《独立重复试验与二项分布》导学案
高中数学 2.2.3独立重复试验与二项分布导学案(无答案)新人教B版选修2-3
§2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算学习过程【任务一】问题分析问题1：将一枚均匀硬币随机抛掷3次，求：（1）恰好出现一次正面的概率；（2）恰好出现两次正面的概率。
问题2:10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回的去2次，求恰好取到一件不合格品的概率。
【任务二】概念理解1.n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。
2.n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率：（设事件A 发生的概率为p ）),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k n n ⋅⋅⋅=-=-。
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布。
【任务三】典型例题分析例1：某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求下列事件的概率：（1）5次中有3次中靶；（2）5次中至少有3次中靶。
例2：某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【任务四】课后作业1.已知一批玉米种子的出苗率为0.9，现每穴种两粒，问一粒出苗一粒不出苗的概率是2.某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是3.在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为________4.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．5.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果用分数表示）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；(2) 5次预报中至少有4次准确的概率。
高中数学第二章2.2二项分布及其应用2.2.3独立重复试验与二项分布问题导学案
2.2.3 独立重复试验与二项分布问题导学一、独立重复试验活动与探究1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．迁移与应用1．(2013四川广元模拟)打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为( )A．C41000.84×0.296 B．0.84C．0.84×0.296 D．0.24×0.2962．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________．(1)n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．(2)独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．二、二项分布活动与探究2某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．迁移与应用1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，则击中目标的次数X 的概率分布列为__________．2．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．三、二项分布的综合应用 活动与探究3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．迁移与应用某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．答案：课前·预习导学 【预习导引】 1．相同预习交流1 提示：①在相同条件下重复做n 次试验的过程中，各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )，A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验的结果．②在独立重复试验中，每一次试验只有两个结果，也就是事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中，某事件发生的概率都是一样的．2．C k n p k (1－p )n －k成功概率 预习交流2 (1)提示：两点分布是特殊的二项分布，即X ～B (n ，p )中，当n ＝1时，二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊与一般的关系．(2)提示：B课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8． 5次预报相当于5次独立重复试验， 2次准确的概率为P ＝25C ×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝05C ×(0.2)5＋15C ×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．∴所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99． (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02．∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．迁移与应用 1．A 解析：由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C 4100·0．84×0．296．2．827解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验， 设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13，∴恰有2人申请A 片区的概率为P (2)＝24C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827．活动与探究2 思路分析：本题符合二项分布模型，根据题意，可直接利用二项分布的概率计算方法解答．解：由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝k )＝4C k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k ＝4C k·24－k81(k ＝0,1,2,3,4)，∴X 的分布列为由已知，n ＝4，p ＝0.8，P (X ＝k )＝C k 4×0.8k ×0.24－k，k ＝0,1,2,3,4，∴P (X ＝0)＝C 04×0.80×0.24＝0.001 6，P (X ＝1)＝C 14×0.81×0.23＝0.025 6，P (X ＝2)＝C 24×0.82×0.22＝0.153 6，P (X ＝3)＝C 34×0.83×0.21＝0.409 6，P (X ＝4)＝C 44×0.84×0.20＝0.409 6． ∴X2．解：，(5,5)，(3,5)共3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13．∴某个家庭获奖的概率为13．(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13． ∴P (X ＝0)＝05C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫130·⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243，P (X ＝1)＝15C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243，P (X ＝2)＝25C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243， P (X ＝3)＝35C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243，P (X ＝4)＝45C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫134·⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243，P (X ＝5)＝55C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫135·⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1243．∴XAB 划分为两个互斥事件．解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23． P (ξ＝0)＝03C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝13C ×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝23C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝33C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得23分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝23C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛ 23×13×12＋13×⎭⎪⎫23×12＋13×13×12＝1081． P (D )＝827×⎝⎛⎭⎪⎫1－23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝4243．∴P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1081＋4243＝34243．迁移与应用 解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ．因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 发生的概率为：P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427．(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意，得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827． 由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89．当堂检测1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A ．49125 B ．48125 C ．1625 D ．925答案：B 解析：∵每1粒发芽的概率为定值，∴播下3粒种子相当于做了3次试验，设发芽的种子数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B 43,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴P (X ＝2)＝C23×214155⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝48125．