分子动理学理论的平衡态理论
高中物理人教版2019选修第三册温度和温标
【例2 】 关于热平衡，下列说法正确的是( ) A．系统甲与系统乙达到热平衡就是它们的温度达到相同的状态 B．标准状况下，冰水混合物与0 °C的水未达到热平衡 C．量体温时温度计需和身体接触十分钟左右是为了让温度计跟身
体达到热平衡 D．冷热程度相同的两系统处于热平衡状态
解析 两系统达到热平衡时的标志是它们的温度相同，或者说它
如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡， 那么这两个系统也必定处于热平衡。
3．热平衡与温度 (1)一切达到热平衡的物体都具有相同的 温度 ． (2)温度计的测温原理 若物体与A处于热平衡，它同时也与B达到热平衡，则A的温度 等于 B的温度，这就是温度计用来测量温度的基本原理．
三、温度计与温标
问题设计
C．只有处于平衡状态的系统才有状态参量 D．两物体发生热传递时，它们组成的系统处于平衡状态
解析 处于非平衡状态的系统也有状态参量，而且参量会发生 变化．经过足够长的时间，系统若不受外界影响就会达到平衡 状态，各部分状态参量将会相同，故B项正确，A、C项错误； 处于热传递过程中的两系统处于非平衡状态，故D项错误．
三、温度计与温标
2、几种温度计的测量原理 (1)水银温度计是根据水银 热胀冷缩 的性质来测量温度的． (2)金属电阻温度计是根据金属的电阻随 温度的变化来测量温 度的． (3)气体温度计是根据气体压强与 温度 的关系来测量温度的． (4)热电偶温度计是根据不同导体因温差产生的电动势大小来测 量温度的．
热物理学微观理论的发展历程
热物理学微观理论是在分子动理论（简称分子动理论）基础上发展起来的。
早在1783年伯努利曾设想气体压强由分子碰撞气壁而产生。
1744年俄罗斯科学家罗蒙诺索夫提出热是分子运动的表现，他把机械运动的守恒定律推广到分子运动的热现象去。
到了19世纪中叶，原子和分子学说逐渐取得实验支持，将哲学观念具体化发展为物理理论，热质说也日益被分子运动的观点所取代，在这一过程中统计物理学开始萌芽。
1857年克劳修斯首先导出了气体压强公式。
1859年英国物理学家麦克斯韦导出了速度的分布规律，由此可得到能量的均分定理，以上就是分子动理论的平衡态理论。
后来波耳滋蔓提出来了熵的统计解释以及H定理；1902年美国物理学家吉布斯在其名著《统计力学的基本原理》中，建立了平衡态统计物理体系，称为吉布斯统计(后来知道这个体系不仅适合于经典力学系统，甚至更自然地适用于服从量子力学规律的微观粒子，与此相适应建立起来的统计力学称为量子统计)此外还有非平衡态统计物理学。
上述三方面的内容都是在分子动理学理论的基础上发展起来的。
第二章分子动力学理论的平衡态理论
这种在大量随机事件的 集合中出现的规律性叫统计 规律性。
少数分子无规律性
大量分子的统计分布 7
二、等概率性与概率的基本性质
1、概率的定义
概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。
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离散变量xi
P(xi)N li m N Ni
连续变量x , x-x+dx区间
d(N x)
§2.3 麦克斯韦速率分布
要深入研究气体的性质，不能光是研究一些平均值，
如t ，V2
等，还应该进一步弄清分子按速率和按能量等的分布情 况。
个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的 集体表现存在着一定的统计规律。
统计物理关心两件事：
1. 平均值; 2. 分布;
几个要用的积分公式 高斯积分
Q xn e a2d x ,x (a0 ,n0 ,1 ,2 ,3 , ) 0
一、分子射线束实验
实验装置
接抽气泵
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金属蒸汽
狭缝
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显
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示
屏
19
二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平衡态下，
分子速率分布函数为：
f(v)4(
m3/2 m 2v/2kT 2 m——分子的质量 ) e v T——热力学温度
分子平动动能的平均值
讨论 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
vv1~v2
v2 v f(v)dv
热学第1章_导论
3.化学平衡（chemical equilibrium）条件：在无外场作用下 系统各部分的化学组成也应是处处相同的。
例：扩散现象（diffusion） 第二种粒子流，它不存在由于成群粒 子定向运动所导致的粒子宏观迁移. 氧气 氮气 氧氮混合气
普遍性。
2.热力学是具有最大普遍性的一门科学---不提出任何一个特 殊模型，但又可应用于任何的宏观的物质系统.
