相变中的伊辛模型
相变研究方法的讨论.doc
相变研究方法的讨论祖衍宇( 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011)指导教师：尹训昌摘要：本文主要阐述相变这一概念，对不同的相变进行分类，以及其研究方法的讨论，重点讨论Ising 模型及其拓展模型Gauss 模型。
伊辛模型是描述反铁磁物质的一种简单的理想模型，它在铁磁物质的理论研究中有重要的作用。
而Gauss 模型作为伊辛模型的拓展自旋可以连续取值。
在这篇文章中，我们研究了反铁磁物质的高斯模型上的临界性质，在一维反铁磁Gauss 模型上相变的临界点和关联长度临界指数分别为2b k -=*，21=v 。
我们用部分格点相约的重整化群和自旋重标相结合的RG 变换方法得到了上述结论。
这种方法从根本上改变了平均场理论，在对gauss 模型的研究很有效]1[。
关键词:反铁磁物质，Gauss 模型，重整化群，相变， Ising 模型。
相（Phase ）：热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处于某相。
比如水可以处于固相，液相，气相。
相变(PhaseTransition)：从一种相转变成令一种相。
比如冰融化就是水的固液相变。
例如：水的三态之间的转变，铁磁，顺磁，反铁磁之间的转变，超导体与正常导体的转变，超流与正常流体的转变，几何相变：渗流，量子相变：光晶格BEC 的超流-绝缘转变等等。
一级相变(FirstOrderPhaseTransition)：内能不连续（潜热），两相（或多相）共存。
图一连续相变(continuousphasetransition),或二级相变(Secondorderphasetransition)：内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失成为新的相。
比热，磁化率等自由能二级导数发散。
二级相变点称为临界点(CriticalPoint)。
在这点附近系统表现出非常特殊的性质称为临界现象(CriticalPhenomena)。
Widom 为显现不同长度尺度的现象发展了普遍且可操作的方法，这个方法经过一些修改，可以用在一些其它的重要而尚未解决的问题上。
LB83_伊辛模型
(4.101)
24
Fi的形式可由系统的亥姆霍兹自由能A取极小 值的条件来决定。
A U TS TrH kT ln (4.102 ) 由式(4.99)-(4.102)以及A=0,得出:
H Fi , Si (4.103)
式中<H>和<Si>分别为系统的哈密顿量及自旋 的平均值。
铁电体的微观理论：横场伊辛模型 Ising model in a transverse field
赝自旋模型的引入 赝自旋模型静态性质 赝自旋系统的动力学
wangcl@
1
含氢键的铁电体（如KH2PO4和PbHPO4）可以作 为有序无序型铁电体的代表。在这些晶体中， 顺电相时氢在氢键中两个可能位置上等概率 分布，呈无序状态；铁电相时，氢择优地占 据这两个可能位置之一，呈有序状态。 氢的有序化是该类晶体铁电性的触发机制， 而且氢的有序化程度是相变的序参量。不过， 氢键所在平面与自发极化方向（沿c轴）垂直， 为了说明自发极化，还要借助氢有序化与重 原子（K和P）运动的耦合。
wangcl@ 8
ai+：为在氢键i上产生量子态为的粒子的 产生算符； ai ：为相应的湮灭算符；所以ai+ai 就是 氢键i上量子态为的粒子数算符。 在任一氢键i上，有一个且仅有一个质子的条 件由下式表示：
i i 1 i i
H J S S J S S
ij x x ij i x j
Heisenburger model
H J S S J S S J S S
ij x x ij i x j y y y ij i j
wangcl@
z z z ij i j
Ising模型（伊辛模型）
Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。
可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。
这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。
是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。
Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。
相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。
同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。
温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。
⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。
从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。
如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。
科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。
Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。
⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。
每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。
即其指向能够向上或者向下。
虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。
眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。
考虑⼀维Ising模型。
M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。
简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。
⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。
