河北省容城中学2013学年高一数学教案 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 学生能够运用坐标进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的加法和减法运算3. 向量的数乘运算4. 向量的数量积运算5. 向量的坐标表示及其运算规律三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量的坐标运算规律和实际应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算规律。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解。
3. 举实例进行分析，让学生在实际问题中掌握向量坐标运算的方法。
4. 练习题巩固所学知识，提高学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾高中数学中关于向量的基本概念，引导学生进入新课。
2. 讲解向量的概念和表示方法，让学生理解向量的基本性质。
3. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握运算规律。
4. 讲解向量的数乘运算，让学生理解数乘对向量的影响。
5. 讲解向量的数量积运算，引导学生掌握数量积的计算方法。
6. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量运算。
7. 举例分析，让学生在实际问题中运用向量坐标运算方法。
8. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
9. 总结本节课的主要内容，强调向量坐标运算的规律。
10. 布置课后作业，让学生进一步巩固向量坐标运算的知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量坐标运算的理解程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对向量坐标运算的掌握情况。
3. 课后作业：收集学生作业，分析其对向量坐标运算的运用能力。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。
2. 针对学生的疑惑，进行解答和巩固。
平面向量的坐标运算教案
“平面向量的坐标运算"教学方案教学目标：1.知识与技能：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。
2.过程与方法:在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。
3.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。
教学重点：平面向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点:平面向量坐标表示的意义。
教学方法:结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。
教学手段：投影仪、多媒体软件教学过程1.情境创设教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹,提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识,想一想硬物的速度可做怎样的分解？学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解设计目的:情境与生活联系,激发学生学习兴趣,同时为下面展开的知识做好铺垫。
2.展开探究问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。
问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加合理呢？组织学生谈论,给出各种想法，教师做点评归纳.投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗?设计目的:此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。
教师讲授：在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ，我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x，y）,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y）式叫做向量的坐标表示。
2013高中数学 第六课时 2.4平面向量的坐标(一)教案 北师大版必修4
第六课时 2.4平面向量的坐标（一）一、教学目标：1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学过程 【创设情境】（回忆）平面向量的基本定理（基底） a=λ11e +λ22e其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 【探究新知】（一）、平面向量的坐标表示1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量j y i x a +=记作：a =(x, y) 称作向量a的坐标如：a =−→−OA =j i 22+=(2, 2) b =−→−OB =j i -2=(2, -1)c =−→−OC =j i 5-=(1, -5)i =(1, 0)j =(0, 1)0=(0, 0)2、由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）（二）、平面向量的坐标运算 [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答：思考1．（1）已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b的坐标(2)已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标解：a +b =(x 1i +y 1j )+(x 2i +y 2j )=(x1+ x 2)i + (y 1+y 2)j 即：a+b =(x 1+ x 2,y 1+y 2)同理：a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa=(λx, λy)结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
高中数学《平面向量的坐标运算》教学设计与反思