热力学的局限性：
（1） 它只适用于粒子数很多的宏观系统；
（2）它主要研究物质在平衡态下的性质. 它不能解答系统如何 从非平衡态进入平衡态的过程； （3） 它把物质看为连续体，不考虑物质的微观结构。
孤立系统 系统与外界之间，既无物质交换，又无能量交换。
二、热力学与力学的区别
热物理学研究方法不同于其它学科（例如力学）的宏观 描述方法。 热力学与力学的区别： 1. 热力学的注意力指向系统内部。
热力学的参量：与系统内部状态有关的宏观物理量 （诸如压强、体积、温度等）。 2. 热物理学中一般不考虑系统作为一个整体的宏观的机械运动. 若系统在作整体运动，则常把坐标系建立在运动的物体上。 例：运动卡车上的氧气瓶，其坐标系取在氧气瓶内
例: 1mol物质中就有6.02×1023 个分子。因而有6×6×1023 个方 程。 显然，人类不可能造出一部能计算1023个粒子的运动
方程的计算机。
热物理学研究对象的这一特点决定了它有宏观的与微观 的两种不同的描述方法。
宏观理论 微观理论
热力学
统计物理学
§1.1.2
宏观描述方法与微观描述方法
例：一容器储有氧气0. 1kg，压强为10atm，温度为47℃。因 容器漏气，过一段时间后，压强减到原来的5/8，温度降 到27℃，若把氧气近似看做理想气体，
热学补充题
热学补充题热学补充题一、单一选择题：1.下列关于平衡态的说法中，正确的是A.系统状态参量不随时间变化的状态B.系统内各处均匀一致的状态C.热力学系统的宏观性质不随时间变化的状态D.系统在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态2.金属杆的一端与沸水接触，另一端与冰接触，当沸水和冰的温度都维持不变时，杆的温度虽然不同，但不随时间改变，下面说法中正确的是A.杆处于平衡状态，因为杆各处的温度不随时间改变B.杆不处于平衡状态，因为杆的温度各处不同C.杆不处于平衡状态，因为杆受外界影响D.不能确定杆是否处于平衡态3.一个水银温度计，一个酒精温度计，两者都在冰点校正了零度，在水的沸点校正了100度，然后在0度和100度之间等分成100份，现在分别用这两个温度计测量两个物体的温度，结果它们都指示在30度处，则知两物体的温度A.相同B.不一定相同C.一定不相同D.无法判断4. 理想气体状态方程pV = RT适用于A.1cm3的理想气体B.任意体积的理想气体C.1g 的理想气体D.1mol 理想气体5.相等质量的氢气和氧气被密封在一粗细均匀的玻璃管内，并由一水银滴所隔开，当玻璃管平放时，氢气柱和氧气柱的长度比为A.16:1B.1:1C.1:16D.32:16. 1mol 的范德瓦耳斯方程为A. (p－a / V m2)( V m－b) = RTB. (p + a / V m 2)( V m—b) = RTC. (p + a / V m 2)( V m + b) = RTD. (p－a / V m 2)( V m+ b) = RT7.范德瓦耳斯方程(p + a / V m 2)( V m—b) = RT 中的V m是A.气体可被压缩的体积B.气体分子自由活动的体积C.容器的容积D.气体分子本身的体积8.按麦克斯韦速率分布率，一个分子精确的具有一定速率的比率是A. 1B. 0.5C.0 D. 比0.5大9.在一定速率v 附近，麦克斯韦速率分布函数f (v ) 的物理意义是：一定量的气体在给定的温度下处于平衡时的A.速率为v 的分子数B.分子数随速率v 的变化C.速率为v 的分子数占总分子数的百分比D.速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比10. f (v )为麦克斯韦速率分布函数，那么⎰21)(v v dv v f 表示A.速率在v 1～v 2之间的分子数B.速率在v 1～v 2 之间的分子数占总分子数的百分比C.速率在 v 1～v 2 之间的平均速率D.无明确的物理意义 11.根据能量均分定理，理想气体分子的平均总能量为A.()kT v r t 221++ B.()RT v r t 221++C.()kT v r t ++21D.()kT v r t 223++12.如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则这两种气体的A.平均动能相同B.平均平动动能相同D.内能相等 C.势能相等13.理想气体等压过程中，其分子的平均碰撞平率Z 与温度T 的关系是A. T Z ∝B. T Z 1∝ C. T Z ∝D. TZ 1∝ 14.体积固定的容器中有一定量的气体，设分子有效直径不变，当温度逐渐升高时,分子的平均碰撞平率和平均自由程的变化为 A.Z 增大，λ增大 B.Z 增大，λ减小 C.Z 增大,λ不变 D.Z 和λ均保持不变15.如果每立方厘米约有3×1019个分子，空气分子的有效直径为2×109s -1cm ，则在00C 和1atm下，空气分子的平均自由程的量值是A. 2×105cmB. 2×10-6cmC.2×10-5cm D. 2.1×10-2cm16.如果空气分子的平均速率为1×105cm·S -1,而平均自由程的量值为1×10-5cm ，那么空气碰撞频率为A. 1s -1B. 1×1010 s-1 C.1×10-10s -1 D. 1×10-5s -117.下列有关热量的说法,哪些是正确的A.热是一种特殊物质B.热传递是改变系统内能的一种方式C.热量是表征系统固有属性的物理量D.系统温度越高,所含热量越多18.在p －V 图上理想气体系统由平衡态I 到达平衡态II ，如图1所示，无论经历过什么样的过程系统必然 A.对外作功 B.内能增加 C.吸收热量 D.放出热量19.如图1所示，一系统从同一初态E 分别经过三个不同过程R 1，R 2，R 3变化到相同末态下,则在三个系统中对外作的功的关系为A . W 1 < W 2 < W 3B .C . W 2 < W 3 < W 1D . 20.内能相等的1mol VO 图1 . . I Ip V O 图1气A.热接触时，它们之间会发生热传递B.质量必定相等C.温度必定相等D.温度可能相等，也可能不等21.一定量的某种理想气体作如图2所示的循环,则下列说法正确的是A .气体在2-3过程中气体不作功B .在4-1过程中气体不作功C .整个循环中气体所作的功为负值D .气体在1-2过程中及3-4过程中所作的功数值相同 22.如图3所示,p -V 图上有两条曲线 abc 和adc,由此知 A .其中一条是绝热线,一条是等温线B .两过程吸收的热量相等C .两过程中系统对外作的功相等D .两过程中系统内能变化相等23.理想气体经历了一个由等温过程、绝热过程和等压过程组成的逆循环，在此循环过程中，理想气体p VO 1 234 图2 图3 V p O a b c dA .从外界吸收热量 B.向外界放出热量C.对外界作功D.内能减少24.绝热过程的过程方程是A.=-γγ/)1(Tp恒量 B.