第六章 图与网络最短路径问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
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《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习
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1/7
✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
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0
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bi
360
运筹学——.图与网络分析-最短路
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分 支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信 息论，工程技术，交通运输，经济管理，电 子计算机等各项领域。对于科学研究，市场 和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路 的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交 通网络的合理布局等问题，都可以应用图论 的方法，简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4
第六章 图与网络最小支撑树问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 1 of 5
树、支撑树：
无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树， 则称G1是G2的一棵支撑树。
图6－2(a)、6－2(b)都不是树。想一想，为什么？
求最小树是在一个赋权无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等） 的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、 公路等 等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长 度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
2、树图也是最脆弱的连通图。
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 3 of 5
2-2 图的最小支撑树
定义：设G＝[V,E,W]是一个赋权无向图，对每一条边ei∈E有 一个权重W(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的权重之和称为树 T的权重，记为W（T）。权重最小的支撑树称为最小树。
图6－3(a)是一棵树，图6－3(b)是图6－1的一棵支撑树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
e6
e7
e8
v4
v5
图6－1
v5 v4
v5
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 1 of 5
树、支撑树：
无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树， 则称G1是G2的一棵支撑树。
图6－2(a)、6－2(b)都不是树。想一想，为什么？
求最小树是在一个赋权无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等） 的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、 公路等 等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长 度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
2、树图也是最脆弱的连通图。
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 3 of 5
2-2 图的最小支撑树
定义：设G＝[V,E,W]是一个赋权无向图，对每一条边ei∈E有 一个权重W(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的权重之和称为树 T的权重，记为W（T）。权重最小的支撑树称为最小树。
图6－3(a)是一棵树，图6－3(b)是图6－1的一棵支撑树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
e6
e7
e8
v4
v5
图6－1
v5 v4
v5
运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
例：要离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
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汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
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课件概览 线性规划 动态规划
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课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
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课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
《运筹学教程》胡云权第五版第五章图与网络分析
最小支撑树问题
1、树
连通且无圈的无向图
判断下面图形哪个是树：
(A)
(B)
(C)
树的性质： 1、树中任两点中有且仅有一条链； 2、树任删去一边则不连通，故树是使图保持连通且具有最 少边数的一种图形。
3、边数 = 顶点数 – 1。
最小支撑树问题
2、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子 图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为 G的支撑树，又称生成树、部分树。
v1
v3 7.5 v4
v5 v3
v4
最小支撑树问题
3、最小支撑树问题 问题：求网络的支撑树，使其权和最小。 v 5
2
v1
3 4 2
3.5
v5
算法1（避圈法）：把边按权从小到大依次 5.5 添入图中，若出现圈，则删去其中最大边， 直至填满n-1条边为止（n为结点数） 。 【例】 求上例中的最小支撑树 5
第五章 图论与网络分析
学习目标
图的基本概念
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B D C A D
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数。
图的基本概念
哈密尔顿回路问题：环球旅行遊戏
13 2 12 15 11 16 10 3 9 4 17 7 8 14 1 20 19 18 6 5
6
v2
2
1
v5
2
v8
6
3
v1
1
3
2
v3 v4
6
4
10
3
v9 v7
4
10
v6
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 • 偶点
次为0的点 次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5 运筹学胡运权第五版(第6章)
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、狄克斯屈拉（Dijkstra）标号算法
（1）适用范围 用于求某两个点之间的最短距离。 即在已知的网络图中，从给定点s出发，要到达目
的地t。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？
（2）原理 最短路上任何片段是最短路。
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
v5
v1
v2
v3
v4
（3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离
Lsi以及最佳行进路线。运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
A 5 S
5 5
B
5
D
T
C
E
4
运筹学胡运权第五版(第6章)
（4）步骤 在网络图中求s到t的最短路。
第一步 从s出发，将Lss=0标记在s旁边的方框内 （表示点s已标记）； 第二步 找出与s相邻且距离最小的点，设为r，计算 Lsr=Lss+dsr，并将结果标记在r旁边的方框内（表示点 r已标记），同时标记边sr； 第三步 从已标记的点出发，找出这些点的所有未 标记邻点，分别计算已标记点的方框数与其邻点的距 离之和，利用“叠加最小”的原则确定下一个被标记 点，设为p，并将最小的和标记在p旁边的方框内（表 示点p已标记）,同时标记相应边； 第四步 重复第三步，直到t得到标记为止。
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
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1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版课件
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。 少
补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
s.t.
