第四章 拉普拉斯方程的格林函数法.ppt
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 四 章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
u x ,y , z 设 u 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 2 2 0 , 2 x y z
描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
u 0
2
不存在初始条件.
v x, y,zu R z
则
1 P , Q , R C C
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
v v v u cos n , x cos n , y cos n , z dS x y z
其中 n 为 的外法向量。 高斯公式可简记为
a dV a n d S
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
满足 v x ,y ,z ,y ,z,v 设 uux
1 2 u , v C C
v v x, y,zu x, y, z u Q 令 P x y
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu 必是原问题满足零边界条件的解. u 1 2
对于狄利克雷问题，v 满足 2v 0, v v | 0 对于牛曼问题, v 满足 2 v 0, v v | 0 n
v v v 0 故在 内必有 g , 即 r a dv0 x y z
r a d v V 0 . d g
2
可得 v C ，其中 C为常数.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0 从而 v 0 .
2
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 u 中取 u 为上述调和函数, v 1, 则有 dS 0. n u f )有解的必要条件为函数 f 所以牛曼内问题( n 满足 fdS 0
4.2 格 林 公 式
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，P ，Q 上连 在闭域 R x ,y ,z x ,y ,z x ， ,y ,z 续,在 内有一阶连续偏导数，则
P Q R d V P c o s n , x Q c o s n , y R c o s n , z d S xyz
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
设 M 是 内一固定点, 下面求调和 x ,y , z 0 0 0 0 函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
1 Biblioteka Baidu 结论 狄利克雷问题在 C C 内的解是唯一确定的,
牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 u v u u 1 2 , 由 v 是调和 函数，可得
v v d S g r a dg v r a d v d V 0 n v dS 0, 所以 在两种边界条件下，都有 v n
24.03.2019
v u dS n
4.2 u 格 林 的位置 公 式 ,v 交换 ,有 P Q R d V u x y z 2 v dS g r a d v g r a d u d V v udV u v v u v v u v v n u dV u dV u dV x x y y x y z z z 两式相减, 得
2
2
2
2
2
2
2 2 2 v v v u v u v u v v u u dV dV 2 2 2 2 2 ( u v v ud ) V x y z (u v ) d S x x y y z z
r a d u g r a d v d V g
u vdV
2
n
n
第二格林公式
所以
v u dS g r a d u g r a d v d V u vdV n 第一格林公式 24.03.2019
拉普拉斯方程的解称为调和函数
24.03.2019
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
边界条件: 1） 第一边值问题
u 0( )
u | f .
2)第二边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题
u 0( )
u f n
24.03.2019
纽曼(Neumann)问题
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
u x ,y , z 设 u 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 2 2 0 , 2 x y z
描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
u 0
2
不存在初始条件.
v x, y,zu R z
则
1 P , Q , R C C
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
v v v u cos n , x cos n , y cos n , z dS x y z
其中 n 为 的外法向量。 高斯公式可简记为
a dV a n d S
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
满足 v x ,y ,z ,y ,z,v 设 uux
1 2 u , v C C
v v x, y,zu x, y, z u Q 令 P x y
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu 必是原问题满足零边界条件的解. u 1 2
对于狄利克雷问题，v 满足 2v 0, v v | 0 对于牛曼问题, v 满足 2 v 0, v v | 0 n
v v v 0 故在 内必有 g , 即 r a dv0 x y z
r a d v V 0 . d g
2
可得 v C ，其中 C为常数.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0 从而 v 0 .
2
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 u 中取 u 为上述调和函数, v 1, 则有 dS 0. n u f )有解的必要条件为函数 f 所以牛曼内问题( n 满足 fdS 0
4.2 格 林 公 式
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，P ，Q 上连 在闭域 R x ,y ,z x ,y ,z x ， ,y ,z 续,在 内有一阶连续偏导数，则
P Q R d V P c o s n , x Q c o s n , y R c o s n , z d S xyz
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
设 M 是 内一固定点, 下面求调和 x ,y , z 0 0 0 0 函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
1 Biblioteka Baidu 结论 狄利克雷问题在 C C 内的解是唯一确定的,
牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
24.03.2019
4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 u v u u 1 2 , 由 v 是调和 函数，可得
v v d S g r a dg v r a d v d V 0 n v dS 0, 所以 在两种边界条件下，都有 v n
24.03.2019
v u dS n
4.2 u 格 林 的位置 公 式 ,v 交换 ,有 P Q R d V u x y z 2 v dS g r a d v g r a d u d V v udV u v v u v v u v v n u dV u dV u dV x x y y x y z z z 两式相减, 得
2
2
2
2
2
2
2 2 2 v v v u v u v u v v u u dV dV 2 2 2 2 2 ( u v v ud ) V x y z (u v ) d S x x y y z z
r a d u g r a d v d V g
u vdV
2
n
n
第二格林公式
所以
v u dS g r a d u g r a d v d V u vdV n 第一格林公式 24.03.2019
拉普拉斯方程的解称为调和函数
24.03.2019
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
边界条件: 1） 第一边值问题
u 0( )
u | f .
2)第二边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题
u 0( )
u f n
24.03.2019
纽曼(Neumann)问题