第二章 古代数学名著

第二章古代数学名著

§2.1 《代数学》

阿拉伯数学家、天文学家花拉子米在数学上造诣颇深，有两部名著流传下来，《代数学》就是其中一部．

《代数学》大约在820年写成，原文也直译作《利用还原和对消运算的简明算书》，其中的“还原”和“对消”即指方程的移项和合并同类项．代数学一词即由其中的“还原”演变而成，一般认为它是关于近代意义下的代数学的最早著作．

《代数学》分为三部分，第一部分用简单的例题系统讲述了解一次、二次方程的一般原理，首次给出了二次方程的一般解法；第二部分给出了一些实用测量术；第三部分给出了许多遗产计算问题．

《代数学》不仅对阿拉伯数学而且对欧洲数学的发展产生了深远的影响，在欧洲，曾被作为标准数学课本使用了几个世纪，花拉子米也因此被称为“代数学之父”．

§2.2 《几何学》

《几何学》一书是著名数学家笛卡儿唯一的数学论著，而正是它成为笛卡尔创立解析几何学的代表作。

《几何学》以符号代数为基础，将代数学应用于几何学，从而创立了新的数学分枝—解析几何学。全书共分为三卷。第一卷，指出几何作图实际上即对线段进行一定的代数运算，

从而将几何作图问题代数化，为解析几何学的创立奠定了基

础。笛卡尔的坐标思想也在这一部分中得到反映，建立了平面

上的点与一对实数的一一对应关系。第二卷，开辟了全新的曲

线领域，并对几何曲线进行了重新分类。第三卷，主要解决了

一些几何作图问题，展开了笛卡尔关于方程的代数理论，如给

出并证明了代数学基本定理。

在《几何学》一书中，笛卡尔利用坐标系将代数和几何结

合起来，使得数学摆脱了古希腊以来几何学一统天下的局面，

为微积分的创立奠定了基础，由此大大促进了数学的发展，成

为数学发展史上的里程碑。

§2.3 《九章算术》

《九章算术》是《算经十书》中最重要的一种，是我国古代著名的数学专著，它在我国数学史上的地位可与大数学家欧几里德的《几何原本》在西方数学史上的影响相媲美．现在所见的《九章算术》版本大约成书于于公元1世纪下半叶，以后的数学家学习数学大多从研究《九章算术》开始，并且有许多学者为《九章算术》进行注释，如我国古代大数学家刘徽就曾作著名的《九章算术注》，结合原书中的内容给出了自己独到的研究成果．《九章算术》全书收录了246个应用问题，分为九章，涉及当时生产、生活中的许多方面，每个问题由问、答、术三部分组成．其中包括："方田"：田亩面积的计算；"粟米"：古物粮食等的按比例折算；"衰分"：比例分配问题；"少广"：由面积求边长或径长；"商功"：土石工程、体积计算；"均输"：合理摊派赋税徭役；"盈不足"：用双设法解的问题；"方程"：用一次方程组解的问题；"勾股"：用勾股定理解的问题．

《九章算术》中记录了我国古代的许多数学成就，比如分数的运算、比例问题、面积和体积的求法、一次方程组的解法、负数概念的引入、开平方和开立方等．

《九章算术》中蕴涵的数学思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响，并成为现代数学思想方法的重要来源，它的出现标志着我国古代数学体系的形成．作为一本世界性的数学名著，《九章算术》也对世界上许多国家的数学发展产生过重要影响．

§2.4 《兰德纸草书》

《兰德纸草书》是公元前1650年前后埃及的数学著作，是世界上最古老的数学著作之一．它最早发现于埃及底比斯的废墟中，公元1858年，被英国的埃及学者兰德（A.H.Rhind）买下，所以后人将之称为《兰德纸草书》，现在这部著作被收藏在伦敦大英博物馆内．纸草书的开头部分记载了一组分数分解表，主要是把2/n（n为3-101之间的奇数）分解为分子为1的分数之和．之后，给出了87个问题和相应的解答．问题主要包括应用所给出的分数表的问题；一元一次方程；等差、等比数列；求面积、体积；三角学初步；比例问题等，所给出的问题大多与实际生产生活紧密相关．

《兰德纸草书》是了解古埃及数学的最主要的依据，体现了埃及文明的一个重要方面．它准确反映了当时埃及的数学知识状况，鲜明地体现了埃及数学的实用性，注重知识的技巧性应用而不寻求严密的逻辑证明的特点.

