竞赛数学不等式完整版

不等式证明的基本技巧

数学竞赛的历史，可以追溯到16世纪意大利求解三次方程“擂台战”。而1894年匈牙利举办的全国中学数学竞赛，可以说是开中学生数学竞赛的先河。中国的少年在IMO 上屡屡夺标，不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神，而且肯定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。如果说，一名中学生，他有可能选择是否接受竞赛数学的培训，那作为一名中学数学老师没有理由对中学数学中这块领域毫无所知，所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课程。

在学习竞赛数学这门课程过程中，我比较注重它的思想和方法，课余时间我还会借阅有关课外书籍，这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。对于不等式部分我很感兴趣，并做了一些研究。竞赛数学中的不等式问题按范围可分为代数不等式、三角不等式与几何不等式，按可形式分为不等式求解、不等式证明与不等式应用，这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。下面就不等式证明这一部分我给大家做一些介绍。

证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式，进行合乎逻辑的等价变换。不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数法公式法、调整法等。下面举例说明证明不等式的常用技巧。

例1 设a,b,c 为正数，证明⎪⎭

⎫

⎝⎛-++≤⎪⎭⎫

⎝⎛-+33322abc c b a ab b a . 证

()().

23232233333ab abc c ab abc b a c b a ab b a abc c b a +-+-+-++⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++＝＝

x

x y ab abc c x 3233

3623230y 0x c y ab +-+-＝，

，，则＝，＝设φφ ()()()

()()()()

()()0

2222222

2

22

3

2

2

3

≥++--⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+----++---x y x y x y x y xy x y x y x y x y y y y x y x y x x

x x y ＝

＝＝＝＝

.2

时等号成立＝即＝仅当c ab y x

⎪⎭

⎫

⎝⎛-++≤⎪⎭⎫

⎝⎛-+33322abc c b a ab b a 所以.

例2 .1716,1

80

1

ππS k

S k 求证＝设＝∑

证 对自然数k ，显然成立

,121+++-k k k k k π

π取倒数可得

()()

,

121

12,

1

1

21

1

1

---+-+++k k k

k k k k k k k πππ

π

对k 从m 到n 求和交叉相消可得 (

)()

121

12---+∑

m n k

m n n

m

k ＝π

所以，在上式的左式中m ＝1，n ＝80，即得16

1718021ππ-+s 因此16

例3 .1111,,,c c

b b a a

c b a c b a R c b a +++++≤+++++∈求证：

证 构造函数()[)时，

则当＝x x x x

x f 2

10,0,1x

π

≤+∞∈+ ()()()01111211

21122φx x x x x x x x x f ++-

+-+＝＝ 所以函数()[)上是严格递增的，由，在＝∞++01x

x

x f

()().c b a f c b a f c b a c b a ++≤++++≤++有 即

c

b a

c b a c

b a

c b a +++++≤

+++++11

()()()c b a c

c b a b c b a ++++

+++++++111a ＝ c

c b

b a

a ++

++

+≤

111

分析 不等式中四个式子形式相似，相当于函数()x

x

x f +1＝

在相应四个点的函数值，由此我们设置辅助函数来研究不等式.利用不等式的特点，构造辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法。

例4 设a ，b ，c 是三角形的三边长，求证

()()()02

2

2

≥-+-+-a c a c b c b a b c b a

，.并确定等号成立的条件

证 (),,,c b a 2

1

s c s z b s y a s x s ---++＝＝＝，再令＝为半圆周，即令 ，且则0,,φz y x

.,,y x c x z b z y a +++＝＝＝ 此代换把欲证之不等式变为

,022

2

233

3≥⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++

-⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy zx yz z y x z y

x x z y

又可变为 ()

()

(),02

2

2

≥++---z y y z x z xy

zx

yz

最后一式显然成立，故知欲证不等式成立，且等号成立当且仅当 x=y=z, 即 a=b=c.

分析 本题证法常用于与三角形有关的不等式，构造几何图形，解释代数公式，利用几何的性质，推导相应的结果，本题如设a ≥b ≥c ，则失去一般性（因题设不等式左边对a ，b ，c 不是对称多项式）

例5 设x ，y ，z 为实数，x+y+z=0，求证