=-T p //)2(γγ恒量 C.=--γγT p1恒量 D.=γpT 恒量25.设热源的热力学温度是冷源的热力学温度的n 倍，则一卡诺循环中，气体将把从热源得到的热量交给冷源A. n 倍B. (n –1)倍C. 1/n 倍 D. (n +1) / n 倍26.卡诺热机的效率A.仅依赖于高温热源的温度B.仅依赖于低温热源的温度C.仅依赖于高温热源和低温热源的温度D.仅依赖于高温热源与低温热源的温度差27.在327 0C 的高温热源和27 0C 的低温热源间工作的热机,理论上的最大效率是A. 100%B. 92%C. 50%D. 25%28.在327 0C 的高温热源和27 0C 的低温热源间工作的热机，理论上的最大效率是A. 100%B. 92%C. 50%D. 25%29.在功与热的转变过程中，下列叙述中不正确的是A.不可能制成一种循环动作的热机，它只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功，而其他物体不发生任何变化。
分子运动的理论
分子运动的理论
分子运动理论，也称为热力学研究中的热动力学，是一种由法国科学家拉斯，博罗钦在1860年开发的理论，它利用统计学原理来研究物
质处于静止状态能源的分布和变化以及物质在自然系统中不同状态之
间交换能量和物质的能力。
分子运动理论涉及特定状态的物质中的分子运动，以及分子之间的相互作用。
它还涉及如何确定特定分子的分布和变化，以及分子的受到的压力等因素如何影响这些变化。
分子运动理论可以说是动力学以及统计物理学的基础理论。
它是由热力学及分子物理学组成的，用来研究在特定条件下，物质中分子或原子运动以及相关之间的能量和物质的交换及其变化的过程。
该理论在不稳定的状态中至少提供了削近的计算方法，旨在解释热不定性现象的实质，并提供连续模型去模拟和研究应用于生物、物理、化学和地球物理学的实际研究中的现象的发生机制。
分子运动理论可以用来对非平衡态系统的性质和变化进行确定。
例如，可以用它来研究多元体系如气体、液体、凝固液体和固态体系中的分子如何移动和相互作用，以及如何改变系统的状态，以及它们受到其他外部因素（如温度、压力等）的影响是如何造成物质变化的。
因此，可以看出，分子运动理论在热力学和统计物理学中占有重要的地位，为研究物质现象和变化的原因及其机制提供了有力的理论支撑。
医学物理学分子动理论
蚌埠医学院魏杰制作 医学物 理学
能量均分定理：在温度为T的平衡态下，物体分
第一节物 质微结构
子每个自由度的平均动能都相等，都等于
第二节分
子动理论 对于理想气体，由于分子之间没有相互作用，分
第三节
分布率 子间也就没有势能。因此，理想气体的内能就是
第四节 输运过程
所有分子动能的总和。
第五节 表面现象
对包含有N个自由度为i 的分子的理想气体,其内能
为：
部分作业
解答
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翻结录束。
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第七章分
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翻结录束。 所以分子力随分子间距离的增大而急剧减小，为 前
2 短程力。
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第七章分
子动理论
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蚌埠医学院魏杰制作 医学物F理学来自当r=r0时，为平衡位置，
第一节物 F=0。
质微结构
第二节分 r0的数量级约为10-10m , 子动理论 此时分子势能最低，分子
0
r0
r
分子间作用势能EP与分子间距离r的关系
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第七章分
子动理论
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第一节物 质微结构 第二节分 子动理论 第三节 分布率 第四节 输运过程 第五节 表面现象 部分作业
解答
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第二节 理想气体分子动理论
一、理想气体状态方程
在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质 不随时间改变的状态称为平衡态。 在微观上，分子的热运动是永不停息的，系统的 平衡态是一种动态平衡。
《热学》第二章和第三章复习
第二章分子动理学理论的平衡态理论 基本要求一、麦克斯韦速率分布（1）掌握麦克斯韦速率分布函数，理解它的物理意义和它的分布曲线，并知道它的分布曲线是如何随温度或者分子质量变化。
（2）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率3个公式。
二、 麦克斯韦速度分布 （1）掌握麦克斯韦速度分布。
（2）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。
三、 气体分子碰壁数及其应用 （1）知道气体气体压强和碰壁数的物理意义。
(2)能利用麦克斯韦速度分布推导气体分子碰壁数公式和理想气体压强公式，并熟记它们。
（3）会利用气体分子碰壁数公式研究一些实际问题。
四、波尔兹曼分布（1）掌握粒子在外场中的分布；（2）掌握波尔兹曼分布；（3）会从波尔兹曼分布出发求粒子在外场中的分布和麦克斯韦速度分布。
五、能量均分定理（1）理解自由度和自由度数，知道单原子分子、双原子分子和多原子分子的自由度； （2）掌握能量积分定理；会求常温下理想气体的内能、定体热容等。
（3）了解固体的热容和杜隆－珀蒂定律第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 基本要求一、黏性现象知道什么是层流，什么是湍流。
掌握牛顿黏性定律，理解气体黏性微观机理。
二、 扩散现象掌握菲克定律，理解气体扩散微观机理。
三、 热传导定律掌握傅立叶定律，理解气体热传导微观机理。
四、 气体分子平均自由程（1）理解什么是碰撞（散射）截面，掌握刚性分子碰撞截面公式。
（2）掌握气体分子间平均碰撞频率和分子平均自由程公式。
五 气体输运系数知道气体黏性系数、导热系数、扩散系数如何随温度和压强变化。
