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常微分方程解题方法总结

来源：文都教育

复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍

. 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成

体系，建议将知识点进行分类系统总结

. 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，

他强调读

书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要

.

以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、

高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题

目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形

式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询

.

常微分方程

通解公式或解法

( 名称、形式 )

当 g( y)

0 时，得到 dy

f (x)dx ，

g( y)

可分离变量的方程

dy

f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果；

dx

当 g( 0 ) 0 时，则 y( x)

0 也是方程的

解 .

解法：令 u

y xdu udx ，代入

，则 dy

齐次微分方程

dy g( y

)

x

dx

x

u g (u) 化为可分离变量方程

得到 x

du

dx

一 阶 线 性 微 分 方 程

P ( x)dx

P ( x) dx

dy

Q(x)

y ( e

Q( x)dx C )e

P( x) y

dx

伯努利方程

解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ，

dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du

(1 n) P(x)u (1 n)Q(x)

dx dx

求解特征方程：2

pq

三种情况：

二阶常系数齐次线性微分方程

y p x y q x y0

二阶常系数非齐次线性微分方程

y p x y q x y f ( x)

(1)两个不等实根：1, 2

通解： y c1 e 1x c2 e 2x

(2) 两个相等实根：1 2

通解： y c1 c2 x e x

(3) 一对共轭复根：i ,

通解： y e x c1 cos x c2 sin x

通解为 y p x y q x y 0 的通解与

y p x y q x y f ( x) 的特解之和.

常见的 f (x) 有两种情况：

x

（ 1）f ( x)e P m ( x)

若不是特征方程的根，令特解

y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特

解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，

令特解 y*x2Q m (x)e x；

（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

当i不是特征值时，令

y* e x[ Q n1 ( x)cos x Q

n2 ( x)sin x] ，当

i 是特征值时，令

y* xe x [Q n (x) cos x Q n ( x)sin x]

以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的

形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较

实用的方法 .