故选B ．2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B 162⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则P (ξ≤3)等于( ) A ．1132 B ．732 C ．2132 D ．764答案：C 解析：P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝6666012366661111C C C C 2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++ ＝2132． 3．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为__________．答案：49解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为2123214C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)答案：①③ 解析：②中恰好击中目标3次的概率应为34C ×0.93×0.1＝0.93×0.4，①③正确．5．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：(1)甲坑不需要补种的概率；答案：解：因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875． (2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； 答案：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为21371C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭． (3)有坑需要补种的概率．(精确到0.001)答案：方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为378⎛⎫⎪⎝⎭，所以有坑需要补种的概率为1－378⎛⎫⎪⎝⎭≈0.330．方法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯≈ ⎪⎝⎭；3个坑都需要补种的概率为33317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330．。
2.2.3独立重复试验与二项分布导学案
《2.2.3独立重复试验与二项分布》导学案学习目标：1、 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布的概念2、 能利用二项分布概率模型解决一些简单的实际问题重点：n 次独立重复试验的模型及二项分布的概念难点：二项分布概率模型的应用◆ 预习案※ 复习：（温故而知新）1、⑴()()()P A B P A P B +=+（当A B 与互斥时）； ⑵()(|)()P AB P B A P A = ⑶()()()P AB P A P B =（当A B 与相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？2、分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个骰子投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;⑷一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.共同特点：1、n 次独立重复试验:一般地,在________条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”显然，12()n P A A A =_____________________独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A 事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
试一试（创新33页例1）◆探究案※探究任务：书本56页“探究”“思考”2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_____________________________________________________________此时称随机变量X服从二项分布，记作X~_________,并称p为____________。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《独立重复试验与二项分布》导学案
2.2.3独立重复试验与二项分布【学习要求】1．理解n次独立重复试验的模型。
2．理解二项分布。
3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。
【学法指导】独立重复试验是研究随机现象的重要途径，二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，学习中要把握它们的联系，掌握二项分布的特点。
【知识要点】1．n次独立重复实验在条件下的n次试验称为n次独立重复试验。
2．二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p，，k＝0，1，2，…，n。
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～，并称p为。
【问题探究】探究点一n次独立重复试验的概率求法问题1投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q＝1－p，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？问题2问题1中若连续掷一枚图钉n次，恰好出现k次(k≤n)针尖向上的概率又是多少？它与二项式定理有何联系？问题3独立重复试验有哪些特点？例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率。
(结果保留两个有效数字)小结解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中的事件A，接着分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，若是，利用公式P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n－k计算便可。
跟踪训练1 已知一个射手每次击中目标的概率为p ＝35，求他在4次射击中下列事件发生的概率。
（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二次、第三次两次击中目标。
探究点二 二项分布的应用问题 二项分布和两点分布有何联系？例2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响。
独立重复试验与二项分布导学案
独立重复试验与二项分布导学案【学习目标】A 级目标：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n 次独立重复试验的模型及二 项分布，并能解决一些简单的实际问题；B 级目标：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.【重点难点】重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题； 难点：二项分布模型的构建.【学习过程】一、 复习回顾 课题引入1、相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.2、相互独立事件同时发生的概率：()()()P AB P A P B =一般地，如果事件12,,,n A A A …相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A =…….思考：掷一枚图钉，针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为1p -问题（1）:第1次、第2次、第3次…第n 次针尖向上的概率是多少?问题（2）：用(1,2,3,,)i A i n =… 表示第i 次掷得针尖朝上的事件，这n 次试验相互独立么？问题（3）：若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？问题（4）：每种情况的概率分别是多少？问题（5）：这3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？问题（6）：连续掷n 次，恰有k 次针尖向上的概率是多少？根据上述问题，你能得出那些结论？二、自主探究 得出结论概念归纳：1、独立重复试验的定义：一般地，由 次试验构成，且每次试验 完成，每次试验的结果仅有 状态，即A 与A ，每次试验中 。
我们将这样的试验称为 试验，也称为 试验.特点：（1）在同样条件下重复地进行的一种试验；（2）各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；（3）每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的.2、独立重复试验的概率公式：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k == ,此时称随机变量X 服从 ，记作 ，并称p 为 . 思考：对比这个公式与表示二项式定理的公式，你能看出它们之间的联系吗？令1q p =-，得到随机变量X 的概率分布如下： X 01 … k … n Pn n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+-- 中的各项的值.三．合作交流，解决问题例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)【当堂检测】第一关1.初试锋芒 谁与争锋1.1(5,),(3)3X B p X = 已知随机变量求.2.种植某种树苗，成活率为0.9，现在种植这种树苗5棵，试求：(1)全部成活的概率为( )；(2)全部死亡的概率为( )；(3)至少成活4棵的概率（ ）.3．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 四．突破疑难例2：某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n n P P =-=-．由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次.例3：某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量~(2,5%)B ξ，所以022(0)(15%)0.9025P C ξ==-=1112(1)(5%)(15%)0.095P C ξ==⨯-=222(2)(5%)0.0025P C ξ===因此，次品数ξ的概率分布是ξ0 1 2 P0.9025 0.095 0.0025【当堂检测】第二关2.闯关陷阵 唯我独尊1．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 2．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）4．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p -5.某机器正常工作的概率是 45,5天内有4天正常工作的概率是 。