第二章和第三章复习题一 选择题1 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)？ (A) 66.7％． (B) 50％． (C) 25％． (D) 0． ［ ］2 做布朗运动的微粒系统可看作是在浮力ρρ/0mg -和重力场的作用下达到平衡态的巨分子系统．设m 为粒子的质量，ρ 为粒子的密度，ρ 0为粒子在其中漂浮的流体的密度，并令z = 0处势能为0，则在z 为任意值处的粒子数密度n 为 (A) )}1(exp{00ρρ-⋅-kTmgz n ．(B) )}1(exp{00ρρ-⋅kTmgz n ．(C) }/exp{00kT z mgn ρρ-．(D) }/exp{00kT z mgn ρρ．［ ］3 在二氧化碳激光器中，作为产生激光的介质CO 2分子的两个能级之能量分别为ε1 = 0.172 eV ，ε2 = 0.291eV ，在温度为 400℃时，两能级的分子数之比N 2∶N 1为（玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J/K ，1 eV = 1.60×10-19 J ）(A) 31.5． (B) 7.7． (C) 0.13． (D) 0.03． ［ ］ 4 温度为T 时，在方均根速率s/m 50)(212±v 的速率区间内，氢、氨两种气体分子数占总分子数的百分率相比较：则有（附：麦克斯韦速率分布定律：v v v ∆⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛π=∆222/32exp 24kT m kT m N N，(A) ()()22N H //N N N N ∆>∆， (B) ()()22N H //N N N N ∆=∆，(C) ()()22N H //N N N N ∆<∆(D) 温度较低时()()22N H //N N N N ∆>∆ ，温度较高时()()22N H //N N N N ∆<∆ [ ]5 下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？ ［ ］6 在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为：(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ． (D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． ［ ］ 7 一定量理想气体分子的扩散情况与气体温度T 、压强p 的关系是：(A) T 越高、p 越大，则扩散越快． (B) T 越低、p 越大，则扩散越快． (C) T 越高、p 越小，则扩散越快． (D) T 越低、p 越小，则扩散越快． ［ ］ 二 填空题8 一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为 3×105 Pa ，温度为27℃，密 度为0.24 kg/m 3，则可确定此种气体是________气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为_______________________m/s. (普适气体常量R = 8.31 J ·mol -1·K -1)9质量为 6.2×10-14 g 的某种粒子悬浮于27℃的气体中，观察到它们的方均根 速率为 1.4 cm/s ，则该种粒子的平均速率为__________．（设粒子遵守麦克斯韦速率分布律） 10 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p 代表最概然速率，那么，速v v O O (B (A (D O(C O率在v p 到v 范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．11用绝热材料制成的一个容器，体积为2V 0，被绝热板隔成A 、B 两部分，A 内储有1 mol 单原子分子理想气体，B 内储有2 mol 刚性双原子分子理想气体，A 、B 两部分压强相等均为p 0，两部分体积均为V 0，则两种气体各自的内能分别为E A ＝________；E B ＝________； (2) 抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为T ＝______．12一氧气瓶的容积为V ，充入氧气的压强为p 1，用了一段时间后压强降为p 2，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为__________．13 设某原子能反应堆中心处单位时间穿过单位面积的中子数为 4×1016 m -2·s -1，且设这些中子是温度为 300 K 的热中子，并服从麦克斯韦速度分布律，试求中子气的分压强． （阿伏伽德罗常量N A = 6.02×1023 mol -1,玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J ·K -1 中子的摩尔质量为1.01×10-3 kg ）14玻尔兹曼分布律是自然界中的一条较为普遍的分布定律．对处于任何力场中的任何微粒系统只要______________________________可以忽略，这定律均适用． 15 一个很长的密闭容器内盛有分子质量为m 的理想气体，该容器以匀加速度a垂直于水平面上升（如图所示）．当气体状态达到稳定时温度为T ，容器底部的分子数密度为n 0，则容器内离底部高为h 处的分子数密度n =_____________________． 16 用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量：(1) 速率大于v 0的分子数＝____________________； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝_________________；(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝_____________． 17 图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知，氦气分子的最概然速率为___________，氢气分子的最概然速率为________________．18 一定量的某种理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高为原来的4倍；再经过等温过程使其体积膨胀为原来的2倍，则分子的平均碰撞频率变为原来的__________倍．19 已知氦气和氩气的摩尔质量分别为M mol 1 = 0.004 kg/mol 和M mol 2 =0.04 kg/mol ，它们在标准状态下的粘度分别为η1 =18.8×10-6 N ·s ·m -2和η2 = 21.0×10-6 N ·s ·m -2．则此时氩气与氦气的扩散系数之比D 2/ D 1= __________________． 三 计算题20 由N 个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示．