第四章 拉普拉斯方程的格林函数法.ppt
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数理方程第四章
1 在区域 K 内直到边界上，v 可任意求导。 r
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r 代替第二格林公式中的 . 则我们有
lim u( x, y, z ) 0,
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续, 在 内 1 P , Q , R C C 有一阶连续偏导数，即
两式相减, 得
2 2
第二格林公式
v u ( u v v u)dV ( u v )dS n n
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, 取 v 1, 有
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 , 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。 构造辅助函数
1 v r
1
x x0 y y0 z z0
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
它描述了稳恒状态下的物理现象。 拉普拉斯方程 u 0的连续解，也叫调和 函数。
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)
0
x
y
v=
和函数在这一点的值。为此， 和函数在这一点的值。为此，构造一个函数
1 1 1 = = r MM 0 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2
(4.10)
函数
通常称之为三维拉普拉斯方程的基本解 三维拉普拉斯方程的基本解。 色，通常称之为三维拉普拉斯方程的基本解。 考虑到 v =
第二、三两章，我们较为系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法： 第二、三两章，我们较为系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法： 分离变量法 行波法 积分变换法
本章，我们将介绍拉普拉斯的格林函数法。 本章，我们将介绍拉普拉斯的格林函数法。 先讨论涉及此类方程解的一些重要性质 再建立格林函数的概念 然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式
2
拉普拉斯算子） 拉普拉斯算子）
拉普拉斯（ 第四章 拉普拉斯（Laplace）方程的格林（Green）函数法 ）方程的格林（ ）
第一章，作为本课程的基础，从试探、训练的角度出发， 第一章，作为本课程的基础，从试探、训练的角度出发，对一些典型方程和定解 条件的导出，进行了演绎。 条件的导出，进行了演绎。
Γ 上任意一点处的法向导数 ∂ n 存在，并满足 存在，
∂u
∂u ∂ n′
这里 n′ 是边界曲面 Γ 的内法向矢量。 的内法向矢量。
Γ
= f
（1） 第一边值问题 ） （2） 第二边值问题 ） （3） 迪氏外问题 ） （4） 牛曼外问题 ）
下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。 下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。
下面来推导（ ）式的两个推论。 下面来推导（4.6）式的两个推论。 上有一阶连续偏导数， 设函数 u ( x , y , z ) 和 v ( x , y , z ) 在 Ω + Γ 上有一阶连续偏导数，在 Γ 内有连续的所有偏导 数，在（4.6）中，令 ）
拉普拉斯方程的格林函数法
拉普拉斯方程的格林函数法
本次课主要内容
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法4.2 格林公式
4.1拉普拉斯方程边值问题的提法
狄氏问题
•在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。
3、内问题与外问题
以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。
重点讨论内问题
4.2 格林公式
二个格林公式
借助于二个格林公式，可以得到拉氏方程的狄氏问题与牛曼问题的解的积分表达式。
为何引入格林公式
积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
我们要求解的数值方程中均含有Δ，格林公式是将未知函数从微分算符Δ下解脱出来的工具。
而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。
两个推论(Gauss 公式)
格林公式建立了区域Ω中的场与边界Γ上的场之间的关系。
因此，利用格林公式可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。
格林公式说明了两种标量场之间应该满足的关系。
因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林公式求解另一种场的分布特性。
3、调和函数的性质
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1)在具有二阶连续偏导数；Ω+Γ称u 为Ω上的调和函数。
2、调和函数的性质。
2
∇=u (2)。
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace方程的格林函数法第四章laplace方程的格林函数法在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法―分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍laplace方程的格林函数法。
先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立laplace方程第一边值问题解的积分表达式。
§4.1laplace方程边值问题的提法在第一章，从无源静电场的电位原产及稳恒温度场的温度原产两个问题推论出来了三维laplace方程2u2u2uuu2220xyz2做为叙述平衡和均衡等物理现象的laplace方程，它无法加初始条件。
至于边界条件，例如第一章所述的三种类型，应用领域得较多的就是如下两种边值问题。
（1）第一边值问题在空间(x,y,z)中某一个区域?的边界?上给定了连续函数f，要求这样一个函数u(x,y,z)，它在闭域（或记作?）上连续，在?内有二阶连续偏导数且满足laplace方程，在?上与已知函数f相重合，即u?（4.1）?f第一边值问题也称为狄利克莱（dirichlet）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
1laplace方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足laplace方程的连续函数，称为调和函数。
所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域?内找一个调和函数，它在边界?上的值为已知。
（2）第二边值问题在某扁平的闭合曲面?上得出连续函数f，建议找寻这样一个函数u(x,y,z)，它在?内部的区域?中就是调和函数，在上连续，在?上任一点处法向导数u存有，并且等同于未知函数f?n在该点的值：unf（4.2）这里n就是?的外法向矢量。
第二边值问题也称纽曼（neumann）问题。
以上两个问题都就是在边界?上取值某些边界条件，在区域内部建议满足用户laplace 方程的求解，这样的问题称作内问题。
在应用中我们还会遇到dirichlet问题和neumann问题的另一种提法。
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
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2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
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8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
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11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
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7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
格林函数法
第四章 格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
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u v u v u v u v udV ( ) dV v dS x x y y z z n
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
c r
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
3
2019/3/8
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 ,其极坐标形式为: u u u 0 xx yy
2 2 u 1 u 1 u 2 2 0 2 r r r r
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
5
2019/3/8
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 uV(r)(即与 无关的解) ,则有：
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
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方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
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2019/3/8
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 ,其极坐标形式为: u u u 0 xx yy
2 2 u 1 u 1 u 2 2 0 2 r r r r
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 uV(r)(即与 无关的解) ,则有：
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24.03.2019
v u dS n
4.2 u 格 林 的位置 公 式 ,v 交换 ,有 P Q R d V u x y z 2 v dS g r a d v g r a d u d V v udV u v v u v v u v v n u dV u dV u dV x x y y x y z z z 两式相减, 得
第 四 章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
u x ,y , z 设 u 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 2 2 0 , 2 x y z
描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
u 0
2
不存在初始条件.