精品导学案：独立重复实验与二项分布
精品导学案：2． 2．3独立重复实验与二项分布 教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++L 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+L 991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
独立重复试验与二项分布教案
独立重复试验与二项分布教案《独立重复试验与二项分布》教案【教学目标】识与技能：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
程与方法：渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。
通过主动探究、相互交流，培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力，感受数学建模的过程中的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。
感态度与价值观：培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神，让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
【教学重点、难点】学重点:独立重复试验、n次独立重复试验发生K次的概率公式的推导，二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
教学难点: n次独立重复试验发生K次的概率公式的推导，二项分布模型的构建。
【教学方法】探究式教学与多媒体辅助教学【教学过程】复习引入前面我们学习了许多不同关系的事件，让我们一起复习一下：什么叫互斥事件？互斥事件有一个发生的概率如何计算？什么是对立事件？必有一个发生的两个互斥事件。
什么叫相互独立事件？相互独立事件是否可以同时发生？同时发生的概率怎样计算？相互独立事件在我们生活中大量存在，你们能举一些例子么？二、创设情景，激发求知欲1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。
2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。
3、口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。
问题1、通过完成表格，请总结出上面这些试验有什么共同的特点？以上试验都是相互独立试验，每次试验的条件都相同，都只有两种结果即事件A成功或失败，且每次试验事件A成功的概率相同，失败的概率也相同，就是在相同条件下重复做同样的实验，这就是我们今天要研究的试验，你能抽象出这种试验的概念么？书定义:1相同条件,2相互独立,3 两种结果 4 P(A)相同，n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
高三一轮复习导学案独立重复试验与二项分布
第十二章 排列组合、二项式定理、概率(9)12.9 独立重复试验与二项分布考点诠释重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 难点：判断独立重复试验模型及二项分布.典例精析题型一 相互独立事件同时发生的概率【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.【思路分析】由题意知，甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件为相互独立事件，根据相互独立事件的概率公式列方程求解，对于求至少有一个一等品的概率，可以利用它的对立事件概率来求解.【解析】【方法归纳】相互独立事件是发生的概率互不影响的两个或多个事件.两个相互独立事件同时发生的概率满足P (AB )＝P (A )P (B )，对于求与“至少”、“至多”有关事件的概率，通常转化为求其对立事件的概率.【举一反三】1.在某社区举办的“2012年伦敦奥运会知识有奖问答比赛”中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14.求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. 【解析】题型二 独立重复试验【例2】某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响. (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.【思路分析】本题是典型的独立重复试验问题，(1)利用概率公式计算即可；(2)分三类情况分别计算.【解析】【方法归纳】独立重复试验是同一试验的n 次重复，每次试验成功的概率都相同，恰有k 次试验成功的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . 【举一反三】2.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13.从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求P (ξ≥2).【解析】题型三 二项分布【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；(2)设Y 为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y 的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【思路分析】(1)X ～B (6，13)，利用公式计算并列表；(2)Y 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，分别计算概率得分布列；(3)利用求对立事件的概率解得.【解析】【方法归纳】解决离散型随机变量的分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意分析题中的离散型随机变量服从何种分布.分布列能完整地刻画随机变量X 与相应概率的变化情况，是我们进一步分析随机变量的基础.【举一反三】3.某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(当第n 次出现正面时)，－1(当第n 次出现反面时)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *).(1)求S 8＝2的概率；(2)求S 2≠0且S 8＝2的概率.【解析】体验高考(2011大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望．【解析】【举一反三】(2011重庆)某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中，(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．【解析】。
独立重复实验
独立重复试验、二项分布学案重点： 独立重复试验、二项分布的理解及应用会用二项分布模型解决一些简单的实际问题难点： 二项分布模型的构建 关键:二项分布的特征案例欣赏：有八张外表一样的卡片,其中四张写“大”,另四张写“小”;依次反扣在桌面上。
游戏规则：每次取其中的一张猜测，对比结果后反扣，放回桌面，重新按排好顺序，这样连续猜测8次。
甲、乙两人打赌．若甲猜对其中的四次就获胜，否则乙胜。
思考：１、前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测？也就是每次猜测是否相互独立？ 2、 游戏对双方是否公平？归纳总结：试验1: 重复抛一枚硬币 8 次,其中有2次正面向上. 试验2 : 重复掷一粒骰子6次,其中有2次出现 1 点. 指出以上试验的共同点：独立重复试验 ：____________________________________________________ ____________________________________________________________。
独立重复试验又叫贝努里（瑞士数学家和物理学家）试验.对比分析，感知概念：在下列试验中, 是独立重复试验的有____________.①某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,他连续射击4次； ②某人罚球命中的概率是0.8，在篮球比赛中罚球三次；③袋中有五个红球，两个白球，采取有放回的取球，每次取一个，取5次； ④袋中有五个红球，两个白球，采取无放回的取球，每次取一个，取5次； 一般地有，n 个相互独立的事件n n A A A A ,,,121 同时发生的概率为： ________________________________________________.问题回顾：甲猜测卡片的过程是否可以看成是独立重复试验？我们可用X 表示甲猜对的卡片数，下面探讨X 的取值和相应的概率，完成填空与表格。
X 的所有可能取值为：_____________________________. 对每次抽出的卡片猜对的概率均为p= ； 猜错的概率为q=1-p= 。
2.5 独立重复实验与二项分布-王后雄学案
张喜林制2.5 独立重复试验与二项分布教材知识检索考点知识清单1．独立重复试验是 的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． 2．在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为=ξ(P =)k （p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量，其分布列为 ，记为要点核心解读1．n 次独立重复试验及其概率一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与,A 每次试验中.0)(>=p A P 我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为①⋅=-=-),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n[注意] (1)对独立重复试验而言： ① 每次试验是在同样条件下进行的； ②每次试验的结果是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．(2)在①式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中,n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式． （续）（3）独立重复试验是相互独立事件的特倒，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．2．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率均为),10(<<p p 即⋅=-==q p A P p A P 1)(,)(由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余（n 一k 次不发生的概率为kn kqp -又由于在n 次试验中，事件A 恰好发生k 次的方式有kn C 种，所以由概率的乘法公式可知，n 次试验中，事件A 恰好发生)0(n k k ≤≤次的概率为,,,2,1,0,)(n k pq C k P k n kkn n ==-它恰好是n p q )(+的二项展开式中的第(k+1)项， 若随机变量X 的分布列为,)(kn k k n q p C k X P -==其中,,,2,1,0,1,10n k q p p ==+<<则称X 服从参数为n ，p 的二项分布( binomial distribution)，记作⋅),(~p n B X[注意] (1)两点分布与二项分布的区别与联系．