自适应均衡(包括LSM和RLS算法)

自适应均衡实验

1、实验内容和目的

1）通过对RLS 算法的仿真，验证算法的性能，更加深刻的理解算法的理论。 2）分别用RLS 算法和LSM 算法实现图1中的自适应均衡器，比较两种算法的差异，分析比较算法的性能，从而掌握两种算法的应用。

图1 自适应均衡框图

2、基本原理分析

1）LMS 算法原理

LMS 算法一般来说包括两个基本过程：滤波过程和自适应过程。滤波过程来计算线性滤波器的输出及输出结果与期望响应的误差。自适应则是利用误差来自动调节滤波器的参数。LMS 算法也是一个递推的算法。

设()J n 是滤波器在n 时刻产生的均方误差，其梯度计算如下：

()()22n n ∇=-+J p Rw

其中R 和p 分别是输入的自相关矩阵和输入与期望输出的互相关矩阵：

()()()ˆH n n n =R

u u

()()()*ˆn n n =p

u d 则梯度向量的瞬态估计为：

()()()()()()*ˆˆ22H n n n n n n ∇

=-+J u d u u w 由最速下降算法可以得到抽头向量更新的递推关系式：

()()()()()()*ˆˆˆ1H

n n n n n n μ⎡⎤+=+-⎣⎦w w u d u w

整个LMS 算法归纳总结如下： 参数设置：

M=抽头数（滤波器长度） μ=步长参数 m a x

2

0MS μ<<

其中max S 是抽头输入功率谱密度的最大值，而滤波器长度M 为中到大 初始化：

如果知道抽头权向量()n w 的先验知识，则用它来选择()ˆ0w 的合适值，否则令()ˆ00=w

。 更新滤波过程：

()()()ˆH y n n n =w

u ()()()e n d n y n =- ()()()()*ˆˆ1n n n e n μ+=+w

w u 2）RLS 算法原理

RLS 算法是一个递归的过程，递归最小二乘问题的正则方程可用矩阵写为

()()()ˆn n n =Φw

z 其中n 是可测数据的可变长度，()n Φ更新抽头输入的自相关矩阵，()n z 是抽头

输入与期望响应之间的互相关向量，()ˆn w 是抽头的权值向量。它们对应的递归更新公式为

()()()()1H n n n n λ=--ΦΦu u (2.1)

()()()()*1n n n n λ=--z z u d (2.2) ()()()()*ˆˆ1n n n n =-+w

w k ξ (2.3) 其中λ是遗忘因子，是一个接近1有小于1的正常数，()n d 是期望输出，()n k 和()n ξ定义如式2.4和式2.5

()()()1=n n n -k Φu (2.4)

()()()()ˆ1H

n n n n =--ξd w u (2.5)

整个RLS 算法的过程可以总结为： a ． 算法初始化

1

ˆ(0)(0)δ-==w 0P I

式中的δ是正则化参数，在高信噪比时取小的正常数，低信噪比时取大的正常数。

b ． 递推过程，对应n=1,2,…

*11()(1)();()

();

()()

ˆ()()(1)();ˆˆ()(1)()();()(1)()()(1)

H H H n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n λλλ--=-=

+=--=-+=---πP u πk u πξd w

u w

w k ξP P k u P

3、实验参数设置

1）对RLS 算法仿真

仿真的是一个ARMA 模型，模型参数如下：

()()()()()()10.35210.52u n u n u n v n v n N n =---+-+-+

其中N 为白噪声，服从均值为0，方差为0.01的正态分布，输入信号v 时伪随机序列，通过原始序列v0=[1 0 1 1 0 1 0 0 1]经过9级移位寄存器产生，输出u 的两个初始值设为1、1.5。递推次数为200次，采用RLS 算法对模型参数进行估计，将估计

得到的参数与上面的模型参数比较。RLS 算法中遗忘因子λ取1，正则化参数δ取0.01。

2）基于RLS 算法的均衡

均衡器的抽头数为M=11，递推次数为200，数据源产生有零平均和单位方差的由符号+1和-1组成的Bernoulli 的序列{x (n )}。数据源之后的信道可以用升余弦脉冲响应来模拟:

20.5{1cos[(2)]}1,2,3()0

n n h n W

π⎧

+-=⎪

=⎨⎪⎩其它

均衡器的输入信号为：

3

1()()()()k u n h k x n k v n ==-+∑

信道延时

(1)

2=72

M -∆=

+ 信噪比为30dB ，遗忘因子λ取1，正则化参数δ取0.004。分别取W=2.9、W=3.1、W=3.3和W=3.5，用RLS 算法做均衡，画出其学习曲线。 3）RLS 均衡和LMS 均衡比较

信道参数、均衡器长度、递推次数、正则化参数、遗忘因子、数据源等都不变，W=3.1，分别在信噪比为10dB 和信噪比为30dB 的情况下，针对LMS 算法步长参数μ=0.075，用RLS 算法和LMS 算法做均衡，比较其学习曲线。

4、实验过程及结果分析

1）RLS 算法仿真（运行my_rls ）：

5101520253035404550

-1-0.5

0.5

1

1.5

待估参数迭代过程

5

10

15

20

25

30

35

40

45

500102030405060708090100估计方差迭代过

程

上面两个图中画出了迭代的前50次的结果，可以看到基本上迭代到20次的时候，模型参数的递推就已经收敛了，而且得到的模型参数值与真实值相差无几，下面给出了迭代200次后的模型参数值：