
翻
AAAA
转
B
45o 4 604o 4 445
B D5Bo CB5o C5oCCCCC5oo5o
45o
B BB
B
旋转
A
E
B
45
o
C
o60
D
60o C D
课外探究题：船有无触礁的危险
1. 如图,海中有一个小岛 A,该岛四周 10海里内暗礁 . 今有货轮四由西向东航行 ,开始在A岛南偏西 550的B处, 往东行驶 20海里后到达该岛的南偏西 250的C处.之后,货 轮继续向东航行 .
根号）
分析: 过D作DE∥BC,
A α
β
E
D
问题可转化为解 Rt△ABC 和Rt△AED.
B 24m C
已知:BC＝24m, ∠ α ＝300, ∠β ＝600.
F
求:AB,CD 的高.
E
解:过D作DE∥BC,则DE⊥AB,
在Rt△ABC中, ∠ACB＝∠ FAC＝600, ∴AB＝ BC·tan∠ACB
1.3解直角三角形 (3)
Rt△ABC 中，∠C＝90°
1.两锐角之间的关系: B
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 角
a 2+b 2=c2
C
A
三
正弦函数：sin A = ? A的对边
角
斜边
形 3.边角之 余弦函数：cos A = ? A的邻边
间的关系
斜边
正切函数：tan A = ? A的对边 ? A的邻边
45o
B BB
B
60°
B
DD
100米
45°
C
拓展二
如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离 BD为50米， 由楼顶A望塔顶的仰角为 45 o,由楼顶A望塔底的俯 角为30o,塔高DC为 ( )
C
A
B
60o
45o
DC
B
45
o
A
旋转
A
C
E
60o
E
D
B
D
拓展三
旋转
A
45o 60o
B
D
C
B
45
Do
60
o
C
平移 A
例7.某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东
60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东
45°的方向上，
问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？
（2）轮船要继续前进多少千米？
B
核心：把公共边设为 x， 其他边用 x 表示，再列方程。
30o
45o
A
8千米
D
C
提高题：某海滨浴场的沿岸可以看作直线 AC，如图所 示，1号救生员在岸边的 A点看到海中的 B点有人求救， 便立即向前跑 300米到离B点最近的地点 C再跳入海中 游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是 6米/秒，在水中游泳的速度都是 2米/秒。
∴AB＝ AC+BC ＝250+ 250 3
≈14000(m/h) ＝14(km/h)
＝250(1+ 3) (m). 答:船的航速约为 14km/h.
例6.如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点
A测得点D 的俯角a＝300,测得点C 的俯角β ＝
60°,求AB 和CD 两座建筑物的高.（结果保留
重要结论
S? ABC
=
1 2
ab sin C
1 S? ABC = 2 bcsin A
1 S? ABC = 2 acsin B
A
c
b
B
a
C
坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
h
h ：铅垂高度
i
?
l
l ：水平宽度
i ：坡度或坡比 i = h : （l 通常写成1∶m）
坡角? ： tan ? = i = h
1. 请问1号救生员的做法是否合理？
B
B
B
45°
A
45o 60o
A
D
C
C
45° 60°
AD
C
2. 若2号救生员从 A 跑到D再跳入海中游到 B点救助, 请问谁先到达 B？
1.当已知或求解中有斜边时，就用正弦或 余弦；无斜边时，就用正切； 2.求对边时，用正弦或正切;求邻边时，用 余弦； 3.当所求的元素既可用乘法又可用除法时， 则用乘法不用除法；既可用已知数据又可 用中间数据求得时，则用原始数据，尽量 避免用中间数据.
要解决这个问题 ,我们可以将其数学化 ,如图:请与同 伴交流你是怎么想的 ? 怎么去做 ?
北
A
东
B
C
D
2.学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够
长），王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含 300的三
A
角板去度量旗杆的高度。
A
（3（（）12此））时若若他王王的同同数学学学将分老旗别师杆在来上点了绳C一子、看拉点，成D处建仰将议角旗王为杆同60上学0，绳只如子准图分用用别卷卷拉尺尺 去量量成，得仰你B角C能为=给46米0王0，、同则3学0旗0设，杆计如A方图B案的量完高出成多C任D少=务？8米吗，？你能求出旗杆
拓展一
如图,为了求河的宽度 ,在河对岸岸边任意 取一点A,再在河这边沿河边取两点 B、C,使得 ∠ABC=60°,∠ACB＝ 45°,量得BC长为100米, 求河的宽度（即求 BC边上的高） .
A A
45o 60o
B
D
C
翻
AAAA
转
B
B
45o
D
45Bo 60CB45ooC45oCCCCC45oo45o 5
l
有关精确度的计算要注意:
（1）取近似值时，过程中的数据比结 果的数据多保留一位。 （2）记住：
2 ? 1.414; 3 ? 1.732; 5 ? 2.236
如图， 在进行测量时，从下向上看， 视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下 看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例5.海防哨所0发现,在它的北偏西300,距离哨所 500m的A处有一艘船向正东方向,经过3分时间后到 达哨所东北方向的B处.问船从A处到B处的航速是 多少km/h(精确到1km/h)?