在二项分布中，n 次独立重复试验每次试验的条件相同，对每次试验来说，只考虑两个可能的结果，发生与不发生，或者说每次试验服从相同的两点分布． (2)二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位． 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一；其二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次． 3．独立重复试验与二项分布的应用及常见模型(1)独立事件的概率、n 次独立重复试验的概率及二项分布是高考考查的重点内容．对这部分知识的考查常与其他知识结合在一起，有一定的综合性．试题以中档题为主，有小题，也有大题．(2)在计算中，使用频繁的莫过于n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式了，对于这一公式要注意：首先分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．解决这类实际问题往往把待求概率的事件拆分为若干个事件，而这若干个事件均为独立重复试验，解题时，还要注意概率的加法公式、乘法公式、“正难则反”思想（利用对立事件求概率）的灵活运用．(3)n 次独立重复试验常见实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币；②同时抛掷100枚同样的均匀硬币；③已知产品次（正）品率的抽样；④有放回的抽样；⑤已知射手射击目标命中率的若干次射击；⑥若干门命中率相同的大炮射击一架来犯之敌机等．典例分类剖析考点1 独立重复试验的概率 命题规律运用公式k n kk n n p p C k P --=)1()(求n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率．[例1] 有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，播下5粒种子，计算： (1)其中恰有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）； (2)其中至少有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）．[解析] 播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验，利用独立重复试验公式即可．[解] (1)播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式，5粒种子恰好4粒发芽的概率为.33.01.090.05)90.01(90.0)4(44455≈⨯⨯=-⨯⨯=C P(2)5粒种子至少有4粒发芽的概率，就是5粒种子恰有4粒发芽与5粒种子都发芽的概率的和，即5554455590.0)901(90.0)5()4(⨯+-⨯⨯=+C C P P α.92.059.033.0=+≈ [点拨] 解决此类问题，首先应明确是否是n 次独立重复试验，其次要弄清公式中n 和k 的值以及p的值．母题迁移 1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）：(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [例2] 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为,32没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？[解析] 本题考查概率基础知识、独立重复试验等．(1)中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．(2)中用同样的方法分类．[解] (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则⋅=⨯⨯⨯+=2720323132)32(122C P(2)甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则⨯⨯+⨯⨯⨯+=2242233)32(3231)32()32(C C P ⋅=⨯816432)31(2[点拨] 本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2:1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．母题迁移 2．甲每次投资获利的概率是,8.0=p 对他进行的6次相互独立的投资，计算： (1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率； (3)至少5次获利的概率， 考点2 二项分布 命题规律问题中涉及的试验是n 次独立重复试验时，可直接运用二项分布的模型列分布列．[例3] 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布．[错解]X 的可能取值是1，2，3，4．;32.02.08.0)2(;8.0)1(12=⨯⨯====C X P X P;6.02.08.0)3(213ω=⨯⨯==C X P .0256.02.08.0)4(314=⨯⨯==C X P所以X 的概率分布列为[错解分析] 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A 首次发生出现在第k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第k 次试验，必须而且只需在前（k-l ）次试验中都出现.A[正解] X 的可能取值是1，2，3，4．;16.08.02.0)2(;8.0)1(=⨯====X P X P.008.02.0)4(;032.08.02.0)3(32====⨯==X P X P所以X 的概率分布列为母题迁移 3．一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了x 次球，求x 的分布列及P(X=12)．[例4]某单位6名员工借助互联网开展工作，每名员工上网的概率都是0.5（相互独立）． (1)求至少3人同时上网的概率；(2)问至少几人同时上网的概率小于0.3?[解析] 属于独立重复试验与二项分布问题．[解] (1)设X 为同时上网的员工人数，则X~B(6，0.5)，至少三名员工同时上网-3名员工同时上网+4名员工同时上网+5名员工同时上网+6名员工同时上网=至多2名员工同时上网的对立事件． 记A={至少3名员工同时上网}，解法一：=+=+==≥=X P X P X P X P A P ()4()3()3()(==+)6()5X P 3336)5.01(5.0-⨯⨯C -⨯⨯+15.0446（C ⋅=⨯+-⨯⨯+32215.0)5.01(5.0)5.06665562C C 解法二：=+=-=≤≤-=X P X P X P A P ()0([1)20(1)(-==+1)]2()1X P +-606)5.01([C +-⨯⨯516)5.01(5.0C =-⨯⨯])5.01(5.04226C ⋅=-322132111 (2)至少4人同时上网的概率为,3.032115.05.05.0)4(666656646>=++=≥C C C X P 至少5人同时上网的概率为.3.06475.05.0)5(666656<=+=≥C C X P 所以至少5人同时上网的概率小于0.3．[点拨] 解决此类问题的关键在于弄清它们是否为二项分布，并注意“至多”“至少”一类问题．母题迁移 4．-名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是⋅31(1)设X 为这名学生在上学途中遇到的红灯次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y 的概率分布；(3)求这名学生在上学途中至少遇到一次红灯的概率． 考点3 独立重复试验及二项分布在生活中的应用 命题规律建立相应的概率模型，再利用相应的概率公式求解．[例5] 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是⋅32 (1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 的概率分布．[解析] 从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．[解] (1)解法一：记B 表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验．X=2，3，4，5． 2=X 表明第一次击中，第二次也击中，;943232)2(=⨯==X P 3=X 表明前2次击中一次，第3次击中，;27832)31()32()3(1112=⨯==C X P4=X 表明前3次击中一次，第4次击中，;27432)31()32()4(2113=⨯==C X P5=X 表明前4次击中一次，第5次击中，⋅=⨯==5311431632)31()32()5(C X P所以，⋅=+++=24323231627427894)(5B P 解法二：利用⋅-=)(1)(B P B P 油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以 ⋅=⨯--=24323232)31()31(1)(4155C B P 4,3,2)2(=X 时同(1)，当5=X 时，击中次数分别为0，1,2． ⨯++==∴11441155)32()31()32()31()5(C C X P ⋅=⨯9132)31(3所以X 的概率分布为[点拨] 要特别注意x-5的意义，当x=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P(X=5)易出错，也可以用概率分布的性质问接检验．母题迁移 5．假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-p ，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的p 而言，四发动机比二发动机更安全？优化分层测训学业水平测试1．设随机变量),21,6(~B X 则)3( X P 为( )．165.A 163.B 85.C 167.D2．独立重复试验应满足的条件是( )．①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中某事件发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的．①②.A ②③.B ①②③.C ①②④.D3．（2008年福建高考题）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,54那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是( )．62516.A 62596.B 625192.C 625252.D 4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )． 216.0.A 36.0.B 432.0.C 648.0.D 5．某企业正常用水（一天24小时用水量不超过一定量）的概率为,43在5天内至少有4天用水正常的概率为6．有五门高射炮，同时射击一架敌机，若每门高射炮的命中率为,53则至少有一门高射炮击中敌机的概率约为 （保 留两个有效数字） 7．（2009年北京高考题）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是,31遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．