2 x1+2 x2 12 标准化
4x1
16
z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2
1x510， x2 0
此为有约束极值问题
h
9
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
a
Va2x2x (0 x a) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
h
7
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4 x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2, x3, x4, x5 0
h
28
P1 P2 P3 P4 P5
运筹学课件 第六章图与网络分析
v 若 eij i , v j ，称 vi , v j 是边 eij 的端 点，反之，称边 eij 为点 v i 或 v j 的关联边。 若点 vi , v j 与同一条边关联，称点 vi v j 相邻； 若边 和 具有公共的端点，称 ei ei ej 和 相邻
e3 e13 v1, v3 v3 , v1 e31
2013-12-3
18
图中有些点和边的交替顺序 0 , e1 , v1 ,...,ek , vk v ，若其中各边 e1 , e2 ,...,ek 互不相同，且对 任意 vt 1 和 vt (2 t k ) 均相邻，称为 链。 上图中 1 v5 , e8 , v3, e3, v1, e2 , v2 , e4 , v3, e7 , v4
27
解
因要使上述村镇全部通上电，村镇之间必 须连通，又图中必不存在圈，否则从图中去掉一 条边图仍连通，就一定不是最短路线，故架设长 度最短的路线就是从上图中寻找一棵最小树。
2013-12-3
28
用避圈法时，先从图中任选一点 S , 令 S V ，其余点 V , V 与 V 间的最 短边为（ S , A) ，将该边加粗，标志它是最小 树内的边。再令 V A V ,V V A 重复上述步骤，一直到所有点连通为止。过程 如下：
如果用点表示研究的对象，用边表示这些 对象之间的联系，则图G可以定义为点与边的集 合，记作 G , E V
V v1 , v2 ,...,vn
E e1 , e2 ,..,em
式V是点的集合，E是边的集合。
2013-12-3 13
注意，上面定义的图G区别于几何学中的图。 几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等都 十分重要，而这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有线相连。 如果给图中的点和边以具体的含义和权数 （如距离、费用、容量等）。把这样的图称为网 络图，记作N。 图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化 学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等 各领域。
运筹学基础及应用第五版 完整版PPT文档共75页
运筹学基础及应用第五版 完 整版
31、别人笑我太疯癫，我笑，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
Thank you
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
31、别人笑我太疯癫，我笑，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
Thank you
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
(完整word版)运筹学(胡运权)第五版课后答案,运筹作业
47页1.1b羅蕿用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解薅47页1。
1d蒂无界解（b）衿1.2蕿约束方程的系数矩阵A=1234莇2112蚄P1P2P3P4,运筹作业肀最优解A=（01/220）T和(0011）T页13题肆49膃设Xij为第i月租j个月的面积羄minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x 14螁s.t.聿x11+x12+x13+x14≥15膃x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10膀x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20艿x14+x23+x32+x41≥12袇Xij≥0芃用excel求解为：薁用LINDO求解：羁LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3薆OBJECTIVEFUNCTIONVALUE 蚇1)118400.0羂VARIABLEVALUEREDUCEDCOST 荿Z0.0000001。
000000虿X113.0000000。
000000螇X210。
0000002800。
000000莃X318。
0000000.000000肁X410.0000001100。
000000莈X120.0000001700.000000袆X220.0000001700。
000000螄X320.0000000。
000000蕿X130.000000400.000000膇X230。
0000001500。
000000袆X1412.0000000.000000袁ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES芁2)0。
000000—2800。
000000羆3）2.0000000.000000羆4)0。
000000—2800.000000节5）0。
000000-1700.000000蝿NO。
ITERATIONS=3罿答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米,页14题肆50蚃设a1，a2，a3,a4,a5分别为在A1，A2，B1，B2，B3加工的Ⅰ产品数量，b1，b2，b3分别为在A1，A2，B1加工的Ⅱ产品数量,c1为在A2，B2上加工的Ⅲ产品数量。
Chap.6-图与网络分析解析
V10
V11
V12
将奇点两两 相连，变成 偶点
2
4
2
V7
欧拉图
V13
4 V9 每条边上最多重复一次
在图G的每个回路上，有重复的边的长度不超过回路总 长的一半
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中国邮路问题
V1 4 V4 4 5 4 V10
4 V2
5 V3
× 1 V5 ×
2 V6 V7 2
2
1
×
V11
×
5 V8× 4
V12 ×
2
×
4 V13
× 4 7 V9 在图G的每个回路上，有重复的边的长度不超过回路总长的一半
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中国邮路问题
V1 4 V4 4 5 4 V10
t
v4 9(9) 如图，在链（s,v1,v2,v3,v4,t)中，μ+={(s,v1),(v1,v2),(v4,t)}, μ- ={(v3, v2),(v4,v3)}. v2
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§5 网络最大流
增广链，如果链μ满足以下条件：
(i , j ) Î E n n
å
wij x ij ì ï 1 ï ï ï = í- 1 ï ï ï 0 ï ï î E. , i = 1 , i = n , i ¹ 1, n
s.t .