每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。
三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。
二维伊辛模型严格解
二维伊辛模型严格解（原创版）目录1.二维伊辛模型的概述2.二维伊辛模型的严格解3.二维伊辛模型的重要性正文一、二维伊辛模型的概述二维伊辛模型，又称为二维伊辛磁模型，是一种描述二维晶格上自旋磁矩之间相互作用的统计力学模型。
该模型由美国物理学家艾兹赫尔·伊辛（Ernest Ising）在 1920 年代提出，被广泛应用于研究磁性材料、自旋电子学等领域。
二维伊辛模型的基本假设是：晶格上的每个点都有一个自旋磁矩，这些磁矩在相邻点之间相互作用，且相互作用强度随距离的倒平方衰减。
在这个模型中，自旋磁矩只能取两个方向，即“向上”和“向下”。
二、二维伊辛模型的严格解二维伊辛模型的严格解是指在一定条件下，模型的磁矩配置和能量状态可以被精确地计算出来。
对于二维伊辛模型，只有在其临界点附近，才能得到严格解。
所谓临界点，是指在此温度下，系统处于相变状态，即磁有序和无序之间。
在临界点附近，二维伊辛模型的行为变得非常复杂，表现出多种临界现象，如临界慢化、临界指数等。
研究这些临界现象，有助于揭示自旋系统在相变过程中的微观机制。
三、二维伊辛模型的重要性二维伊辛模型在物理学领域具有重要的地位，主要表现在以下两个方面：1.对自旋磁矩相互作用机制的深入理解：二维伊辛模型提供了一个理论框架，有助于我们更好地理解自旋磁矩之间的相互作用以及由此产生的磁有序或无序状态。
2.对实际应用的指导意义：二维伊辛模型的研究成果可以为实际磁性材料、自旋电子学等领域提供理论支持。
例如，在研究磁随机存储器、磁共振成像等技术时，二维伊辛模型可以为我们提供有关磁矩分布、磁相互作用等方面的重要信息。
相变中的伊辛模型
伊辛模型的相变讨论姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011)指导老师：尹训昌摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。
本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。
与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。
关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论引言：在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。
由于此种方法推到复杂，不容易掌握。
本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。
与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。
1平均场理论在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。
1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。
朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。
认为热力学函数是序参量的解析函数。
这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。
曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。
一维横场伊辛模型的精确解
一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。
这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。
为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。
事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。
早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。
文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。
海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。
1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。
这是统计物理发展的里程碑。
不过那篇文章及其晦涩难懂。
直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。
2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。
伊辛 Ising
伊辛(Ising)模型是一个最简单的模型可以提供非常丰富的物理内容，它可以被用来帮助发现我们物理世界的原则。
它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。
科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或原子或自旋)最简单的模型。
它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。
进一步说，三维伊辛模型可以研究从无限大温度到绝对零度相互作用的粒子(或原子或自旋) 系统的演变过程，如果将热力学中的温度做为动力学中时间来考量，它不仅可以理解热力学平衡的无限系统如一个磁铁，还可以帮助理解我们的宇宙。
另外，平衡相变的理论可以用来研究连续的量子相变、基本粒子的超弦理论、在动力学系统到混沌的转变、系统偏离平衡的长时间行为和动力学临界行为等。
由于伊辛模型中的粒子(或原子或自旋)具有两种可能的状态(自旋向上或向下)，它实际上可以对应黑白、上下、左右、前后、对错、是非、满空、正负、阴阳…… 所以，原则上，伊辛模型可以描述所有具有两种可能的状态的多体系统，描述两种极端条件间的相互竞争。
临界问题物理经典模型
临界问题物理经典模型