高考能力测试（测试时间：120分钟测试满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为,8165则事件A 在1次试验中发生的概率为( )．31.A 52.B 65.C 32.D 2．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为( )． 216.0.A 064.0.B 036.0.C 936.0.D 3．若),1.0,50(~B X 则)2(≤X P 等于( )．0725.0.A 00856.0.B 91854.0.C 11173.0.D4．有一道竞赛题，甲解出的概率为,21乙解出的概率为,31丙解出的概率为⋅41若甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有1人解出的概率为( )．241.A 2411.B 2417.C 1.D 5．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )．245.A 125.B 241.C 83.D 6．口袋中有5只白色言盘嚣’羡只黄色乒乓球'从中任取5次'每次取1只后又放回，则5次中恰好有3次取到白球的概率为( )．21.A 53.B 51035.C C C 5355.0.⋅C D7．生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多出现一件次品的概率为( )．4%)98(1.-A %2%)98(%)98.(34⋅+B 4%)98.(C %2%)98(%)98.(3144⋅+C D8．某仪表内装有m 个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是p ，则这段时间内这个仪表不能工作的概率是( )．m p A ⋅ m p B )1.(- m p C -1. m p D )1(1.--二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列四个随机变量：①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n 次中正面向上的次数；②有一批产品共有N 件，其中M 件是次品，采用有放回抽取的方法，用η表示n 次抽取中出现次品的件数；③某命中率为p(0<p<1)的射手对同一目标进行射击，一旦命中目标则停止射击，记ξ为该射手从开始射击到命中目标所需要的射击次数；④随机变量ξ为n 次射击中命中目标的次数．上述四个随机变量服从二项分布的是10.（2010年湖北高考题）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 ．（用数字作答）11．某人猜谜的猜中率为60%，他共猜10个谜，其中猜中的个数最多为 个，10次猜谜猜中个数最多的概率为．（只列出式子即可）12.设有八门大炮独立地同时向某一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标被击毁．若每门大炮命中目标的概率都是0.6，则目标被击毁的概率约为 ．（保留3位小数）三、解答题（共90分）13.（13分）设),,4(~),,2(~p B Y p B X 已知,95)1(=≥X P 求⋅≥)1(Y P14.（14分）（2011年全国高考题）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望．15.（15分）某工厂车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力．(1)这10台机床能够正常工作的概率为多大？(2)在一个工作班的8个小时内，不能正常工作的时间大约是多久？16.（16分）（2009年重庆高考题）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为65和54，且各株大树是否成活互不影响，求：移栽的4株大树中， (1)至少有1株成活的概率； (2)两种大树各成活1株的概率．17.（16分）（2009年江西高考题）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是21若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额超过15万元的概率．18.（16分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）参考答案。
独立重复试验与二项分布学案
学案5 独立重复试验与二项分布【学习目标】1、理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值【学习重难点】独立重复试验的概念形成及二项分布的发现与应用、概率模型的识别与应用前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便。
那么求概率还有什么模型呢？分析下面的试验，它们有什么共同特点？（1）投掷一个骰子投掷5次；（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次；（3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）；（4）一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球；（5）生产一种零件，出现次品的概率是0.04，生产这种零件4件。
基本概念1、n次独立重复试验：独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？2、运用n次独立重复试验模型解题例1:某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中（1）恰有8次击中目标的概率（2）至少有8次击中目标的概率.（结果保留两个有效数字）练习 已知一个射手每次击中目标的概率为53=P ，求他在三次射击中下列事件发生的概率。
（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
例2 在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。
变式练习甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是多少？例3 实力相等的甲乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）。
高中数学 2.2.2《独立重复试验与二项分布》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 2.2.2《独立重复试验与二项分布》导学案姓名: 班级：_________ 组别：_________ 组名:【学习目标】1.知道n 次独立重复试验模型及二项分布的特点，并能解答一些简单的实际问题2.能进行一些与n 次独立重复试验模型及二项分布有关的概率的计算3.会区别二项分布与两点分布【重点难点】重点：n 次独立重复试验模型及二项分布的特点难点：独立重复试验与二项分布的应用【知识链接】1. 相互独立事件的定义2. 相互独立事件同时发生的概率公式【学习过程】请阅读课本第56页的内容，尝试回答以下问题：知识点一 n 次独立重复试验及其概率问题1.在研究随机现象时，经常要在相同的条件下重复做大量的试验来发现规律.例如，研究投掷硬币结果的规律，需做大量的投掷硬币试验.条件相同时，在n 次重复投掷硬币的过程中，各次试验的结果会相互影响吗？条件不同时呢？问题2.在 的条件下 做的n 次试验称为n 次独立重复试验．问题3.独立重复试验是____________________的一种试验，在这种是试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.问题4.投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为p q -=1，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？问题5.如果在一次试验中事件A 发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为____________________．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项请阅读课本第57页的内容，尝试回答以下问题：知识点二 二项分布问题1.一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是P ,则)(k X P ==___________________(n k ,,2,1,0 =).此时称随机变量X 服从二项分布，记作__________，并称P 为成功概率.问题2.二项分布与两点分布有何联系？问题3.某同学投篮命中率为6.0，他在6次投篮中命中的次数X是一个随机变量，X～B（________），故他投中2次的概率是．变式：击中次数少于3次的概率是多少？例2．将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列？变式：抛掷一颗骰子5次，向上的点数是2的次数有3次的概率是多少？例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？【基础达标】A1.某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为（ ）． A ．31 B ． 21 C ．41 D ．43 A2．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为 （ ）．A ．3)1(p -B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-B3.若某射击手每次射击击中目标的概率是9.0，每次射击的结果相互独立，那么在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后3次都击中目标的概率是多少？B4.如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率．C5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？D6．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为6.0，乙胜的概率为4.0，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？【课堂小结】1. 知识小结：（1）独立重复事件的定义；（2）二项分布的特点及其概率公式．2.方法小结：【当堂检测】A1．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为( ) ．A ．2.0B ．41.0C ． 74.0D ． 67.0A2．某种植物种子发芽的概率为7.0，则4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为 ．B3．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0，那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少？【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
高中数学《n次独立重复试验与二项分布》导学案