(1) 试用N 与0v 表示a 的值． (2) 试求速率在1.50v ～2.00v 之间的分子数目． (3) 试求分子的平均速率．21 将1 kg 氦气和M kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是2.45×106 J ，氦分子平均动能a16v (m /s)f (v )1000020是 6×10-21 J ，求氢气质量M ． (玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1 ,普适气体常量R ＝8.31 J ·mol -1·K -1)22 假设地球大气层由同种分子构成，且充满整个空间，并设各处温度T 相等．试根据玻尔兹曼分布律计算大气层中分子的平均重力势能P ε．(已知积分公式⎰∞+-=01/!d e n ax n a n x x )23 在直径为D 的球形容器中，最多可容纳多少个氮气分子，才可以认为分子之间不致相碰？（设氮分子的有效直径为d ）．24 一长为L ，半径为R 1 = 2 cm 的蒸汽导管，外面包围一层厚度为2 cm 的保温材料（导热系数为 K = 0.1 W ·m -1·K -1）蒸气的温度为100℃，保温材料的外表面温度为20℃．求：(1) 每秒钟从单位长度传出的热量； (2) 保温材料外表面的温度梯度． 四 理论推导和证明25 试根据麦克斯韦分子速率分布律222/3)2exp()2(π4)(v vv kTm kTm f -=,验证以下不等式成立 1)1(>⋅vv ． ［积分公式22321d )exp(λλ=-⎰∞x x x ，λλ21d )exp(02=-⎰∞x x x ］五 错误改正题26 已知有N 个粒子，其速率分布函数为： f ( v ) = d N / (N d v ) = c ( 0 ≤v ≤v 0 ) f ( v ) = 0 (v ＞v 0) 有人如下求得c 与v(1) 根据速率分布函数的归一化条件，求得常数c ，即有1d d )(00===⎰⎰∞v vv v v Nc Nc Nf∴ c = 1 / (N v 0) (2) 此粒子系统的平均速率⎰∞=0d )(v v v v Nf ⎰=0d 1v v v v N N0021d 10v v v vv ==⎰上述关于c 、v 的解答是否正确？如有错误请改正． 六 回答题27 由理想气体的内能公式mol2MiRTM E =可知内能Ｅ与气体的摩尔数M / M mol 、自由度i 以及绝对温度T 成正比，试从微观上加以说明.如果储有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强、分子数密度都减少为原来的一半，则气体的内能是否会变化？为什么？气体分子的平均动能是否会变化？为什么？28在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程λ与温度T 成正比？在什么条件下，λ与T 无关？(设气体分子的有效直径一定)29 什么叫分子的有效直径？它是否随温度变化而变化？为什么？30 什么是气体中的输运过程？。
大学物理第三章 分子动理论
乙
分子力的形成说明图
Epr
用分子力解释几个物理现象如物 质的三态等。
o
斥力 分子力
r0
r
引力
势能曲线
r
点评 相变与相变理论
物质的相态 固，液，气，等离子体
相变理论 相变温度 相变点 相变能 相变系数
第二节 理想气体的压强
气体对容器壁作用表现为气体的压强，此压强可以用气体动理 论加以微观解释。
本章研究内容：
1 宏观量 P,T与微观量间的统计关系.
2 微观量与微观量间的统计关系. 运用统计方法
名句赏析 小楼一夜听春雨， 深巷明朝卖杏花。
内容提要
宏观量压强和温度的微观解释 物质的内能 理想气体的速率分布规律 几个微观量的统计平均值
第一节 分子热运动的基本概念
一 分子运动论 1 宏观物体是由大量不停息地运动着的分子或原子组成的，称 为分子热运动。如在气体内部一分子一秒遭一百万次碰撞。1827年 被英国植物学家布朗证实：布朗运动，微粒受到周围分子的碰撞的 不平衡引起的。
第二编 热 学
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热学是研究热现象的规律。热现象是物质中大量分子热运 动的集体表现。本篇将介绍统计物理的基本概念和气体动理论的 基本内容以及热力学的基本规律。
气体动理论或称分子物理学的系统研究源于十八世纪以后， 伯努利，罗蒙罗索夫，道耳顿等开辟了奠基性的工作。十九世纪 六十年代，麦克斯韦，克劳修斯，玻耳兹曼等人在前人的基础上， 应用统计的方法，探索物质大量分子集体性质的一般统计规律， 从而阐明了热现象的本质。二十世纪初发展的量子理论，对上述 经典统计理论做了重要的修改和补充。
十八世纪初欧洲工业革命，尤其是蒸气机的应用，促进了热 力学的发展，建立了系统的计温学和量热学。经焦耳，迈尔，卡 诺等人系统的总结，建立了热力学第一定律。克劳修斯和开尔文 又独立的发现了热二律。形成了今天的热力学理论。
气体动理论09
vx2
v 2y
v
2 z
1 3
v2
1 2
v
2 x
1 2
v
2 y
1 2
v
2 z
1 3
1 2
v2
1 2
kT
能量均分原理：在温度为 T 的平衡态下，物质分 子的每一个自由度都具有相同的平均动能，等于 kT/2 。
注意： 1) 能量分配：没有占优势的自由度 2) 平均动能：大量分子统计平均结果
分子的平均总动能：
例: 摩尔数相同的氧气和二氧化碳气体(视为理想 气体) ，如果它们的温度相同，则两气体 A) 内能相等； B) 分子的平均动能相同； C) 分子的平均平动动能相同； D) 分子的平均转动动能相同。
解： E m i RT M2
k
i 2
kT
kt
3 2
kT
kr
r 2
kT
•kt T, 与气体种类无关
例: 指出下列各式所表示的物理意义。
N
v2 Nx
nvi2x
据统计假设：
v2x
v
2 y
vz2
1 v2 3
p
1 3
n v2
2 3
n
1 2
v2
2 3
n kt
理想气体压强公式：
宏观量
p
2 3
n kt
微观量
说明：
kt
1 2
v2
分子平均平动动能
压强公式是统计规律，不是力学规律。
是大量分子运动的集体表现，决定于微观量 的统计平均值。
对少数分子压强无意义。
m RT
p
M V
m
b
pi
f
第16章 气体分子动理论
（1）.一个分子对dS 的一次碰撞
设该分子速度为 v, 碰i 撞后
子动 量vix的改变量为
v不iy变及，viz 变为
v
，则分
ix
( mv ix ) mv ix 2mv ix vixdt
ds
x
ds 所受冲量为 2mv ix
（2）. dt 内所有分子对 ds 的
作用
① v组i 分子对ds 的作用
体积为 vixdtds 的斜柱体内所有分子都与ds 相碰撞.
