2019届高三数学二轮专题复习训练：专题强化练五 Word版含解析

专题强化练五

一、选择题

1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x ＞0时，有xf′（x ）－f （x ）

x2

＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是()

A ．(－2，0)∪(2，＋∞)

B ．(－2，0)∪(0，2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(0，2)

解析：当x ＞0时，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f （x ）x ′＝xf′（x ）－f （x ）

x2＜0，

所以φ(x )＝f （x ）

x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，

所以当且仅当0＜x ＜2时，φ(x )＞0，此时x 2f (x )＞0. 又f (x )为奇函数，所以h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)． 答案：D

2．(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：

f (x )的导函数y ＝f ′(x )y ＝f (x )－a 的零

点的个数为()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如

图所示．

由于f (0)＝f (3)＝2，1＜a ＜2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4.

答案：D 3．(2018·广东二模)已知函数f(x)＝e x－ln

x，则下面对函数f(x)的描述正确的是()

A．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤2

B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞2

C．∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝0

D．f(x)min∈(0，1)

解析：因为f(x)＝e x－ln x的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝e x－1

x＝

xex－1

x，

令g(x)＝x e x－1，x＞0，

则g′(x)＝(x＋1)e x＞0在(0，＋∞)上恒成立，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又g(0)·g(1)＝－(e－1)＜0，

所以∃x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)

上单调递增，

则f(x)min＝f(x0)＝e x0－ln x0，

又e x0＝1

x0，x0＝－ln x0，所以f(x)min＝

1

x0＋x0＞2.

答案：B

4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则()

A．3f(1)＜f(3) B．3f(1)＞f(3)

C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)

解析：由于f (x )＞xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f （x ）x ′＝xf′（x ）－f （x ）x2＜0恒成立，因此

y ＝f （x ）x

在R 上是单调减函数，

所以f （3）3＜f （1）

1

，即3f (1)＞f (3)．

答案：B

5．(2018·佛

山

市

质检

)已知函数f (x )＝

⎩⎨⎧ln x ，x ＞1，

12x ＋12

，x≤1，若m ＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的最小值是()

A ．3－2ln 2

B ．e －1

C ．2

D ．e ＋1

解析：作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．

若m ＜n ，且f (m )＝f (n )， 则当ln x ＝1时，得x ＝e ， 因此1＜n ≤e ，－1＜m ≤1. 又ln n ＝12m ＋1

2

，即m ＝2ln n －1.

所以n －m ＝n －2ln n ＋1，

设h (n )＝n －2ln n ＋1(1＜n ≤e)，则h ′(n )＝1－2

n .

当h ′(n )＞0，得2＜n ≤e ；当h ′(n )＜0，得1＜n ＜2. 故当n ＝2时，函数h (n )取得最小值h (2)＝3－2ln 2.

答案：A

二、填空题

6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π

dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________dm.

解析：设圆柱的底面半径为R dm ，母线长为l dm ，则V ＝πR 2l ＝27π，所

以l ＝

27

R2

，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小． S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·

27R ， 所以S ′表＝2πR －

54π

R2

. 令S ′表＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．

答案：3

7．对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1，2)成立，则称函数f (x )具有性质P .若函数f (x )＝

ex a

具有性质P ，则实数a 的取值范围为________．

解析：依题意，xf (x )＝1，即xex

a

＝1在R 上有两个不相等实根，

所以a ＝x e x 在R 上有两个不同的实根，令φ(x )＝x e x ，

则φ′(x )＝e x (x ＋1)，

当x ＜－1时，φ′(x )＜0，φ(x )在(－∞，－1)上是减函数； 当x ＞－1时，φ′(x )＞0，φ(x )在(－1，＋∞)上是增函数．

因此φ(x )极小值为φ(－1)＝－1

e

.

在同一坐标系中作y ＝φ(x )与y ＝a 的图象，又当x ＜0时，φ(x )＝x e x ＜0.

由图象知，当－1

e

＜a ＜0时，两图象有两个交点．故实数a 的取值范围为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1e ，0. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1e ，0