n 次独立重复试验与二项分布一、条件概率及其性质 1．条件概率的定义设A 、B 为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝()()P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．2．条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝()()n AB n A . 3．条件概率的性质(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． 二、事件的相互独立性1．设A 、B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立．2．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 三、二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X ＝k)＝()1n kk kn C p p --(k ＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率． 例1：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ( ) A.34 B.23 C.35 D.12解：甲获胜分为以下两种情况：第一种情况，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二种情况，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.例2：某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 ( )A.12125B.16125C.48125D.96125解：P ＝C 23(45)2(15)1＝48125. 例3：在100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到次品后，第二次再次取到次品的概率为 ( ) A.599 B.499 C.5101 D.4101解：设A ＝{}第一次取到不合格品，B ＝{}第二次取到不合格品，则P (AB )＝C 25C 2100，P (A )＝C 15C 1100，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝499例4：甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.例5：两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．例6：从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ( ) A.18 B.14 C.25 D.12解：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110.由条件概率公式得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝14例7：市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( ) A ．0.665 B ．0.56 C ．0.24 D ．0.285解：记A ＝“甲厂产品”，B ＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.例8：某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为 ________解：“第一次闭合后出现红灯”记为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”记为事件B ，则P (A )＝12，P (AB )＝16.∴P (B |A )＝1612＝13.例9：如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576解：可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1、A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统能正常工作的概率为PK·P ＝0.9×0.96＝0.864.例10：甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人同时被录取的概率为0.42，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 ( ) A ．0.12 B ．0.42 C ．0.46 D ．0.88 解：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.42＝0.88.例11：设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A 、B 、C 是相互独立事件． (1)由已知得P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)·P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)·P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2、0.25、0.5. (2)记A 的对立事件为A ，B 的对立事件为B ，C 的对立事件为C ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.75，P (C )＝0.5，于是P (A ＋B ＋C )＝1－P (A ·B ·C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.例12：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.(2)D ＝，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望E (X )＝100×0.2＝20. 例13：位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是 ( )A.4243B.8243C.40243D.80243解：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25·231233⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝80243.例14：如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12.记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为 P (n ，m )．(1)求P(4,1)，P(4,2)的值，并猜想P(n ，m)的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3<x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列及数学期望．解：(1)P (4,1)＝C 03(12)3＝18，P (4,2)＝C 13(12)3＝38，猜想P (n ，m )＝C m －1n －1＝(12)n －1； (2)ξ＝3,2,1，P (ξ＝3)＝P (6,1)＋P (6,6)＝116，P (ξ＝2)＝P (6,2)＋P (6,5)＝C 15(12)5＝516， P (ξ＝1)＝P (6,3)＋P (6,4)＝58ξ 3 2 1P 116 516 58Eξ＝3×116＋2×516＋1×58＝2316.1．判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n 次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．例15：某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中目标的次数，则X ～B 25,3⎛⎫⎪⎝⎭.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×(23)2×(1－23)3＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件Ai (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 34A 5A )＋P (1A A 2A 3A 45A )＋P (1A 2A A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P (ξ＝0)＝P (1A 2A 3A )＝(13)3＝127，P (ξ＝1)＝P (A 12A 3A )＋P (1A A 23A )＋P (1A 2A A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29.P (ξ＝2)＝P (A 12A A 3)＝23×13×23＝427，P (ξ＝3)＝P (A 1A 23A )＋P (1A A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827，P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)2＝8，所以ξ的分布列是n 次独立重复试验与二项分布训练题1一、选择题1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.342．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8 D ．0.663．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为( )A.35B.15C.45D.254．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.271255．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④ 二、填空题6．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________． 7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 三、解答题8．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列．9．某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列．10．研究性学习小组要从6名(其中男生4人，女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查．(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．1.解：依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－12×56＝712.答案：C2.解：甲市为雨天记为事件A ，乙市为雨天记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.6.答案：A3.解：设该队员每次罚球的命中率为p (其中0＜p ＜1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1，因此有p ＝35.答案：A 4.解：P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝81125.答案：A 5.