高中数学《平面向量的坐标运算》教学设计与反思一、教学目标1、知识与能力目标① 掌握平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示② 掌握平面上任意向量的坐标求法2、过程与方法通过相应知识点后安排的例题练习，体会两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示；同时对比平面上任意向量的坐标求法与始点在原点的向量坐标表示3、情感态度与价值观初步建立学生的逻辑思维能力以及学生学习过程中总结习惯的培养二、教学重点教学重点：平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法教学难点：平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法应用三、教学分析本节课选自高中数学必修4中第二章平面向量中第二部分平面向量的坐标表示及运算，本节课是建立在上节课学完平面向量的坐标表示的基础上来学习的，给出了平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法，其中平面上任意向量的坐标求法这一结论是放在一道练习题后得出的结论，但这一结论给上一节课的知识作了补充，同时也是整个向量这一章的一个重点，本节课的习题充分体现了这一点。
四，教学过程1、复习引入 若j y i x a 11+=则11(,)a x y =；若j y i x b 22+=则22(,)b x y =有了11(,)a x y =，22(,)b x y =能否求出a b +、a b -以及λ的坐标呢？2、新课讲解平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，则a b -),(2121y y x x --=小结：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
（2）若(,)a x y =和实数λ，则(,)a x y λλλ=。
小结：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=（3） 若),(11y x A ，设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= ，则()1212,y y x x --=小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
高一数学教案：平面向量的坐标运算和数量积教案
【课题】平面向量基本定理 【教学目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【教学重点】平面向量基本定理【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用 【教学过程】一.复习引入⒈实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb3.向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .4.由火箭升空和小练习:已知向量1e ，2e ,求作向量 2.51e +32e 引入二.新课讲解1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①1e ，2e 均非零向量；②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．⑤一个平面向量用一组基底12,e e 表示成1122a e e λλ=+的形式,称它为向量a 的分解.当12,e e 所在直线互相垂直时这种分解称为a 的正交分解.2．例题分析： 例1.书69P 例1变式练习:1.已知OADB 的对角线交于点C,且11,33BM BC CN CD ==.如果,OA a OB b ==,试用,a b 表示,O M O N.2.已知ABCD 中,M,N 分别是DC,BC 的中点且,AM c AN d == 用,c d 表示,AB AD .例2. 书69P 例3. 变式练习:1.如果向量12e e λ-与12e e λ-共线,求λ.D B OAC MNBN2.如果1223,a e e =-1223,b e e =+其中12,e e 为基底,向量1229,c e e =-问是否存在这样的实数λ和μ,使d a b λμ=-与c 共线?例3. 书69P 例2.【课堂小结】1.熟练掌握平面向量基本定理；2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。
2013河北省容城中学高一数学教案《平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算》
教学目的：（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .2．探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量3．讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e例2 本题实质是 4．练习1： . ),R (, OP OB OA t AB t AP OB OA 表示，用且不共线、如图，∈=O , +=m n m AB P B A O 且上，则在直线若点三点不共线，、、已知1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe1+ue2(λ、u ∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b 与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ ）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a 与e1不共线，a 与e2不共线．(填共线或不共线).5．向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b 的夹角，当θ=0°，a 、b 同向，当θ=180°，a 、b 反向，当θ=90°，a 与b 垂直，记作a ⊥b。
高一数学教案下学期5.4平面向量的坐标运算2
下学期5.4平面向量的坐标运算2（第二课时）一．教学目标1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．教学难点向量与坐标之间的转化．三．教学具准备直尺、投影仪四．教学过程1．设置情境引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．2．探索研究（1）师：板书或投影以下4个习题：①设，则②向量与非零向量b平行（共线）的充要条件是．③若M（3，－2），N（－5，－1）且，则点P的坐标为．A．（－8，－1）BC．D．（8，－1）④已知A（，1），B（1，2），C（3，4），则参考答案：1）（2）有且只有一个实数，使得（3）B（4）（－3，－3）师：如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）生：设师：很好！这就是说的充要条件是（板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．（1）（2（2）例题分析【例1】已知，且，求y．