随机波动模型

含有外生因素的SV模型
金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的 影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应， 成交量等。Watanabe在分析东京股市收益时，将基本SV模型 扩展为： yt a b1 yt 1 b2 yt 2 c t2 dDt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1) ht ht 1 Dt yt 1 t ,t i.i.d .(0,1) 其中 t exp(ht / 2)表示测度序列的波动，Dt 是表示周末效应 的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取1，其余时间取0。 上式中的c t2项是刻画风险溢价的，而 yt 1是刻画当期收益与 未来收益波动的相关性。实证表明，参数c，d， 和 都具有 较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。
离散SV模型
基本的离散SV 模型如下： yt t t , t 1, 2,..., T (7 1a) ln t2 ln t21 t (7 1b) 其中yt 表示消去均值后第t期的收益， t }和{t } { 是相互独立的， t 是一个鞅差分序列，绕动项
t 和t 可以是同期相关的。一般假定 t i.iN (0,1)， t i.iN (0, 2 )且 2未知。， 为常数， 为持
续性参数，反映了当前Hale Waihona Puke Baidu动对未来波动的影响，
1。
如果取ht ln t2则以上SV模型可写成： yt t e
ht 2
(7 1c) (7 1d )
2 t 2 (1 L) d (1 L) ht t ,t i.i. N (0, )
其中{t }与{ t }香相独立。这类模型也是一类 简单的分整随机波动模型（FISV）。
Box-Cox –SV 模型
Box-Cox-SV模型是一类重要的非线性SV模型，基本模型如下： yt t t h( t2 , ) [ h( t21 , ) ] t （7-14） { t }和{t }是两个不相关的N (0,1)序列，h( t2 , )是以参数为指标 的平滑函数，这里h( x, )取Box Cox变换： x 1 0 h ( x, ) 0 ln x 因此，Box-Cox-SV模型的波动部分可写作： ( t2 ) 1
( St ) 1 ( 2 1 )( St 1) ( St ) ( )( St 1)
1 2 1
式中1， 2，1， 2， 1， 2 是待估参数，St 用来描述系统在时间t的 不可观测到的状态，它被假定为时齐的一阶马尔科夫链，其状态空间 为S {1, 2}, 转换矩阵P ( pij )，而 pij P( St j | St 1 i ), i. j S 且pi1 pi 2 1, p1 j p2 j 1。
（3）模型的线性表示 随机波动模型的一个重要的性质是它可以转化为一个线性表达式。 令zt ln yt2，对(7 2a)式两边平方取对数，可得 zt ln yt2 ln 2 h t ln t2 或写为zt ln yt2 h t t 其中 ln 2 , t ln t2 E[ln t2 ], t i.i.d .(0, 2 )。 如果{ t }服从标准正态分布， t2 }服从对数 2分布。根据相关文献 {ln 结果此时有： E[ln ] 1.27,Var (ln )
f .{ yt }的所有奇数阶矩为零。
（2）自相关函数 a.如果{ t }和{t }相互独立， t }服从正态分布，则{ yt }绝 { 对值得C次幂的ACF 为 C2 2 C C C exp( h h , ) E[ yt yt ] {E[ yt ]}2 4 (C ) 2C C C2 2 E[ yt ] {E[ yt ]}2 C exp( h ) 1 4 1, C 0.5, C 0 其中 C E[ yt
2 t 2 t
2
2
4.93
7.2 扩展的SV模型
厚尾SV模型
①SV t 模型 假定SV 模型的扰动部分服从自由度为 的t分布，则为 SV t 模型，扰动部分 t 服从均值为0，方差为1的正规 化t分布，即
t2 2 1 (( 1) / 2) f ( t ) [ ( 2)] [1 ] ( / 2) 2 1 2
2 E[exp(aht )] exp(a 2 h / 2) 2 其中a为常数， h 是{ht }的方差。
d .如果{t }服从正态分布， t }存在有限方差，则{ yt }的方差为 {
2 Var ( yt ) 2 2 exp( h / 2) 2 2 e.若{ t }具有四阶矩，则{ yt }的峰度为 exp( h )，这里 是{ t }的峰度。
0 0
向量SV模型
单变量SV模型可以推广到向量的情形。设有N维随机过程 {Yt },Yt ( y1t ,..., yNt ) hit yit it exp ( ), i 1, 2,..., N ; t 1, 2,..., T 2 这里yit 是观测序列i在时刻t的值，且随机向量 t (1t ,..., Nt ) 为N 维正态过程，具有零均值和协方差矩阵，中对角线 元素为1，非对角线元素为ij，且 为对称矩阵。 hit i hi ,t 1 it ,it i.i.N (0,1) 取t (1t ,..., Nt )，这里t N (0, )的白噪声，而 是正 定矩阵。
2C
] / {E[ yt ]}2
C
C
而 h , , 0,1,1,...表示ht的ACF。当C 2时， C 就为 yt 的 峰度，在正态分布下为3.
一般地有
C (C 1/ 2)(1/ 2) / {(C / 2 1/ 2)}2 , C 0
而当{ t }服从自由度为 的t分布时，有 (C 1/ 2)(C / 2)(1/ 2)( / 2) C {(C / 2 1/ 2)( C / 2 / 2)} 其中 C / 2，C 0。 b.{ht }的ACF 性质
其中参数 为自由度。当4 时，t分布的峰度大于 3, 时就变成正态分布， 4时其峰度不存在。
②SV -GED模型 另一种峰度大于3的分布是广义误差分布(GED)，在SV GED 模型下，扰动部分 t 服从均值为0方差为1的正规化GED，这时 1 cesp{ ( t )c } 2 f ( t ) ,0 c 2 11/ c (1/ c)2 2/ c (1/ c ) 1/2 其中 [2 ] (3 / c) 这里c为自由度，当c 2时，GED为正态分布，c 2时期峰度 大于3，为厚尾分布。 一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描 述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长 记忆性。
2 当 h 较小，或 h , 接近1，则{ht }的ACF 与( C )有如下关系：
C2 2 exp( h ) 1 4 (C ) h , , 1 2 C 2 C exp( h ) 1 4 当{ t }服从t分布时， C随着 趋于无穷而递减。对于正态 的{ t }，上式的近似式使(C )取得最大值。
含有前期观测影响的SV模型
考虑前期观测对当前波动的影响，将基本SV模型扩展为： yt t e
ht 2 n
ht ht 1 i ln yt2i t
i 1
其中{ t }和{t }是互不相关的白噪声序列，且{t }和{ht }不相 关。，， i为常数。n为模型中待定阶数，可通过AIC准 则或模型的均方误差（RMSE）准则(使RMSE值最小)来确 定。该模型可以很好的描述股票市场的波动集群性和波动 持续性现象。和SV 模型相比，在描述金融波动性方面有一 定的优越性。

