3-3 导线网条件平差计算

§3-3 导线网条件平差计算2学时导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。

在本节中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一附合导线问题。

一．单一附合导线条件平差如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个未知点、n +1个水平角观测值和n 条边长观测值，总观测值数为2n +1。

从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) – t = 3。

也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。

下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。

设AB 边方位角已知值为T AB = T 0，CD 边方位角已知值为T CD 、计算值为T n+1，B 点坐标的已知值为(B x ,B y )或者(x 1, y 1)，C 点坐标的已知值为(C x ,C y )、计算值为(x n +1, y n +1)。

三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。

方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即0ˆ1=-+CD n T T(3-3-1)纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即0ˆ1=-+C n x x(3-3-2) 0ˆ1=-+C n y y(3-3-3)1.方位角附合条件式180)1(][180)1(]ˆ[ˆ1101101⋅+±++=⋅+±+=+++n v T n T T n i n i n i βββ则(3-3-1)式可写为0180)1(][ˆ1101=-⋅+±++=-++CD n i CD n T n v T T T i ββ整理得0][11=-+T n w v i β (3-3-4)其中)180)1(][(110CD n i T T n T w -⋅+±+-=+ β2.纵坐标附合条件式 终点C 坐标平差值表示为n i B n x x x 11]ˆ[ˆ∆+=+(3-3-5)而第i 边的坐标增量为i i i T S x ˆcos ˆˆ=∆(3-3-6)式中i S i i v S S +=ˆii ij i i j i j i T v i T v i v T i T T j j j +=⋅±++=⋅±++=⋅±+=10111010][180][][180][180]ˆ[ˆββββββ其中T i 是第i 边的近似坐标方位角180][01⋅±+=i T T i j i β(3-3-7)则（3-3-6）式可表示为)]cos([)(ˆ1i i S i i T v v S x j i ++=∆β上式按泰勒级数展开，取至一次项，得ii S i i i j i v y v T x x1][cos ˆβρ''∆-⋅+∆=∆(3-3-8)其中i i i T S x cos =∆，为由观测值计算出的近似坐标增量。

(3-3-8)式代入(3-3-5)式，并按v β i 合并同类项得ni n n S i n ni i S i i B C ii j i v y y v T x v y v T x x x 11111])[(1][cos ][cos ˆββρρ-''-⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''∆-⋅+∆+=+上式代入（3-3-2）式，整理得0])[(1][cos 111=-+-''-⋅+C n ni n nS i x x v y y v T i i βρ上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式：0])[(1][cos 111=--''-⋅+x ni n nS i w v y y v T i i βρ (3-3-9))(1C n x x x w --=+(3-3-10)3.横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程（请同学们自己具体推导一下），写出横坐标条件式0])[(1][sin 111=--''+⋅+y ni n nS i w v x x v T i i βρ(3-3-11) )(1C n y y y w --=+(3-3-12)为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S 、x 、y 常以米为单位，w 、v S 、v β以厘米为单位，则（3-3-9）和（3-3-11）写为])[(65.20621][cos 111=---⋅+x ni n nS i w v y y v T i i β(3-3-13)])[(65.20621][sin 111=--+⋅+y ni n nS i w v x x v T i i β (3-3-14)综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是：(1)计算各边近似方位角T i 和各点的近似坐标增量值Δx i 、Δy i ；(2)参照（3-3-4）写出方位角条件式，参照（3-3-9）、（3-3-10）、（3-3-11）、（3-3-12）或者（3-3-13）、（3-3-14）写出纵横坐标条件方程式；(3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。

二．单一闭合导线条件平差单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要将图3-6中的B 和C 、A 和D 分别重合，就可得到图3-7所示的闭合导线。