邋x ij
j=1
j=1
x ji
x ij 澄 0, (i, j )
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运筹学基础及应用第五版 胡运权
第八章 动态规划
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
《运筹学基础及应用》胡运权主编,哈工大出版社,完整版ppt课件
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max(min)z c1x1 c2 x2 cn xn a1 x1 1 a1 x2 2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1x1 am2 x2 am xn n ( ) bm x1 0 xn 0
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
基可行解
线性规划问题的数学模型
Page 30
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
maxZ 4x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 6x2
x4 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 A1 0 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
b1
B
b m
Page 19
线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
max(min)Z CXΒιβλιοθήκη AX ( ) BX
0
其中： C(c1 c2cn)
a11
A
am1
a1n amn
x1
X
x n
b1
B
b m
Page 20
《运筹学(胡运权)》第五版课后习题答案
X1 5.000000 0.000000
X2 0.000000 2.000000
X3 3.000000 0.000000
X1,X2,X30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.200000
3) 0.000000 0.600000
P1 P4
-1/3 0 0 11/6
否
P2 P3
0 1/2 2 0
是
5
P2 P4
0 -1/2 0 2
否
P3 P4
0 0 1 1
是
5
最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T
49页13题
设Xij为第i月租j个月的面积
minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x14
x41+x42+x43+x44+x45=1
x11+x21+x22+x23=1
x12+x22+x32+x42=1
x13+x23+x33+x43=1
x14+x24+x34+x44=1
x15+x25+x35+x45=1
xij=1或0（i=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5）
由excel计算得出；张游仰泳，王游蛙泳，赵游自由泳，预期总成绩为126.2s.
6x1+3x2+5x3+8x4≤45
X2 0.000000 2.000000
X3 3.000000 0.000000
X1,X2,X30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.200000
3) 0.000000 0.600000
P1 P4
-1/3 0 0 11/6
否
P2 P3
0 1/2 2 0
是
5
P2 P4
0 -1/2 0 2
否
P3 P4
0 0 1 1
是
5
最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T
49页13题
设Xij为第i月租j个月的面积
minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x14
x41+x42+x43+x44+x45=1
x11+x21+x22+x23=1
x12+x22+x32+x42=1
x13+x23+x33+x43=1
x14+x24+x34+x44=1
x15+x25+x35+x45=1
xij=1或0（i=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5）
由excel计算得出；张游仰泳，王游蛙泳，赵游自由泳，预期总成绩为126.2s.
6x1+3x2+5x3+8x4≤45
第6章最短路问题
为从vs 到vn-1的最短路。
假定v1→v2 →v3 →v4是v1 →v4的最短路，则v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短 路，v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
• 求网络图的最短路，设图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj为终点 的弧记为 (i, j) 距离为dij
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1
v2
v3
v4
v5
u5
u4
u3
u2
u1
最短路问题
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法 逐次逼近算法
最短路问题
• 狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法的基本思路： • 若序列{ vs,v1…..vn-1,vn }是从vs到vn间的最短路，则序列{ vs,v1…..vn-1 } 必
P标号(点标号)：b(j) —起点vs到点vj的最短路长； T标号(边标号)： k(i,j)=b(i)+dij， 步骤：
1. 令起点的标号；b(s)＝0。
2. 找出所有vi已标号vj未标号的弧集合 B={(i, j)} 如果这样的弧不存在或vt已标号则 计算结束；
3. 计算集合B中弧k(i，j)=b(i)+dij的标号
5
9
3
4
7
5
6
5
2
6
7
4
3
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
假定v1→v2 →v3 →v4是v1 →v4的最短路，则v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短 路，v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
• 求网络图的最短路，设图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj为终点 的弧记为 (i, j) 距离为dij
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1
v2
v3
v4
v5
u5
u4
u3
u2
u1
最短路问题
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法 逐次逼近算法
最短路问题
• 狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法的基本思路： • 若序列{ vs,v1…..vn-1,vn }是从vs到vn间的最短路，则序列{ vs,v1…..vn-1 } 必
P标号(点标号)：b(j) —起点vs到点vj的最短路长； T标号(边标号)： k(i,j)=b(i)+dij， 步骤：
1. 令起点的标号；b(s)＝0。
2. 找出所有vi已标号vj未标号的弧集合 B={(i, j)} 如果这样的弧不存在或vt已标号则 计算结束；
3. 计算集合B中弧k(i，j)=b(i)+dij的标号
5
9
3
4
7
5
6
5
2
6
7
4
3
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
运筹学基础及应用(第五版),(第六章图与网络分析)
树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树(也称最小支
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
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6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
第六章 图与网络最大流问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
j i it
3.对于收点vt有：
f
i
f tj v
j
4.对于中间点点vm有：
i
f im
j
f mj
则称流量集合｛f ij｝为网络的一个可行流，简记为 f , v称为可 行流的流量或值，记为v(f).
