3-3 导线网条件平差计算

§3-3 导线网条件平差计算

2学时

导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。在本节中我们主要讨论单一导线的平差计算，先讨论单一附合导线问题。

一．单一附合导线条件平差

如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个未知点、n +1个水平角观测值和n 条边长观测值，总观测值数为2n +1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) – t = 3。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。

设AB 边方位角已知值为T AB = T 0，CD 边方位角已知值为T CD 、计算值为T n+1，B 点坐标的已知值为(B x ,B y )或者(x 1, y 1)，C 点坐标的已知值为(C x ,C y )、计算值为(x n +1, y n +1)。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。

方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即

0ˆ1=-+CD n T T

(3-3-1)

纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即

0ˆ1=-+C n x x

(3-3-2) 0ˆ1=-+C n y y

(3-3-3)

1.方位角附合条件式

180)1(][180)1(]ˆ[ˆ1101101⋅+±++=⋅+±+=+++n v T n T T n i n i n i βββ

则(3-3-1)式可写为

0180)1(][ˆ1101=-⋅+±++=-++CD n i CD n T n v T T T i ββ

整理得

0][1

1=-+T n w v i β (3-3-4)

其中

)180)1(][(110CD n i T T n T w -⋅+±+-=+ β

2.纵坐标附合条件式 终点C 坐标平差值表示为

n i B n x x x 11]ˆ[ˆ∆+=+

(3-3-5)

而第i 边的坐标增量为

i i i T S x ˆcos ˆˆ=∆

(3-3-6)

式中

i S i i v S S +=ˆ

i

i i

j i i j i j i T v i T v i v T i T T j j j +=⋅±++=⋅±++=⋅±+=10111

010][180][][180][180]ˆ[ˆββββββ

其中T i 是第i 边的近似坐标方位角

180][01⋅±+=i T T i j i β

(3-3-7)

则（3-3-6）式可表示为

)

]cos([)(ˆ1i i S i i T v v S x j i ++=∆β

上式按泰勒级数展开，取至一次项，得

i

i S i i i j i v y v T x x

1][cos ˆβρ''∆-⋅+∆=∆

(3-3-8)

其中i i i T S x cos =∆，为由观测值计算出的近似坐标增量。

(3-3-8)式代入(3-3-5)式，并按v β i 合并同类项得

n

i n n S i n n

i i S i i B C i

i j i v y y v T x v y v T x x x 11111])[(1][cos ][cos ˆββρρ-''-⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''∆-⋅+∆+=+

上式代入（3-3-2）式，整理得

0])[(1][cos 111=-+-''-

⋅+C n n

i n n

S i x x v y y v T i i βρ

上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式：

0])[(1][cos 111=--''-

⋅+x n

i n n

S i w v y y v T i i βρ (3-3-9)

)(1C n x x x w --=+

(3-3-10)

3.横坐标附合条件式

可以仿照纵坐标条件推导过程（请同学们自己具体推导一下），写出横坐标条件式

0])[(1][sin 111=--''+

⋅+y n

i n n

S i w v x x v T i i βρ

(3-3-11) )(1C n y y y w --=+

(3-3-12)

为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S 、x 、y 常以米为单位，w 、v S 、v β以厘米为单位，则（3-3-9）和（3-3-11）写为

])[(65.20621][cos 111=---

⋅+x n

i n n

S i w v y y v T i i β

(3-3-13)

])[(65.20621][sin 111=--+

⋅+y n

i n n

S i w v x x v T i i β (3-3-14)

综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是：

(1)计算各边近似方位角T i 和各点的近似坐标增量值Δx i 、Δy i ；

(2)参照（3-3-4）写出方位角条件式，参照（3-3-9）、（3-3-10）、（3-3-11）、（3-3-12）或者（3-3-13）、（3-3-14）写出纵横坐标条件方程式；

(3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。

二．单一闭合导线条件平差

单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要将图3-6中的B 和C 、A 和D 分别重合，