图中有一个已知点和n -1个待定点，观测了n 个转折角和n +1条导线边。

为了定向，还观测了一个连接角β1。

不难分析，闭合导线中也只有三个多余观测值，产生三个条件式。

由于没有多余起算数据，因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单一附合导线不同的。

1.多边形内角和闭合条件由于导线网构成了多边形，其n +1个转折角的平差值应满足多边形内角和条件0180)2(]ˆ[12=⋅--+ n n i β (3-3-15)写成转折角改正数条件方程形式0][12=-+ββw v n i (3-3-16)其中180)2(][12⋅---=+n w n i ββ(3-3-17)2.坐标增量闭合条件从B 点开始，依次计算每一条边的纵横坐标增量的平差值，其总和应分别满足如下关系：0]ˆ[1=∆ni x (3-3-18) 0]ˆ[1=∆n i y(3-3-19)参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式：0])[(1][cos 1111=--''-⋅++x ni i n n i S i w v y y v T βρ (3-3-20)0])[(1][sin 1111=--''+⋅++y ni i n n i S i w v x x v T βρ(3-3-21) )(1B n x x x w --=+(3-3-22) )(1B n y y y w --=+(3-3-23)如果S 、x 、y 以米为单位，w 、v S 、v β以厘米为单位，则（3-3-20）和（3-3-21）两式可写为：])[(65.20621][cos 111=---⋅+x ni n nS i w v y y v T i i β(3-3-24)])[(65.20621][sin 111=--+⋅+y ni n nS i w v x x v T i i β (3-3-25)三．边角权的确定及单位权中误差导线网中，既有角度又有边长，两者的量纲不同，观测精度一般情况下也不相等。

在依据最小二乘法进行平差时，应合理地确定边角权之间的关系。

为统一确定角度和边长观测值的权，可以采用以下方法。

取角度观测值的权及中误差为：p β、βσˆ；取边长观测值的权及中误差为：p S 、s σˆ；取常数0ˆσ，则角度及边长观测值的权为 220ˆˆββσσ=p ， 220ˆˆS S p σσ= 一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。

可以取βσσˆˆ0=，则有1=βp ， 22ˆˆS S p σσβ= (3-3-26)式中βσˆ以秒为单位，p β无量纲。

在实际计算边长的权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果s σˆ的单位取为厘米，则p S 的量纲为秒2/厘米2；而在平差计算中，s σˆ的单位与改正数v S的单位要一致，均以厘米为单位。

按此方法确定的权，在平差之后还应进行统计假设检验。

检验通过后才能说明其合理性，否则，应作修正再进行平差和统计假设检验。

由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算：r v v p v v p r pvv S S S ][][][ˆ0βββσ+±=±= (3-3-27)如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即m 0 = m β），所以在按（3-3-27）式算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。

测边中误差可按下式计算：iiS S p 1ˆˆ0σσ= (3-3-28)四．例题如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差βσˆ= ±2.5″，测边所用测距仪的标称精度公式s σˆ= 5mm+5ppm ·D k m 。

已知数据和观测值见表3-2。

试按条件平差法对此导线进行平差，并评定2号点的点位精度。

表3-2解：未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表3-2中表3-3(1)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式 改正数条件方程闭合差项：)(51CD T T w --== 3.9″ )(42C x x w --== -1.6 c m )(43C y y w --== 1.7 c m改正数条件方程0][151=-w v i β])[(65.20621][cos 241541=---⋅w v y y v T i i i S i β 0])[(65.20621][sin 341541=--+⋅w v x x v T i i i S i β即v β1 + v β2 + v β3 + v β4 + v β5 – 3.9 = 00.3868v S 1 - 0.7857v S 2 - 0.0499v S 3 – 0.9959v S 4 –1.8479v β1 –1.1887v β2- 0.7614v β3 + 0.0857v β4 + 1.6 = 00.9221v S 1 +0.6186v S 2 + 0.9988v S 3 - 0.0906v S 4 – 1.2502v β1 –1.5267v β2– 0.9840v β3 – 0.9417v β4 – 1.7 = 0⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----------=9417.09840.05267.12502.10906.09988.06186.09221.00857.07614.01887.18479.19959.00499.07857.03868.011111A W= [ 3.9 -1.6 1.7 ]T第3点平差后坐标函数式221112113ˆcos ˆˆcos ˆˆˆˆT s T s x x x x x ++=∆+∆+=221112113ˆsin ˆˆsin ˆˆˆˆT s T s y y y y y ++=∆+∆+=全微分得213213]ˆ)[(1]ˆˆ[cos ˆi i i i d y y s d T x d βρ-''+=213213]ˆ)[(1]ˆˆ[sin ˆi i i i d x x s d T y d βρ-''+=f x 3 = [ 0.3868 –0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 ]T f y 3 = [ 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 ]T(2)确定边角观测值的权设单位权中误差"5.2ˆˆ0±==χσσ；根据提供的标称精度公式D σˆ= 5 mm + 5ppm•D km 计算测边中误差 根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P β = 1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm ）。