v x, y,zu R z
则
1 P , Q , R C C
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
v v v u cos n , x cos n , y cos n , z dS x y z
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
设 M 是 内一固定点, 下面求调和 x ,y , z 0 0 0 0 函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 u v u u 1 2 , 由 v 是调和 函数，可得
v v d S g r a dg v r a d v d V 0 n v dS 0, 所以 在两种边界条件下，都有 v n
v v v 0 故在 内必有 g , 即 r a dv0 x y z
r a d v V 0 . d g
2
可得 v C ，其中 C为常数.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0 从而 v 0 .
4.2 格 林 公 式
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，P ，Q 上连 在闭域 R x ,y ,z x ,y ,z x ， ,y ,z 续,在 内有一阶连续偏导数，则
P Q R d V P c o s n , x Q c o s n , y R c o s n , z d S xyz
1 2 结论 狄利克雷问题在 C C 内的解是唯一确定的,
牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
24.03.2019Fra bibliotek4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
24.03.2019
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
边界条件: 1） 第一边值问题
u 0( )
u | f .
2)第二边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题
u 0( )
u f n
24.03.2019
纽曼(Neumann)问题
其中 n 为 的外法向量。 高斯公式可简记为
a dV a n d S
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
满足 v x ,y ,z ,y ,z,v 设 uux
1 2 u , v C C
v v x, y,zu x, y, z u Q 令 P x y
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu 必是原问题满足零边界条件的解. u 1 2
对于狄利克雷问题，v 满足 2v 0, v v | 0 对于牛曼问题, v 满足 2 v 0, v v | 0 n
2
2
2
2
2
2
2 2 2 v v v u v u v u v v u u dV dV 2 2 2 2 2 ( u v v ud ) V x y z (u v ) d S x x y y z z
r a d u g r a d v d V g
u vdV
2
n
n
第二格林公式
所以
v u dS g r a d u g r a d v d V u vdV n 第一格林公式 24.03.2019
2
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 u 中取 u 为上述调和函数, v 1, 则有 dS 0. n u f )有解的必要条件为函数 f 所以牛曼内问题( n 满足 fdS 0
v u dS n
4.2 u 格 林 的位置 公 式 ,v 交换 ,有 P Q R d V u x y z 2 v dS g r a d v g r a d u d V v udV u v v u v v u v v n u dV u dV u dV x x y y x y z z z 两式相减, 得
第 四 章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
u x ,y , z 设 u 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 2 2 0 , 2 x y z
描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
u 0
2
不存在初始条件.
v x, y,zu R z
则
1 P , Q , R C C
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
v v v u cos n , x cos n , y cos n , z dS x y z
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
设 M 是 内一固定点, 下面求调和 x ,y , z 0 0 0 0 函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
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4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 u v u u 1 2 , 由 v 是调和 函数，可得
v v d S g r a dg v r a d v d V 0 n v dS 0, 所以 在两种边界条件下，都有 v n
v v v 0 故在 内必有 g , 即 r a dv0 x y z
r a d v V 0 . d g
2
可得 v C ，其中 C为常数.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0 从而 v 0 .
4.2 格 林 公 式
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，P ，Q 上连 在闭域 R x ,y ,z x ,y ,z x ， ,y ,z 续,在 内有一阶连续偏导数，则
P Q R d V P c o s n , x Q c o s n , y R c o s n , z d S xyz
1 2 结论 狄利克雷问题在 C C 内的解是唯一确定的,
牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
24.03.2019Fra bibliotek4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
24.03.2019
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
边界条件: 1） 第一边值问题
u 0( )
u | f .
2)第二边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题
u 0( )
u f n
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纽曼(Neumann)问题
其中 n 为 的外法向量。 高斯公式可简记为
a dV a n d S
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4.2 格 林 公 式
满足 v x ,y ,z ,y ,z,v 设 uux
1 2 u , v C C
v v x, y,zu x, y, z u Q 令 P x y
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
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4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu 必是原问题满足零边界条件的解. u 1 2
对于狄利克雷问题，v 满足 2v 0, v v | 0 对于牛曼问题, v 满足 2 v 0, v v | 0 n
2
2
2
2
2
2
2 2 2 v v v u v u v u v v u u dV dV 2 2 2 2 2 ( u v v ud ) V x y z (u v ) d S x x y y z z
r a d u g r a d v d V g
u vdV
2
n
n
第二格林公式
所以
v u dS g r a d u g r a d v d V u vdV n 第一格林公式 24.03.2019
2
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 u 中取 u 为上述调和函数, v 1, 则有 dS 0. n u f )有解的必要条件为函数 f 所以牛曼内问题( n 满足 fdS 0