第二章 年金

(2
n = an (1+i) s n = n vn a s
1 1 = +d s an n
n
(2
(
1=d an +v
1 v an = d
n
(2-7A)
n
(2-8A)
n
1+d n =(1+i) s
n
(2-7B)
(1 i ) 1 n = s d
(2-9A)
100000 R 6103.29元 & & a & & A的份额为：6103.29 a8 39576.88元 & & & & B的份额为： 6103.29 (a18 a8 ) 28234.15元 & & B的份额为： 6103.29 a -a18） 32188.97元 （& &
& & & & & & V (3) s& a5 a7 (1 i )2 v5 s& 2 7 V (3) s3 a4 a7 (1 i )3 v 4 s7
类似的，我们可以构造更为复杂的任意时刻年金现值 的求解公式。
例 某人从1980年1月1日起开始向希望 工程捐款，每年捐款支付3000元， 到2012年1月1日为止从未间断。假 设年实质利率为6%，分别求该人的 全部捐款在下列各时刻的价值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2012年1月1日； （5）2013年1月1日； （6）2020年1月1日；
V (10) (1 i )3 s5 V (10) s8 s3
& V (10) (1 i ) 2 s& 5 & & V (10) s& s& 7 2
当然，类似的还可以构造时刻10的积累值的各种表达式
如果以时刻3作为基点，那么时刻3的年金价值可以有 如下的表述形式：
初付年金和末付年金之间存在如下关系：
& & an i van i &i s& (1 i ) sn i n & & an i an 1 1 &i s& sn 1 1 n
以上各式我们可以通过画图通过简单的推导得到，可以 通过如上关系在已知期初年金的情况下，求得末付年金； 或者在已知末付年金的情况下，求得初付年金。
例
有一笔1000元的贷款，为期10年。若实际利率为 年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总 量： 为何第三 种方式的 1）第10年末，本金利息一次还清 利息较小 2）每年支付利息，本金第10年末归还 3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清 解：) A(10) 1000(1 0.09)10 2367.36 1
2.5 连续年金
付款频率无限大（即连续付款）的年金叫连续年金。这 是付款频率大于计息频率的特例。虽然这种年金在实务 中是不存在的，但它在年金的理论分析以及其它方面如 精算数学中有着极为广泛的应用。 连续付款n个计息期，每个计息期的付款额之和为1的 a 年金现值记为n ，这样，
vt n 1 v n an vt dt |0 0 ln v
1000s10 0.06 1000 13.18 13180.80
例、甲在银行存入20,000元，计划分4年支取完毕， 每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为 7%，计算每次的支取额度。
解：半年期实际利率为3.5%，设R为每次支取额度，有，
R a8 0.035 20, 000 20000 R a8 0.035 2909.51
例题
某30万元的贷款计划分季度等额偿还，在5年内 完成。如果贷款利率为半年结转的年利率10%， 计算每次偿还的金额。 解：半年度实际利率为5%，等价的季度实际利率 为j;
j 1.05 1 0.024695 设每次的偿还额为R,则有：Ra 20 j 300000 300000 R 19188.70 15.6342
即甲每次的支取额度为2909.51元
例题
某银行客户想通过零存整取的方式在1年 后获得10000元，在月复利0.5%的情况下， 每月末需要存入多少钱，才能达到其要求？ 解：依具题意；设每月末的存款额为D，有
Ds n i 10000 Ds12 0.005 10000 10000 10000, D 810.66 s12 0.005 12.3356
V (0) v 2 a5 V (0) a7 a2
& & V (0) v 3a5 & & & & V (0) a8 a3
当然，类似的还可以构造时刻10的积累值的各种表达式
我们以下两图为例说明任意时刻年金的表示方法：
以0时刻为基点，但是给付时刻不是标准的，从时刻3 开始，则0时刻的现值可以有如下表示：
年金的种类
1、确定年金和风险年金： 确定年金的支付时间和支付金额事先确定 风险年金的支付时间和支付金额不确定 2、定期年金和永续年金： 定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息债券 的息票 永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息 3、期初付年金和期末付年金： 期初付年金的支付是在每个周期的期初。月初发工资和养老金 期末付年金的支付是在每个周期的期末。月末发工资和养老金 4、即期年金和延期年金： 即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开始支 付 5、等额年金和变额年金：
100a8 0.03 100a20 0.03 723.03 1532.38 2255.41
练习
某人每年年初存进银行1000元,前4年的年 利率为6%,后6年由于通货膨胀,年利率升 到10%,计算第10年年末时存款的积累值.
练习
前四年的积累值在第四年年末积累值为 10004 0.06 4637.09 s 这笔存款再按10%的年利率积累到第10年年末, 积累值为 4637.09(1 10%) 6 8214.89 后六年年金积累到第十年的积累值为 10006 0.1 8487.17 s 两笔年金积累值之和为 : 8217.89 8487.17 16702.06
2.4 永续年金
期末付永续年金的现值记为 a ，且有，
v 1 a v v v L L 1 v i
2 3
& & 相应的期初付永续年金记为 a ，且有，
1 1 & & a 1 v v L L 1 v d
2
永续年金的最终积累值不存在，因为给付没有终点时 刻，无穷的给付导致积累值变为无穷大。
2 4
2.2 期初付年金
在2.1.1中介绍了期末付年金，与值相对应，在每个付款 期间开始时付款的年金为期初付年金。假设一个n年期 年金，每期期初付款额为1，利率为，各期的付款如下 图所示：
1 vn an =1+v +v2+…+vn-1= d
(1 i ) n 1 n = #43;…+(1+i)n = s d
第二章
年金
所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款 项。年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取 的银行存款、住房按揭换款、购物分期付款以及保险 领域中的养老金给付、分期交付的保费等等，这些都 属于年金的形式。年金的最初形式是以一年为时间间 隔支付的一系列款项，随着年金在实际生活中以及理 论研究上的不断深入，时间间隔突破了以一年为其的 限制，变得可长可短。年金中涉及到的其他方面，如 付款、利息等，也可以产生许多变化。我们将付款时 间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期内利率 不变且计息频率与付款频率相等的年金称为年金的标 准型。年金的各种变化形式称为年金的一般型。
sn 1 (1 i) (1 i) L (1 i)
2
n2
(1 i)
n 1
(1 i) 1 i
n
an v v v L L v
2 3
n 1
v
n
1 v i
n
1 ian v
n
sn 1 (1 i) (1 i)2 L (1 i)n2 (1 i)n1 (1 i)n 1 i
利息 2367.3 1000 136736 6 .
2）每年的利息=1000×0.09=90，所以支付的利息总量为 90×10=900元 1000 3）设相等的付款为R,
6.416758 利息总量 10 155.82 1000 558.2 Ra10 0.09 1000, R 155.82
解：
2
1 e20

10
3
1 e10

20
1 3e 2e 6.93%
0e
10
0.5
实例分析
2.1 期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。假设 一笔年金，付款期限为n期，每期期末付款额为1，每期 利率为i,各期付款如图所示。
如果用 an i 表示在利率i下这n期末付年金的现值，则有，
an v v v L L v
2 3
n 1
v
n
1 v i
n
用 表示在利率i下，这n期末付年金在n年末的积累 sn i 值,则有，
1
1
…
…
… 1 …
1
（共 n 次付款）
an an
sn
n s
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
例题
某银行客户想通过零存整取的方式在1年后 获得10000元，在月复利0.5%的情况下， 每月初需要存入多少钱，才能达到其要求？ 解：依具题意；设每月初的存款额为D，有