解析：由题意知P (B )的 值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；∵P (B |A 1)＝P B ∩A 1P A 1＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.答案：A6.解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝25×710＝725.答案：7257.解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.1288.解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12.(2)由题意知，X ～B (3,0.1)因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243， P (X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027，P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.故随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.0019.解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (1A )．P (2A )·P (A 3)＝23×23×13＝427.(2)由题意知ξ的可能取值为0、2、4、6、8，则P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝2)＝C 14(13)(23)3＝3281，P (ξ＝4)＝C 24(13)2(23)2＝2481，P (ξ＝6)＝C 34(13)3(23)＝881，P (ξ＝8)＝(13)4＝181.∴ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8P 1681 3281 2481 881 18110.解：(1)设男生甲被选中记为事件A ；女生乙被选中记为事件B ，∴P (B |A )＝P AB P A ＝C 14C 36C 25C 36＝25.(2)由题意ξ的可解取值为0,1,2，从而P (ξ＝0)＝C 34C 36＝420＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝1220＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 36＝420＝15，从而ξ的分布列为ξ 0 1 2P 15 35 15故E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.n次独立重复试验与二项分布训练题2一．选择题（共15小题）1．（2015•河北）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A．B．C．D．4．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚，且不成对的概率为（）A．B．C．D．5．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.486．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.819 2 C．0.8 D．0.757．先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=（）A．B．C．D．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的是奇数”，B=“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．9．两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为”从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为”从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P（A|B）等于（）A．B．C．D．10．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．11．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）=（）A．B．C．D．12．要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．713．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（）A．B．C．D．14．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（）A．（）2B．0.01C．C•（1﹣）5D．C（）2•（1﹣）415．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ=3）=（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）16．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．17．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是．18．已知随机变量X﹣B（4，p），若D（X）=1，则p=．19．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回地每次抽取1个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为．20．（2014•新课标II）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．三．解答题（共5小题）21．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）22．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．23．某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．24．某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A、B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．其规则是：按先A后B再A的顺序投篮．教师甲在A和B点投中的概率分别是和，且在A、B两点投中与否相互独立．（Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．25．惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．一．选择题（共15小题）1．A；2．C；3．C；4．A；5．B；6．D；7．A；8．D；9．C；10．A； 11．B；12．C； 13．C； 14．C； 15．A；二．填空题（共5小题）16．； 17．； 18．； 19．； 20．；三．解答题（共5小题）21.解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4P．（或）所以X的数学期望为1．22．解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P（ξ=2）=++=；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．23．解：（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，则事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件则P（E）=1﹣P（）=1﹣P（）•P（）•P（）=1﹣=（II）ξ的可能取值为，2，，3∵P（ξ=）=P（）=，P（ξ=2）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=P（ξ=）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=P（ξ=3）=P（A•B•C）=∴ξ的分布列为：∴E（ξ）==24．解：设“教师甲在A点投中”的事件为A，“教师甲在B点投中”的事件为B．（Ⅰ）根据题意知X的可能取值为0，2，3，4，5，7P（X=0）=P（••）=×（1﹣）=，P（X=2）=P（A••+••A）=××（1﹣）×（1﹣）=，P（X=3）=P（•B•）=（1﹣）××（1﹣）=，P（X=4）=P（A••A）=×（1﹣）×=，P（X=5）=P（A•B•+•B•A）=×××（1﹣）=，P（X=7）=P（A•B•A）=××=，所以X的分布列是：X 0 2 3 4 5 7P则X的数学期望是EX=0×+2×+3×+4×+5×+7×=3；（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P为：P=+++×（+++）+=．25．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2 设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A i（i=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1．（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++=．所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为．。
独立重复试验与二项分布教案
独立重复试验与二项分布教案教案：独立重复试验与二项分布一、教学目标1.了解独立重复试验的概念及其特点；2.掌握二项分布的概念、性质及其在实际问题中的应用；3.能够根据实际问题，正确使用二项分布进行计算和分析。
二、教学重点和难点1.独立重复试验的概念和特点；2.二项分布的概念、性质和应用。
三、教学准备1.教学资料：PPT、教科书、练习题；2.教学工具：计算器、白板、黑板笔。
四、教学过程Step 1：引入和导入（10分钟）教师介绍独立重复试验的概念，要求学生举例说明独立重复试验的特点，并引导学生思考实际生活中的独立重复试验的例子。
Step 2：讲解独立重复试验的概念和特点（20分钟）教师使用PPT讲解独立重复试验的概念和特点，包括试验的定义、试验的结果、试验的性质等。
并通过实例让学生理解和掌握相关概念。
Step 3：讲解二项分布的概念和性质（30分钟）教师使用PPT讲解二项分布的概念和性质，包括二项分布的定义、二项分布的概率函数、二项分布的期望和方差等，并通过实例让学生进行计算和分析。
Step 4：练习与讲评（40分钟）教师布置练习题，让学生进行练习和计算，然后进行讲评，解答学生的问题和疑惑。
Step 5：实际问题应用（10分钟）教师提供一些实际问题，让学生根据所学知识进行分析和计算，提醒学生要注意实际问题的背景和条件。
Step 6：小结与作业布置（10分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学反思通过本节课的教学，学生可以了解独立重复试验的概念和特点，掌握二项分布的概念、性质及其在实际问题中的应用。
教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用，通过实例的讲解和训练，提高学生的分析和计算能力。
同时要注重与学生的互动，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与课堂活动，提高课堂效果。