核心：构造含 特殊角的 Rt △
＝24wenku.baidu.coman600 ＝24 3
在△ADE中, ∠ADE＝∠ DAF＝300, DE＝BC＝24,
∴AE＝DE·tan∠ADE ＝24·tan30 0＝8 3
∴CD＝ AB －AE ＝24 3－8 3
＝16 3 ※※※※※※※※※※※※※※※※
答:两座建筑物的高分别 为24 3 m 和16 3 m.
BDDDDDD
o
40000000o56666666oooooo
C
D
45o
A
问题1 楼房AB的高度是多少 ?
问题2 楼房CD的高度是多少 ?
A 60o
M
30o
E
D
B 50m
C
B
旋转
45
Do
60
o
C
平移 A
BDDDDDD
o
40000000o 56666666oooooo
C
D
45o
A
A
A
A
45o 60o
北
A
B
300
O
东
解: 在Rt△AOC中,
北
OA＝500m, ∠AOC＝ 300,A
C
B
∴AC＝OAsin∠AOC
＝500sin30 0
500
＝500×0.5＝250(m)
300
∴OC＝OAcos∠AOC
＝500× 在Rt△BOC中,
3 2
＝250
3 (m).
∠BOC＝ 450,
O
核心：构造含
东
∴BC＝OC＝ 250 3(m). ∴特25殊0 (角1+的3 )R÷t △3×60
B
D
C
B
30o
45o
D
CB
30o
翻
AAAA
转
B
45o 4 604o 4 445
B D5Bo CB5o C5oCCCCC5oo5o
45o
B BB
B
旋转
A
E
B
45
o
C
o60
D
60o C D
课外探究题：船有无触礁的危险
1. 如图,海中有一个小岛 A,该岛四周 10海里内暗礁 . 今有货轮四由西向东航行 ,开始在A岛南偏西 550的B处, 往东行驶 20海里后到达该岛的南偏西 250的C处.之后,货 轮继续向东航行 .
根号）
分析: 过D作DE∥BC,
A α
β
E
D
问题可转化为解 Rt△ABC 和Rt△AED.
B 24m C
已知:BC＝24m, ∠ α ＝300, ∠β ＝600.
F
求:AB,CD 的高.
E
解:过D作DE∥BC,则DE⊥AB,
在Rt△ABC中, ∠ACB＝∠ FAC＝600, ∴AB＝ BC·tan∠ACB
1.3解直角三角形 (3)
Rt△ABC 中，∠C＝90°
1.两锐角之间的关系: B
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 角
a 2+b 2=c2
C
A
三
正弦函数：sin A = ? A的对边
角
斜边
形 3.边角之 余弦函数：cos A = ? A的邻边
间的关系
斜边
正切函数：tan A = ? A的对边 ? A的邻边
45o
B BB
B
60°
B
DD
100米
45°
C
拓展二
如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离 BD为50米， 由楼顶A望塔顶的仰角为 45 o,由楼顶A望塔底的俯 角为30o,塔高DC为 ( )
C
A
B
60o
45o
DC
B
45
o
A
旋转
A
C
E
60o
E
D
B
D
拓展三
旋转
A
45o 60o
B
D
C
B
45
Do
60
o
C
平移 A
例7.某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东
60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东
45°的方向上，
问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？
（2）轮船要继续前进多少千米？
B
核心：把公共边设为 x， 其他边用 x 表示，再列方程。
30o
45o
A
8千米
D
C
提高题：某海滨浴场的沿岸可以看作直线 AC，如图所 示，1号救生员在岸边的 A点看到海中的 B点有人求救， 便立即向前跑 300米到离B点最近的地点 C再跳入海中 游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是 6米/秒，在水中游泳的速度都是 2米/秒。
∴AB＝ AC+BC ＝250+ 250 3
≈14000(m/h) ＝14(km/h)
＝250(1+ 3) (m). 答:船的航速约为 14km/h.
例6.如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点
A测得点D 的俯角a＝300,测得点C 的俯角β ＝
60°,求AB 和CD 两座建筑物的高.（结果保留
重要结论
S? ABC
=
1 2
ab sin C
1 S? ABC = 2 bcsin A
1 S? ABC = 2 acsin B
A
c
b
B
a
C
坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
h
h ：铅垂高度
i
?
l
l ：水平宽度
i ：坡度或坡比 i = h : （l 通常写成1∶m）
坡角? ： tan ? = i = h
1. 请问1号救生员的做法是否合理？
B
B
B
45°
A
45o 60o
A
D
C
C
45° 60°
AD
C
2. 若2号救生员从 A 跑到D再跳入海中游到 B点救助, 请问谁先到达 B？
1.当已知或求解中有斜边时，就用正弦或 余弦；无斜边时，就用正切； 2.求对边时，用正弦或正切;求邻边时，用 余弦； 3.当所求的元素既可用乘法又可用除法时， 则用乘法不用除法；既可用已知数据又可 用中间数据求得时，则用原始数据，尽量 避免用中间数据.