以下假设网络是一个简单连通图。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
增广链 设 f 是一个可行流，如果存在一条从vs到vt的链，满足： 想一想，这 1.所有前向弧上fij<Cij 43 ② ④ 是一条增广 2.所有后向弧上fij>0 链吗？ 4 2 则该链称为增广链 前向弧 ① ⑥ 6 4 容量 8 5 96 后向弧 流量 ③ ⑤
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
1
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
Ch7 Graph and Network
2012年12月31日星期一 Page 10 of 12
4.求调整量 min ,6,2,1,7 1 5.调整可行流 去掉所有标号，重新标号
2②
64
42 10
④ 6 0
74 ⑥7 92
Ch7 Graph and Network
2012年12月31日星期一 Page 4 of 12
又如下图所示的截集为 (V1 ,V1 ) (2,4), (3,4), (5,4)， ,6) (5
截量C (V1 ,V1 ) 4 2 6 9 21
② 6 ① 4 1 1 4 4 ④
2 min f (i, j ) | (i, j )是后向弧 ＝min 1 , 2 | 无前向弧时1 , 无后向弧 2
3.对于收点vt有：
f
i
f tj v
j
4.对于中间点点vm有：
i
f im
j
f mj
则称流量集合｛f ij｝为网络的一个可行流，简记为 f , v称为可 行流的流量或值，记为v(f).
以下假设网络是一个简单连通图。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
增广链 设 f 是一个可行流，如果存在一条从vs到vt的链，满足： 想一想，这 1.所有前向弧上fij<Cij 43 ② ④ 是一条增广 2.所有后向弧上fij>0 链吗？ 4 2 则该链称为增广链 前向弧 ① ⑥ 6 4 容量 8 5 96 后向弧 流量 ③ ⑤
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
1
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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4.求调整量 min ,6,2,1,7 1 5.调整可行流 去掉所有标号，重新标号
2②
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④ 6 0
74 ⑥7 92
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又如下图所示的截集为 (V1 ,V1 ) (2,4), (3,4), (5,4)， ,6) (5
截量C (V1 ,V1 ) 4 2 6 9 21
② 6 ① 4 1 1 4 4 ④
2 min f (i, j ) | (i, j )是后向弧 ＝min 1 , 2 | 无前向弧时1 , 无后向弧 2
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应用（教材P270例4） 年份 1 2 3 4 5
购置费 维修费
11 5
11 6
12 8
12 11
13 18
最优更新方案：1.第一年和第三年购置新设备；2.第一年和第四 年购置新设备。总费用为53。 59
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2012年12月31日星期一 Page 12 of 14
**任意两点间最短距离的矩阵算法**（选讲） 【例】在下图中用矩阵计算法求各点之间的最短距离 【解】定义dij为图中两相邻点的距离，若i与j不相邻，令dij=∞。则 ② 5 ① 2 ③ 7 4 2 ④ 2 ⑥ 7 6 1 6 ⑤ 3 ⑦
v1 v2 v3 v4 0 －1 －2 3 6 0 －3 0 －5 0
－1 －1
v5
2
k=3 k=4 0 0 －5 －5
－2 －2
1
2 0 1 －3 0 1 0 －5
－7 －7 －7 1 －3 －3 －1 －1 －1 5 －5 －5 6 6
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
当vi到vj之间没有弧连接时，令wij＝＋∞
列表迭代计算： 设vs到vj经过vi到达vj，则vs到vj的最短距离为： －2
①
3
② －2 ③
d (vs，v j ) min d (vs，vi ) wij
i
迭代：
d (1) (vs，v j ) wsj
i
d ( k ) (vs，v j ) min d ( k 1) (vs，vi ) wij
则对vp点 r是所有已标号的点， Lsp min Lsr Lrp , 标号 r, p p是所有与已标号的典相邻的点
并将Lsp的值标注在该点旁，表示该点已标号； 4.重复第3步，一直到点vr得到标号为止。
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
d13 d 23 d 33 d 43 d 53 d 63 d 73
d14 d 24 d 34 d 44 d 54 d 64 d 74
d15 d 25 d 35 d 45 d 55 d 65 d 75
d16 d 26 d 36 d 46 d 56 d 66 d 76
d17 d 27 d 37 d 47 d 57 d 67 d 77
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【例】求下图v1到v7的最短路长及最短路线 3 5 5 v2 2
7
6
6 7 v5 3 7 1 2 6 v6 4 6 v7 10
1 0 v1
2 2 v3 2 4 7
5 v4 7
顶点编号 顶点标号 标号顺序 边长
1-3-2 1-3-2
v3
v4 v5 v6 v7
－3
－1
0
－5
0 0 1 －1
1
2
1-4
1-3
1-2-5
1-3
1-32-5 1-34-7
－2
－7 －3 －1 －5
1-3-4 1-3-4
0
1 0
7
1-3-6 1-3-6 1-4-7
v8
－3
－5
0
1-36-8
6