------称为热力学。
优点：可靠、普遍。
缺点：未揭示热现象的微观本质。
2.微观法： 物质的微观结构 + 力学规律+统计方
法 ------称为统计物理学
其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)
优点：揭示了热现象的微观本质。
缺点：可靠性、普遍性差。
第十六章 气体分子动理论
16-1 气体的状态参量 平衡态
二 状态参量
对一定量的给定气体的状态，常用气体的体积V， 压强P，温度T三个物理量描述。把这三个标志气 体状态的物理量叫状态参量。
1 体积V：气体分子所能达到的空间，也就是容 纳气体的容器的容积
2 压强P：气体分子施予器壁单位面积上的垂直压力
1atm＝76cmHg＝1.013×105Pam
3 温1t度orTr：=1宏3观3.3上2表Pa征物体冷热程度，微观上反映大量 分子热运动激烈程度。 只有在平衡态时，状态参量才具有一定的量值， 否则不确定。
第十六章 气体分子动理论
dt 时间内，能与面元ds相碰的速度为 v的i 分子数
为 ni vixdtds
ds所受冲量为 nivixdtds 2mvix 2mnivix2dtds
分子动理学理论的平衡态理论
) v 3dv
m
2021/3/11
——分子束速率分布
13
பைடு நூலகம்
F (v)dv
m2 2(kT )2
exp(
mv 2 2kT
) v 3dv
2. 分子束的平均速率及方均根速率：
v束
vF(v)dv
0
0
m2 2(kT )2
exp(
mv2 2kT
)
v4dv
9 kT
8m
1
1
(v束 )2
v2F
(v
)dv
2
0
0
则dt时间内能运动到dA与之相碰且速度介于
v
~
v
dv
的分子数为：
dN n'dV' nf (vx ) f (v y ) f (vz )dvxdv ydvz dA vxdt
则单位时间内碰到单位器壁面积上且速度介于
v
~
v
dv的分子数为：
2021/3/11
dv
dN dt dA
nv x f (vx ) f (v y ) f (vz )dvxdv ydvz
● 稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因 分子无规运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。
● 分子束或原子束中，分子或原子作准直得很好的定向运动， 它们之间的相互作用可予忽略，利用它来研究分子或原子的性 质及其相互作用较为理想。
● 所以分子束或原子束技术在原子物理、分子物理以及气体激 光动力学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间物理、 天体物理、生物学中都有重要应用。
v
2 x
f
(v
x
,
v
y
分子动理学的平衡态理论
r 1
r 1
u2 2u u (u)2 u2 (u)2 0,
定义相对均方根偏差[：(u )2 ]1/2 [(u)2 ]1/ 2 (u)rms
u
u
u
6
相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布 的程度，也称为涨落、散度或散差。
(5)、概率分布函数
飞镖
F(x)
分布曲线
7
少数分子无规律性
3、Maxwell速率分布本身是统计平均的结果，也会有涨落， 但是很少。Maxwell速率分布可适用于一切处于平衡态的宏 观容器中的理想气体。
4、v
v
f
(v) dv或v
vNi
N
v2 v2 f (v) dv
提供了一种思想方法。
18
§2.4 麦克斯韦速度分布
一、速度空间
vz
dvx
dvz
dvy v
cc
cc
c
6个自由度 t+ r = 3 + 3 = 6
31
定质心位置 需3个平动自由度
cc cc
c
y
转轴
x
z
每一点绕过c 点的轴转动 共有 3个转动自由度
也可以理解成物体 系对三个轴的旋转
先定转轴 2个自由度
再定每个质量元 在垂直轴的平面
内绕轴转的角度 1个自由度
32
例3 由 N 个独立的粒子组成的
大量分子的统计分布
8
§2.3 麦克斯韦速率分布
一、分子射线束实验
实验装置
接抽气泵
2
t l v
vl
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
9
分子速率分布图 N /(Nv)
分子动理学理论的平衡态理论读后感
分子动理学理论的平衡态理论读后感读完分子动理学理论的平衡态理论，我就像被带进了一个微观世界的奇妙派对，那些分子就像是一群看不见的小舞者，各自有着独特的舞步。
这个理论让我意识到，原来我们看似平静的宏观世界，在微观层面简直就是一个超级热闹的“分子大都市”。
比如说气体吧，以前我就觉得气体就是那种轻飘飘、摸不着头脑的东西，但是现在知道了，气体分子们在平衡态下，就像是住在公寓里的租客，每个分子都有自己的活动空间和速度范围，它们之间还不停地碰撞、交换能量，就像租客们在走廊里互相打招呼、分享故事一样。
这种碰撞还不是随随便便的，有着一定的规律，就像公寓有自己的管理规则一样。
再说说压强这个概念，以前压强对我来说就是一个物理书上的名词，现在我仿佛能看到气体分子们像一群调皮的孩子，不停地撞击容器壁，这种撞击的集体效果就是压强。
这就好比一群小鸟不停地撞向鸟笼的壁，撞得越猛、次数越多，就感觉鸟笼受到的压力越大，这就是压强的微观本质啊，真是太有趣了。