人教新课标版数学高二-选修2-3导学案 独立重复试验与二项分布
2.2.3独立重复试验与二项分布导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一独立重复试验思考1要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．思考2试验结果有哪些？思考3各次试验的结果有无影响？(1)定义：在________条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)基本特征：①每次试验是在同样条件下进行．②每次试验都只有两种结果：发生与不发生．③各次试验之间相互独立．④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B k表示仅投中k次这件事．思考1用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P (B 2)和P (B 3)．思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论？在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝__________，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作________，并称p 为____________.【合作探究】类型一 独立重复试验的概率问题例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．类型二 二项分布例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)＝( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C ．C 25⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫133D ．C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 2．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.253．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 4．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
2020高中数学 2.2.3独立重复试验与二项分布导学案 新人教A版选修2-3
2.2.3独立重复试验与二项分布【三维目标】：知识与技能：1理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，并会计算其概率。
2理解二项分布的意义，并会求出服从二项分布的随机变量的分布列过程与方法：通过例子使得学生能运用知识解决问题。
情感态度与价值观：通过学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
【重点】：事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，计算其概率【难点】：二项分布的意义，求服从二项分布的随机变量的分布列。
【学法指导】：认真阅读教材，结合实例理解概念和应用，并注意解题步骤。
【知识链接】：条件概率公式：乘法公式：相互独立性定义：相互独立性公式：试验的相互独立性定义：举例说明二项分布定义进行一系列试验,如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是------------------------;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果----------------------------3.结果事件发生的概率在整个系列试验中----------------------------,如果随机变量有概率函数其中，，则称服从参数为，的二项分布。
在这里的值恰好是二项式展开式中第项的系数。
【学习过程】例1（课本例4）例2 某工厂每天用水量保持正常的概率为，求最近6天内用水量正常的天数的分布。
…例3 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。
求同时停车数目的分布。
例4 一批产品的废品率，进行20次重复抽样（每次抽一个，观察后放回去再抽下一个），求出现废品的频率为0．l的概率。
人教A版高中数学选修长春实验独立重复试验与二项分布导学案
【学习目标】 1．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
2. 体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的应用,提高数学的应用能力。
【重点难点】重点：独立重复试验与二项分布概念的理解难点：二项分布的实际应用 模块一: 自主学习一．知识链接事件的相互独立性二．阅读教材56—57页，3分钟时间，思考并回答以下问题：1．独立重复试验有什么特点：模块二：合作释疑探究一、掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下的概率为1－0.6=0.4，则连续掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？探究二、二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系模块三：巩固训练，整理提高例1．某射手每次射击击中目标的概率是8.0，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率变式训练1：某人参加一次考试，若5道题答对4道题则为及格，已知他解1道题的正确率为0.6，试求他能及格的概率(保留2位小数)变式训练2：某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率一．通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3．反思二．巩固训练题1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C3．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求（只列式即可）： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率【作业】教材58页练习。
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《独立重复试验与二项分布》导学案
（课前部分）
编辑人：审核：高二数学组
学习目标
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
重点
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
难点
有关独立重复试验的模型及二项分布的概率计算。
知识链接
1、什么是相互独立事件？
2、二项式n b
a)
(+的展开式？
3、概率加法公式是什么？什么时候用？
4、概率乘法公式又是什么？什么时候用？
学法指导
仔细体会由特殊到一般的循序渐进、由浅入深的方式来探求新知。
学习探究一
在研究随机现象时,经常要在相同的条件下重复做大量的试验来发现规律！而一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
写出几个n次独立重复试验的例子，并说明独立重复实验的模型特点。
学习探究二
上节课我们学习了如果事件A与事件B相互独立，就有()()()B P A P
AB
P=请试着证明()()()()n
n
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P⋯
=
⋯
2
1
2
1
，其中),
2,1
(n
i
A
i
⋯
=是第i次试验的结果。
我们教材
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P的探究就是充分利用这个公式并且用循序渐进的方式推导出我们的二项分布的。
那也请你也编出一个或多个实例来体会由简单特殊的几种情况的依次求解，总结出具有普遍性规律的过程。
通过教材的典例以及你自己编的题目的分析，我们不难看出：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，则：)(k X P == ， 。
此时我们就称随机变量X 服从二项分布。
记作X ~),(p n B
X ~),(p n B 中的k p n ,,分别表示什么？请把教材的典例以及你自己编的题目写成这个形式。
X ~)2
1
,5(B ，)4(=X P = ；编写一道题来说明之。
为什么叫做二项分布？“二项”从何而来？
二项分布与两点分布有联系吗？二项分布与超几何分布在抽样方式上有区别吗？
每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？同为二项分布，这题和上面计算概率的方法区别在哪？
请同学们总结出二项分布的特点：
动手试试一
1、某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率；
（3）要保证击中目标的概率大于0.99，至少应射击多少次。
（结果保留两个有效数字、可以用计算器帮助计算。
）
2、已知X ~),(p n B ，写出随机变量X 的分布列，并证明1210=⋅⋅⋅+++n P P P P 。
质疑汇总 个人自主学习问题： 合作学习问题： 组内问题：
自学总结
《独立重复试验与二项分布》导学案
（课上部分）
编辑人： 审核：高二数学组
展示交流问题 1．课上要解决的问题：
2．展示交流记录：
3．个人评价反思：
达标检测（限时独立完成）
一、判断下列试验是不是独立重复试验
1、依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上。
2、某射击手击中目标的概率是0.9，他进行了4次射击，只命中1次。
3、口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中不放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球。
4、口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球。
二、计算
2、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
3
1.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列;
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列;
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
当堂小结
本节课你都学会了哪些知识？
《独立重复试验与二项分布》导学案
（课后部分）
编辑人：审核：高二数学组
课后反思
课后作业：选修2-3
P练习2、3
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“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗?
刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有9名谋士(不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现为此事可行与否而征求每名谋士的意见,并按多数人的意见作出决策,求作出正确决策的概率.（可以用计算器帮助计算。
）。