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
v7已标号，计算结束。从v1到v7的最短路长是 10 最短路线是：v1 v3 v6 v5 v7
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Shortest Path Problem
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从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到该点的最短路 线及最短距离，因此可以将每个点标号，求出vs到任意点的最短 路线，如果某个点vj不能标号，说明vs不可达vj .
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其它各点之间最短离的狄 克斯屈拉(Dijkstra)算法；另一种是求网图上任意两点之间最短的矩 阵算法。
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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最短路问题 最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之 间距离最短的一条路 . 有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整 数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。因此这 类问题在生产实际中得到广泛应用。
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wij
v1 v2
d ( k ) (v1 , v j )
v6 v7 v8 k=1 k=2 0 0 －1 －5 －2 －2
3 7 0
v3 v4 v5 v6 v7 v8
6
所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短路 线就是红色的链。
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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有负权的最短路算法 假设图中没有负回路。如下图是一条负回路，最短路权无下界。
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Shortest Path Problem
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d11 d 21 d 31 d 41 d 51 d 61 d 71
d12 d 22 d 32 d 42 d 52 d 62 d 72
v 2 v3 也一定是 v4
的最短路。见下图： v2 v4
v5 v4 v2 v1
v3
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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设网络图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj为终点的边记为（i，j）, 距离为dij，若i与j不相邻，则dij=∞。显然dii=0,若用Lsi表示从vs到vi的 最短距离，现要求从vs到vt的最短距离，用Dijkstra算法时步骤如下： 1.从点vs出发，因Lss=0,将此值标注在该点旁的小方框内，表示该点 已标号； 2.从点vs出发，找出与该点相邻的点种距离最小的一个，设为vr ,将 Lsr=Lss+dsr的值标注在vr旁的小方框内，表明该点也已标号； 3.从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未标号的点vp.若有
南岸
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法 这种算法的基本的基本思路是：假定 v1 v2 v3 v4 是 v1 v4 的最短路，则 v1 v2 v3 一定是 v1 v3 的最短路，
渡河问题
一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河到北岸， 河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能带一样东西；另外， 如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜，问应该怎样安排渡河， 才能做到既把所有东西都运过河去，并且在河上来回次数最少？这 个问题就可以用求最短路方法解决。 设：M—人 渡河方案共有10种，构造如下一个图，每条边的距离 W—狼 为1，问题变为求一条从MWSV到φ的最短路。 S—羊 北岸 V—白菜
0 5 2
5
0 2 7 0 7 4 2 7 0 6 2 7 6 0 1 3 4 2 1 0 6 3 6 0 2
步骤:1.
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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【例】求下图v1到各点的最短路及最短距离 4
② 4 0 ① 2 5 6 3 ③ 1 ④ 2
7
3 9 3
6
⑤ 2 12 16
⑥
6
⑧ 18
8
⑦18 Nhomakorabea当d ( k ) (vs，v j ) d ( k 1) (vs，vi )时得到最短路
§6.3 最短路问题
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【例】求下图v1到v8的最短路长及最短路线
§6.3 最短路问题
wij v1 v1 v2 0 6 v2 －1 0 v3 －2 v4 3 2 v5 v6 v7 v8 k=1 1-1 1-2
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d ( k ) (v1 , v j )
k=2 1-1 路线 距离 1-1 0 －5
22
① 16 ② 16
30
③ 17 ④