五年级奥数长方体与正方体(二)教师版

五年级奥数长方体与正方体（二）

教师版

如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱．

c

b

a H

G

F

E

D

C

B

A

①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．

③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体．

长方体与正方体的体积

立体图形 示例

体积公式 相关要素

长方体

V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h

、S 二要素： 正方体

3

V a =

V Sh

= a

一要素： h

、S 二要素：

不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法

例题精讲

长方体与正方体（二）

③先补后去法

④实际操作法

⑤画图建模法

【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。

【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分

【解析】由题意知长、宽、高的和为2847

÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米

【答案】8

【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有

___________块。

【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题

【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。

【答案】6

【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米

多多少?

【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答

【关键词】小数报,决赛

【解析】0.078(1.30.3)0.2

÷⨯=(米)．

0.2米=2分米．

⨯⨯-=(立方米)．

1.30.30.30.0780.039

所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方

米．

【答案】0.039

【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。

【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分

【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。

【答案】100

【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三

个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米,405厘米,485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

高

长

【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,口试 【解析】 长方体中

高+宽1(3655)1802

=-=, ⑴

高+长1(4055)2002

=-=, ⑵

长+宽1(4855)2402

=-=, ⑶

⑵-⑴：长-宽20=, ⑷ ⑷+⑶：长130=,从而宽110=, 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为

701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)

【答案】1.001

【例 6】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别为235厘米、445厘

米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图）,若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。

【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,9题 【解析】 长方形的长为：()44551523554180+--=÷（厘米）；

长方形的宽为:()51551802275--=⨯÷（厘米）； 长方形的高为：()2355752240--=⨯÷（厘米）；

长方形的体积为:61807540100.54=⨯⨯÷（立方米）。 【答案】0.54

【例 7】 一个长方体的表面积是33.66平方分米,其中一个面的长是2.3分米,宽是2.1分米,

它的体积是_____立方分米.

【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯

【解析】 长方体的高是30

(33.66 2.1 2.32)2(2.1 2.3)11

-⨯⨯÷÷+=(分米).

长方体的体积是3019

2.1 2.31311110

⨯⨯=(立方分米)．

【答案】

19 13 110

【例 8】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图),表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．

【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯,决赛

【解析】96812

÷=(平方厘米),

122402880

⨯=(立方厘米)．

所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．

【答案】2880

【例 9】一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．

【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答

【关键词】小数报,决赛

【解析】设大长方体的宽(高)为a分米,则长为2a,右(左)面积为2a,其余面的面积为2

2a,根据题意,

222

22862600

a a a

⨯++⨯=所以225

a=,5

a=．

大长方体的体积2555250

=⨯⨯⨯=(立方分米)．

【答案】250

【例 10】有三个大小一样的正方体,将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状,表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.

【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答

【解析】三个小正方体拼接成图中的样子,减少了小正方体的4个侧面正方形的面积,表面积减少了16平方厘米,每个正方形侧面为1644

÷=平方厘米,每个正方体棱长为2厘米,三个小正方体体积(即所成形体的体积)是3

3224

⨯=立方厘米.

【答案】24

【例 11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了_____块木块,最少用了____ __块木块。