解：∵∴∴【例2】已知A（－1，－1），B（1，），C（2，5），求证A、B、C三点共线．证：又，∴又∵直线AB和直线AC有公共点A∴A、B、三点共线【例3】若向量与共线且方向相同，求x．解：∵共线，∴∴．∵a与b方向相同，∴师：若，不合条件吗？生：∵若，则∴∴ab反向与已知符．【例4】已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，），向量与平行吗？直线AB与CD平行吗？师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．生：用两向量平行的充要条件是解：又2×2－4×1＝，∴．又且2×－2×6≠，∴与不平行．∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．∴直线AB与CD平行．3．演练反馈（投影）1）A（，1 ），B（1，0 ），C（1，2 ），D（2，1）求证：．2）已知向量且，则等于（）A．3?B．C．D．－3参考答案：（1）先证，再证A、B、C、D四点不共线；（2C4．总结提炼本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．五．板书设计课题1．向量平行的坐标表示（充要条件）2．举例．1．2．演练反馈总结提炼下学期5.4平面向量的坐标运算2（第二课时）一．教学目标1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．教学难点向量与坐标之间的转化．三．教学具准备直尺、投影仪四．教学过程1．设置情境引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．2．探索研究（1）师：板书或投影以下4个习题：①设，则②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是．③若M（32），N（－5，－1）且，则点P的坐标为．A ．（－8，－1）B．C．D．（8，－1）A（，1），B（1，2），C（3，4），则参考答案：（1）（2）有且只有一个实数，使得（3B（4）（－3，－3）师：如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）生：设师：很好！这就是说的充要条件是（板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．（1）（2）（2）例题分析【例1】已知，且y．解：∵∴∴【例2】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证AB、C三点共线．证：又，∴又∵直线AB和直线AC有公共点A∴A、B、C三点共线【例3】若向量与共线且方向相同，求x解：∵共线，∴∴．∵a与b方向相同，∴师：若，不合条件吗？生：∵若，则∴∴a与b反向与已知符．【例4】已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB与CD平行吗？师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．生：用两向量平行的充要条件是解：又2×2－4×1＝，∴．又且2×2－2×6≠，∴不平行．∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．∴直线AB与CD平行．3．演练反馈（投影）（1）A（，1），（1，），C（1，2），D（2，1）求证：．（2）已知向量且，则等于（）A．．C．D．－3参考答案：（1）先证，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C4．总结提炼本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．五．板书设计课题．向量平行的坐标表示（充要条件）2．举例．1．2．演练反馈总结提炼下学期5.4平面向量的坐标运算2（第二课时）一．教学目标1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．教学难点向量与坐标之间的转化．三．教学具准备直尺、投影仪四．教学过程1．设置情境引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．2．探索研究（1）师：板书或投影以下4个习题：①设，则②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是．③若M（3，－2），N（－5，－1）且，则点P的坐标为．A ．（－8，－1）B．C．D．（8，－1）④已知A（，1），B（1，2），C（3，4），则参考答案：（1）（2）有且只有一个实数，使得（3）B（4）（－3，－3）师：如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）生：设师：很好！这就是说的充要条件是（板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．（1）（2）（2）例题分析【例1】已知，且，求y．解：∵∴∴【例2】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证A、B、C三点共线．证：又，∴又∵直线AB和直线AC有公共点A∴A、B、C三点共线【例3】若向量与共线且方向相同，求x．解：∵共线，∴∴．∵a与方向相同，∴师：若，不合条件吗？生：∵若，则∴∴a与b反向与已知符．【例4】已知点A（－1，－1），B（1，3C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB与CD平行吗？师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．生：用两向量平行的充要条件是解：又2×2－41＝，∴．又且2×2－2×6≠，∴与不平行．∴A、B、C三点不共线，与CD不重合．∴直线AB与CD平行．3．演练反馈（投影）（1）A（，1），B（1，），C（12），D（2，1）求证：．（2）已知向量且，则等于（）A．3?B．C．D．－3参考答案：（1，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C4．总结提炼本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．五．板书设计课题1．向量平行的坐标表示（充要条件）2．举例．1．2．总结提炼。
高一数学课程教案平面向量的坐标与基本运算规则的应用
高一数学课程教案平面向量的坐标与基本运算规则的应用高一数学课程教案：平面向量的坐标与基本运算规则的应用一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本节课将重点介绍平面向量的坐标表示和基本运算规则，并通过实际应用问题来帮助学生理解和掌握相关知识。
二、知识概述1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示，如向量AB表示为→AB = (x, y)。