还有温度，以前觉得温度就是冷热的表示，现在才明白温度就像是分子这个小社会的“活跃度指标”。
温度越高，分子们就越兴奋，跳得越欢快，运动得越剧烈；温度低呢，分子们就像是被冬天的寒冷冻住了一点，活动得没那么起劲了。
这理论也有点像一个复杂的拼图游戏。
要把分子的各种特性、它们之间的相互作用以及宏观表现都拼凑在一起，可真不是一件容易的事。
有时候感觉自己像是在迷宫里找路，刚刚理解了分子的速度分布，又被能量均分定理绕得有点晕头转向。
但是这种晕头转向又有一种奇特的吸引力，就像解开谜题一样，每理解一点就有一种小小的成就感。
总的来说，分子动理学理论的平衡态理论就像是打开微观世界大门的一把钥匙，让我看到了一个和宏观世界完全不同的精彩画面。
虽然这个微观世界有点复杂，但是就像探索一个神秘的宝藏一样，越探索越觉得有趣，越想深入其中，看看这些微观的小分子还能给我们展示出哪些奇妙的景象。
大学物理分子动理论
xM1M3 (p1p3)V1
M2
p2V2
(1301)0329.6(天 ) 1400
6-2 理想气体压强公式
气体对器壁的压强是大量分子对容器不断碰撞 的统计平均效果。
每个分子对器壁的作用 f t
所有分子对器壁的作用 F f t
t
理想气体的压强公式
p F S
一、理想气体的分子模型 1、分子可以看作质点
说明： •平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因 为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏 观量不随时间 改变。
例如：粒子数
箱子假想分成两相同体积的部分， 达到平衡时，两侧粒子有的穿越 界线，但两侧粒子数相同。
•平衡态是一种理想状态
对热力学系统的描述：
1. 宏观量——状态参量
解： (1) p1V1 p2V2
T1
T2
由已 :V 1知 2V 2,T 127 2 3 730 K ,0
T227 1 374 75 K0
p2V V 1 2T T 2 1p12 V V 22 3405 00 3p1
(2) w 3kT 2
ww2w123k(T2T1)
31.381 023(45030)03.1 11 021J 2
w 3 kT 2
p nkT
6-4 能量均分定理 理想气体的内能
一、自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
He
O2
H2O
NH 3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
z
C(x, y,z)
y
C(x, y,z)
y
x
单原子分子
平动自由度t=3
itr3
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思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
2. 方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv 3kT
0
m
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
Mm
Mm
p
2 3
n
t
2 n(1 mv 2 ) 32
2 n 1 m 3kT 32 m
nkT
理想气体 状态方程
x2 x1
f (x)dx 位置处于x1到x2范围内的概率
f (x)dx 1
(归一条件)
类似地可求出 f (y) N 并
N y
令 y 0 可得到黑点处于y~y+dy 范围内的概率为f(y)dy。
黑点处于x~x+dx，y~y+dy范围内的概
率就是图中打上斜线的范围内的黑点 数与总黑点数之比。
f(v) T
f (v)dv 1
O
0
(归一化条件)
vp
( 速率分布曲线 )
v
(5) 最概然速率v p f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
Mm
Mm
(6) 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系 由于曲线下的面积不变,由此可见
第二章: 分子动（理学）理论的平衡态理论
§2.1 分子动理论与统计物理学 §2.2 概率论的基本知识 §2.3 麦克斯韦速率分布 §2.4 麦克斯韦速度分布 §2.5 气体分子碰壁数及其应用 §2.6 外力场中自由粒子的分布. 玻尔兹曼分布 §2.7 能量均分定理
§2.1 分子动理论与统计物理学
分子动理论方法的主要特点: 考虑到分子与分子间、 分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力， 利用力学定律和概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。 它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的 过程。
落入，且第i个槽内小球数Ni 与小球总数N（N=∑Ni）之比
有一定的分布。
2. 若重复做实验甚至用同一小球投入漏斗N次（N →∞），其 分布曲线都相同。
结论
1.统计规律：单个小球的运动服从力学规 律，大量小球按槽的分布服从统计规律.