[
( t21 ) 1

] t ( 0)
如果记ht h( t2 , )，则 -14）可以改写为 （7 yt [ g (ht , )]1/2 t gt t ht (ht 1 ) t 其中g (ht , )=gt 是Box Cox变幻的逆函数，有 (1 ht )1/ gt g (ht , ) exp(ht )
其中 ( L)和 ( L)为滞后算子多项式，他们的特征根都在 单位圆外，且 0.5 d 0.5。这样的模型极为LMSV。
分整随机波动模型FISV
另一类LMSV模型为 yt t t , t i.i.d .(0,1) 且 ln ht，而{ht }满足
张世英 第七章 协整理论与波动模型
7.1 基本SV模型及其统计性质 7.2 扩展的SV模型 7.3 SV模型的参数估计方法
7.1 基本SV模型及其统计性质
随机波动：波动率是衡量某一段时间内金融产品价格变动 程度的数值。随机波动侧重于指时间序列的随机部分。在 金融学中，随机波动性定义为一个连续的差分模型中随机 维纳部分的标准差或协方差。 随机波动率模型：是把收益率的扰动项假设为不可观测， 服从一个随机过程的变量，是一个动态波动特征的模型。
考虑预期收益的SV模型
为了研究风险与预期收益的关系，引入ＳＶ－Ｍ模型如下： yt t t t , t i.i.N (0,1)
t a byt 1 d t t e
ht * 2
ht ht 1 t ,t i.i.N (0, 2 ) 其中yt为时刻t的超额收益，t为时刻t的预期收益，ht为对数 波动， *是尺度因子为一个正常数， t }与{t }是互不相关的 { 白噪声过程，为波动持续性参数，d 度量了波动对预期收益 影响的参数。
马尔科夫转换SV模型
把马尔科夫转换机制进入到SV模型中，我们得到马尔科夫转换随机 波动模型（MSSV）如下： ht yt exp( ) t , t i.i.N (0,1) 2 ht ( St ) ( St )ht 1 ( St )t ,t i.i.N (0,1) 其中 ( St ) 1 ( 2 1 )( St 1)
长记忆SV模型（LMSV）
为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，把ARFIMA 过程纳入到基本SV模型中，提出了一类长记忆随机波动 模型如下： yt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1)
2 (1 L) d ( L)ht ( L)t ,t i.i.N (0, )
ht ht 1 t
这里ht 可以扩展为一个ARMA过程。 另一种SV 模型的形式如下： yt t e
ht 2
(7 2a )
ht ht 1 t , 1 (7 2b) 式中 是比例参数，表示平均波动水平。
SV模型的统计性质
对于（7-1）和（7-2）构成的基本随机波动模型有如下统计性质： （1）一般性质 a.{ yt }是鞅差分过程（基于{ t }是鞅差分序列）。 b.{ht }平稳则意味着{ yt }平稳。 c.如果{t }服从正态分布，则由对数正态分布的性质有