其中x、y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
2. 坐标与基本运算规则(1) 坐标表示法向量AB的坐标表示为→AB = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)为点A 的坐标，(x2, y2)为点B的坐标。
(2) 向量的加法与减法向量的加法与减法运算遵循平行四边形法则。
即两个向量相加(减)的结果是将它们的首尾相连后所得的新向量。
如→AB + →BC = →AC，→AB - →BC = →AC。
(3) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个坐标与一个标量相乘得到的新向量。
即→k→AB = (kx, ky)，其中k为实数。
3. 应用实例通过实际应用问题，让学生了解平面向量的坐标表示和基本运算规则的应用。
三、教学过程1. 导入与引入引入平面向量的概念，以直线上的两点表示向量为例，让学生观察和思考两点之间的关系。
2. 讲解与演示详细介绍平面向量的坐标表示和基本运算规则，给出具体的计算步骤并进行演示。
通过几个简单的例题巩固学生的理解。
3. 练习与讨论分组进行练习，让学生在实际操作中熟练掌握向量的坐标表示和基本运算规则。
引导学生思考如何将所学知识应用到解决问题中。
4. 拓展与应用设计一些应用实例，如力的合成、位移计算等，让学生将所学的平面向量知识应用到实际生活中。
鼓励学生自主思考和解决问题。
四、总结与归纳总结平面向量的知识要点，强调向量的坐标表示和基本运算规则的应用。
鼓励学生理解并记忆相关概念和运算规则。
五、课后作业布置一些习题和实际应用问题，让学生巩固和运用所学知识。
《平面向量的坐标运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中 表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ， 使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及 数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位 置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有 什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐 标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？ （5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐 标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
高一数学课程教案平面向量的坐标与基本运算
高一数学课程教案平面向量的坐标与基本运算高一数学课程教案：平面向量的坐标与基本运算导入部分：数学课程中的平面向量是一种非常重要的概念，它在几何学和代数学中有着广泛的应用。
本节课我们将学习平面向量的坐标表示方法以及基本运算规则，帮助学生加深对平面向量的理解，并培养其运用向量解决几何和代数问题的能力。
在学习本节课内容之前，先请同学们复习一下解析几何中的坐标系和坐标表示法，以便更好地理解和掌握接下来的知识。
一、平面向量的坐标表示方法1.1 向量的定义在解析几何中，向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段来表示。
表示一个向量，我们需要确定它的大小和方向。
1.2 向量的坐标表示法为了方便计算和研究，我们引入了向量的坐标表示法。
对于平面上的向量，可以用有序数对表示其坐标，记作（x，y），其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
根据向量的定义，我们知道，只有大小和方向相同的向量，它们的坐标表示才相同。
二、平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则进行相加，得到一个新的向量。
在平面向量的加法运算中，遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，构成一个平行四边形，那么新的向量就是该平行四边形的对角线。
2.2 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
减去一个向量等价于加上该向量的相反向量。
具体地，将减去的向量改变方向，然后按照加法运算的规则进行相加即可。
2.3 向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，同时保持了其方向不变。
数乘的结果是一个与原向量平行（同向或反向）的新向量。
三、练习题与解析3.1 理论练习题1) 如何表示一个向量的坐标？2) 向量的坐标表示是否唯一？为什么？3) 平面向量的加法有哪些基本规则？4) 向量的减法和加法运算有何关联？5) 如何理解向量的数乘？3.2 计算练习题1) 已知向量A的坐标为（2, 3），向量A的坐标为（-1, 4），求向量A=A+A的坐标。
2013河北省容城中学高一数学教案第二章《平面向量复习课(一)》
一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ .0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a 4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式: 222221212121cos y x y x y y x x +⋅++θ6.22y x +221221)()(y y x x -+-（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题， P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
河北省容城中学2013学年高一数学教案2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹
242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1. 掌握平面向量数量积运算规律；2. 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1. 平面向量数量积(内积)的定义：2 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos ;2 a b a b = 03 当a与b同向时，a b = |a||b| ;当a与b反向时，a b = |a||b|. 特别的a a = |a|2 或1 a 1 a aa b4 cos = |a||b| ;5 |a b| < |a||b|3.练习：(1)已知|a|=1 , |b|= 2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是( )A.60 °B.30 °C.135 °D. 4 5°（2）已知|a|=2 , |b|=1 , a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b 的模为（）A.2B.2 3C.6D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量a（x i，y i），b（x2，y2），怎样用a和b的坐标表示 a b？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b xx y°22. 平面内两点间的距离公式2 2 2 I I /~2 2（1）设 a （x,y），贝y |a| x y 或|a| 时x y .（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（人，％）、那么|a | (X i X2)2 (y i y2)2（平面内两点间的距离公式）向量垂直的判定设a （X i,yJ , b 化』2），则 a bX1X2 y』2 0两向量夹角的余弦（0）a b X1X2 ym----------------- - 2 2 2 2COS = |a| |b| X i y i X2 y2二、讲解范例：例1已知A(1, 2) , B(2, 3) , C( 2, 5),试判断△ ABC的形状,并给出证明.例 2 设 a = (5 , 7), b = ( 6, 4)，求 a • b 及a、b 间的夹角B (精确到1o)分析：为求a与b夹角，需先求a • b及丨a丨・丨b |,再结合夹角B 的范围确定其值.例 3 已知a=(l, 3) , b=( 3+1, 3—1),则 a 与 b 的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求a • b及| a |・| b |,再结合夹角B 的范围确定其值.解：由a=(1, 3) , b=( 3+1, 3—1)有 a • b= 3+1+ 3( 3—1)=4,| a |=2,| b |=22a b 2记a与b的夹角为B,则cos0=同忖2又-/o<0<n,—0= 4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题12 、已知A(3, 2) , B(-1 , -1)，若点P(x, - 2)在线段AB的中垂线上，则x=.四、小结：1、a b X1X2 y〃22 、平面内两点间的距离公式|a| (X1 X2)2 (y1 y2)23、向量垂直的判定：设a (X1,%) , b (X2,y2)，贝y a b y』2 0五、课后作业：《习案》作业二十四。
河北省容城中学2013学年高一数学教案 第二章 平面向量复习课(2)
第二章 平面向量复习课（二）一、教学过程（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题例1．已知圆C ：4)3()3(22=-+-y x 及点A （1，1），M 是圆上任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且N A A M 2=，求点N 的轨迹方程。
练习：1. 已知O 为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x ,y=DB · （x ，y ∈R ） 求点P （x ，y ）的轨迹方程；2. 已知常数a>0，向量)0,1(),,0(==a ，经过定点A （0，－a ）以λ+为方向向量的直线与经过定点B （0，a ）以λ2+为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ.求点P 的轨迹C 的方程；例2.设平面内的向量)7,1(=OA , )1,5(=OB , )1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当⋅取最小值时，的坐标及∠APB 的余弦值．解 设),(y x =．∵ 点P 在直线OM 上，∴ 与OM 共线，而)1,2(=，∴ x －2y=0即x=2y ， 有),2(y y OP =．∵ )7,21(y y OP OA PA --=-=，)1,25(y y OP OB PB --=-=，∴ )1)(7()25)(21(y y y y --+--=⋅= 5y2－20y+12= 5(y －2)2－8．从而，当且仅当y=2，x=4时，⋅取得最小值－8， 此时)2,4(=，)5,3(-=，)1,1(-=． 于是34||=PA ，2||=PB ，8)1(51)3(-=-⨯+⨯-=⋅， ∴ 171742348||||cos -=⋅-=⋅=∠PB PA APB小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业：〈习案〉作业二十八。
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2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标运算
思考1：已知：),(11y x a =，),(22y x b =，你能得出b a +、b a -、a λ的
坐标吗？
设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=
（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A 的坐标？
（3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=
AB =-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P 点吗？ 向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
三、讲解范例：
例1 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3，
4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB 时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB
时，得D3=(-6， 0)
例3已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)
即：⎩⎨⎧
=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15
y x ∴3F (-5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21
=MP ， 求P 点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2BC =
. 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.
五、小结：平面向量的坐标运算；
六、课后作业：《习案》作业二十。