2.涨落：涨落现象是统计规律的基本 特征之一
§2.2.2 等概率性与概率的基本性质
4. 当Δv→0时，即得图（b）所 示的一条光滑的曲线，称为分子 束速率分布曲线。
F(v) dN Ndv
5. 在v到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介 于v~v+dv区间范围内的概率
dN dv F(v)dv Ndv
意义：
dN F(v)dv N
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
N N x
为纵坐标，以x为横坐标，画出图.若令⊿x→0，
就得到一条连续曲线。
这时的纵坐标 dN f (x) 称为黑点沿x方向分布的概率密
N dx
度，表示黑点沿x方向的相对密集程度。而f(x)dx表示处于x
到x+dx范围内的概率。
dN f (x)dx N 在曲线中x~x+dx微小线段下的面积 则表示黑点处于x~x+dx范围内的概率
§2.3.2 麦克斯韦速率分布 一 . 气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布
f (v)dv dN dv Ndv
f (v)
dS
o v v dv
v
气体分子的速率分布与分子束速率分布不同,但 它们存在一定关系，故可利用实验测得的曲线求得 理想气体速率分布。
二. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律
（2）相乘法则: 同时或依次发生的，互不相关（没有关联,独立）的事件
发生的概率等于各个事件概率之乘积
互不相关事件(独件立是事P否A件B已):经事P发件A生AP过的B 而发受生到与影否响，.不会因B事
例:把一个骰子连续掷两次
11 1 P11 P(1) P(1) 6 6 36
n
(3) 概率归一化:
f (v ) 4π( m ) v e 3/ 2 2 mv2 / 2kT 2πkT
( 麦克斯韦速率分布概率密度 )
m为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
dN f (v )dv 4π( m )3/2v 2emv2 /2kT dv
N
2πkT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
v f (v)dv
N0
4 (
m
)3/ 2 v3 exp( mv 2 )dv
0
2k T
2kT
x3 exp(x2 )dx 1
0
2 2
令 m
2kT
v 4 ( m )3/ 2 1 ( 2kT )2 2kT 2 m
8kT 8RT 1.59 RT
m M m
Mm
式中Mm 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
一. 概率的定义
在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生 也可能不发生，我们就称这样的事件为随机事件。
若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在
总次数N足够多的情况下（即N →∞），计算所出现某一事 件（如哪一面向上）的次数NL ，则其百分比即该事件出现 的概率
PL
NL N
PL
lim ( NL )
说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
2. 麦克斯韦速率分布曲线
(1)由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
f(v) T
(2) 在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
热力学对不可逆过程所能叙述的仅是孤立体系的熵的增加，而 分子动理论则企图能进而叙述一个非平衡态气体的演变过程。 诸如：①分子由容器上的小孔逸出所产生的泻流；②动量较高 的分子越过某平面与动量较低的分子混合所产生的与黏性有关 的分子运动过程；③动能较大的分子越过某平面，与动能较小 的分子混合所产生的与热传导有关的过程；④一种分子越过某 平面与其他种分子混合的扩散过程；⑤流体中悬浮的微粒受到 从各方向来的分子的不均等冲击力，使微粒作杂乱无章的布朗 运动；⑥两种或两种以上分子间以一定的时间变化率进行的化 学结合，称为化学反应动力学。
（3）若C为常数，则 cf (u) c f (u)
(4) 若随机变量u和随机变量v是相互统计独立。f(u)又是u 的某一函数，g（v）是v的另一函数，则
注意
f (u) g(v ) f (u) g(v )
以上讨论的各种概率都是归一化的，即
n
Pi 1
i 1
§2.2.4 均方偏差
随机变量会偏离平均值 u ，即 ui ui u 。 一般其偏离 值的平均值为零（即 u 0) )，但均方偏差不为零。
y2 x2 f (x, y)dxdy y2 f ( y)dy x2 f (x)dx
y1
x1
y1
x1
➢ 说明
1. 平 均 值 ： 黑 点 的 x 方 向 坐 标 偏 离 靶 心
（x=0）的平均值
x xf (x)dx
x的某一函数的平均值
g(x, y)
g(x, y) f (x, y)dxdy
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
(3) 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(4) 曲线下面的总面积，等 于分布在整个速率范围 内所有各个速率间隔中 的分子数与总分子数的 比率的总和
Pi 1
i 1
§2.2.3 平均值及其运算法则
➢一、 平均值
统计分布的最直接的应用是求平均值。
求 年 龄 之 和 可 以 将 人 按 年 龄 分 组 ， 设 ui 为 随 机 变 量
（例如年龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为
N1，u2值的次（或人）数为N2……，则该随机变量（年龄）
的平均值为
§2.2.5 概率分布函数
v到v+dv的概率分布 有关打靶试验的例子:
飞镖
图（a）直角坐标表示 靶板上的分布； 图（b）极坐标表示其分布
只要数出在x到x+⊿x范围内的那条窄条中的黑点数⊿N， 把它除以靶板上总的黑点数N（N应该足够大），则其百分比 就是黑点处于x~x+Δx范围内这一窄条的概率。
然后以
u N1u1 N2u2 L i Niui
Ni
N
i
因为 NNi是出现ui值的百分比，当N 时它就是出现ui值 的概率Pi，故
u P1u1 P2u2
Pi ui
i
➢二、函数，则
n
f (u) f (ui )Pi i 1
(2)
f (u) g(u) f (u) g(u)
vp
2kT m
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, m 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) m2(> m1) m1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
三. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
v
v dN
n
n
u2 ur 2 Pr