§2.5 《数书九章》

《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，他早年就已开始学习数学，后来到1244年为母亲守丧期间，潜心数学研究，做出了许多创新性的工作，于1247年完成其重要著作《数术大略》，明朝后期被改名为《数书九章》．

《数书九章》以问题集的形式收录81个问题，分为9类，每类9个问题．主要包括：大衍类：一次同余式组解法；天时类：历法计算、降水量；田域类：土地面积；测望类：勾股、重差；赋役类：均输、税收；钱谷类：粮谷转运、仓窖容积；营建类：建筑、施工；军族类：营盘布置、军需供应；市物类：交易、利息等．

《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，如第一次用小数表示无理根的近似值；首创用连环求等，借以求几个数的最小公倍数；总结出大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方要早500年；创正负开方术，可利用它对任意次方程的有理根和无理根来求解．

《数书九章》继承和发展了《九章算术》精神，概括了宋元时期我国传统数学的主要成就，是我国古代数学发展高峰的标志．秦九韶首创的大衍求一术和正负开方术曾长期影响着我国数学的研究方向．秦九韶的数学成就也代表了中世纪世界数学发展的主流和和最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位．

§2.6 《算盘书》

丢番图曾游历各国，学习各地的数学并学会了印度—阿拉伯数码，于1202年写成著名的《算盘书》.

《算盘书》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具，而是指一般的计算.全书共分为15章.1—7章介绍了位值制原理，整数和分数的各种计算方法，以及各种数表；8—12章以各种商业问题为例给出了许多算术的应用；第13章论述了比例和试位法；第14章讲了开方法则；最后一章则涉及到一些几何和代数问题.在其1228年的修订本中，又加进去有趣的“兔子问题”和著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三项开始每一项是前两项的和.

《算盘书》是向欧洲介绍印度—阿拉伯数码和阿拉伯数学的最早著作，自问世后广为流传，为印度—阿拉伯数码和阿拉伯数学在欧洲的传播起了重要的作用，对欧洲数学的发展产生了巨大的促进作用

§2.7 《算术》

《算术》是丢番图的传世之作．它在数学史上占据着重要的地位，对后来代数学、数论的发展影响深远，几乎与欧几里得的《几何原本》对几何学发展的影响相媲美．《算术》是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题，大体上按照由易到难的顺序排列，没有什么明显的分类标准，在解法上也是随心所欲，没有一定之规．正如数学史家H．汉克尔所说的："近代数学家研究了丢番图的100个问题后，去解第101个题目，仍然感到是困难的，……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜．"《算术》中涉及的问题主要包括一、二、三次方程和不定方程．尽管丢番图没有给出问题的一般解法，但后人仍然可以从中得出一些解题的常用技巧．更重要的是，丢番图在解答过程中引入了代数符号，大大简化了方程的写法，从而迈出了从文字代数向符号代数过渡的重要一步．在这部著作中，他曾讨论过一次、二次和个别的三次方程及大量的不定方程，其中包括多达6阶和10个未知数的不定方程，并给出了二元一次不定方程的一般解法，显示了丢番图在不定分析方面的高超技巧．

丢番图解决问题的方法完全脱离了欧几里得创立的几何形式，在当时的希腊数学体系中独树一帜，开创了数学研究的新局面，对后来的阿拉伯数学，文艺复兴时期的意大利数学乃至整个欧洲数学产生了巨大的影响，为许多数学家提供了创作的源泉．比如，费马大定理即是费马当年在阅读丢番图的《算术》时受到启发而提出的，他在《算术》第二卷第8题（将一个已知的平方数分为两个平方数．例如将16分成两个平方数）旁边的空白处写下了这一著名的猜想．

丢番图的《算术》中虽然有许多不足之处，但并不防碍它成为一部承前启后的划时代著作，显示了一个伟大数学家的惊人睿智和独创精神．

§2.8 《圆锥曲线论》

《圆锥曲线论》是希腊数学家阿波罗尼奥斯的重要著作．作者除了综合前人的成就之外，还包含有独到的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得非常出色．在几何发展史上是一个巍然屹立的丰碑，是古希腊几何的登峰造极之作．有人认为它可与欧几里得的《几何原本》在欧氏几何中的地位相媲美．阿波罗尼奥斯也因此被列入亚历山大前期三大数学家之一（另