临界问题是指系统中某一参数达到临界值时，系统发生巨变的现象。
这个现象在许多自然系统中都有出现，比如相变、地震、瘟疫爆发等等。
物理学家们通过研究临界问题，建立了许多经典模型，其中最著名的就是伊辛模型。
伊辛模型是一个描述磁性物质相互作用的模型，它可以用于解释物质的相变现象。
在伊辛模型中，每个磁铁分子都有一个磁矩，它们可以自由旋转，但是会受到相邻磁铁磁场的作用。
当温度达到一定值时，系统会出现相变现象，磁矩会有一个整体的转变。
除了伊辛模型，还有许多其他的经典模型用于研究临界问题，比如渗透模型、群论模型等等。
这些模型不仅在物理学中有应用，还可以用于解释其他领域的现象，比如经济学、生物学等。
总之，对于临界问题的研究是物理学中一个重要的分支，经典模型为我们解释和预测自然现象提供了重要的工具和理论基础。
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ising model
伊辛模型Yixin moxing伊辛模型Ising model描述物质相变的一种模型。
物质经过相变，要出现新的结构和物性。
发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。
在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度（见铁磁性）时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
这个模型所研究的系统是由个阵点排列成维周期性点阵，这里=1,2,3点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数,如果＝+1,即第个阵点的自旋向上；如＝-1，即第个阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变数{}（＝1，2，…,）来确定。
图1[二维伊辛点阵模型]是一个二维伊辛模型的示意图，图中表示自旋向上,[kg2]表示自旋向下。
处理方法20世纪30年代初，不少科学家如W.L.布格 E.J.威廉斯H.A.贝特、R.E.佩尔斯等人就已从有序－无序转变问题及点阵气体等模型出发，采用平均场近似法处理伊辛模型。
布格－威廉斯平均场近似法认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。
每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。
用这种方法可求得下列公式[1148-01]式中是每个自旋的磁矩,是每一阵点的最近邻数，是外磁场强度，是热力学温度，是自旋同向的最近邻对之间的相互作用能（铁磁性物质0，非铁磁性物质0），是玻耳兹曼常数, [kg2]是每个自旋上的磁化强度，可表示为[1148-02],其中是总阵点数,[1110-17]、[1110-18]分别代表自旋向上和向下的总阵点数,显然[1110-17]+[1110-18]=。
二维伊辛模型磁化强度曲线
二维伊辛模型磁化强度曲线引言伊辛模型是统计物理学中的一个重要模型，用于研究物质的相变行为。
二维伊辛模型是伊辛模型在二维空间中的应用。
磁化强度是描述物质磁性的重要参数之一，因此研究二维伊辛模型的磁化强度曲线对于理解物质的磁性行为具有重要意义。
二维伊辛模型简介二维伊辛模型是由二维正方格子上的自旋组成的系统。
每个格点上的自旋可以取两个值：+1或-1，分别表示自旋向上或向下。
自旋之间通过相邻格点之间的相互作用相互影响，相邻格点上的自旋之间存在一定的相互作用能。
系统能量和哈密顿量伊辛模型中，系统的能量可以通过自旋之间的相互作用能来描述。
对于二维伊辛模型，系统的能量可以表示为：E=−J∑s i<i,j>s j其中，J表示相互作用能，s i和s j分别表示相邻格点i和j上的自旋。
哈密顿量H定义为系统的能量E：H=−J∑s i<i,j>s j磁化强度的定义磁化强度M是描述系统磁性的重要参数，定义为所有格点上自旋的平均值：M=1N∑s iNi=1其中，N表示格点的总数。
蒙特卡洛模拟方法由于二维伊辛模型的解析解很难求得，因此常常采用蒙特卡洛模拟的方法来研究系统的性质。
蒙特卡洛模拟是通过随机抽样的方法来模拟系统的演化过程，从而得到系统的统计性质。
Metropolis算法Metropolis算法是一种常用的蒙特卡洛模拟算法，用于模拟伊辛模型的演化过程。
算法的基本思想是通过随机改变自旋的状态来计算系统的能量差，然后根据概率来决定是否接受状态的改变。
磁化强度曲线的计算通过蒙特卡洛模拟，可以得到系统在不同温度下的磁化强度曲线。
计算磁化强度曲线的步骤如下：1.初始化系统的自旋状态，可以随机生成或根据一定规则生成初始状态。
2.选择一个格点，随机改变其自旋的状态。
3.计算系统的能量差。
4.根据Metropolis算法的概率公式，决定是否接受状态的改变。
5.重复步骤2-4，直到达到平衡状态。
6.计算平衡状态下的磁化强度。
《基于非监督学习的伊辛模型和Potts模型相变研究》
《基于非监督学习的伊辛模型和Potts模型相变研究》篇一基于非监督学习的伊辛模型与Potts模型相变研究一、引言相变研究是物理学领域的一个重要分支，尤其在统计物理和凝聚态物理中占据重要地位。
其中，伊辛模型和Potts模型作为典型的物理模型，在相变研究领域有着广泛的应用。
本文旨在通过非监督学习的方法，对伊辛模型和Potts模型的相变现象进行深入研究。
二、伊辛模型与Potts模型概述伊辛模型是一种描述具有自相互作用和近邻相互作用的二值系统（即“自旋系统”）的统计力学模型。
该模型在磁场作用下，自旋状态（向上或向下）会发生变化，从而产生相变现象。
Potts 模型则是一种扩展的伊辛模型，允许自旋有多个状态，常用于描述具有多种状态的物理系统。
三、非监督学习方法在相变研究中的应用非监督学习方法在处理无标签数据时具有显著优势，能够自动提取数据中的特征并进行聚类、降维等操作。
在伊辛模型和Potts模型的相变研究中，非监督学习方法可用于分析系统在不同参数下的状态变化，从而揭示相变现象的内在机制。
四、基于非监督学习的伊辛模型相变研究本文首先采用非监督学习方法对伊辛模型进行相变研究。
通过调整模型的参数（如磁场强度、温度等），观察系统在不同参数下的状态变化。
利用非监督学习方法自动提取出系统在不同状态下的特征，进行聚类分析，从而揭示相变的规律。
通过实验发现，非监督学习方法能够有效地识别出伊辛模型的相变点，为深入研究相变机制提供了有力工具。
五、基于非监督学习的Potts模型相变研究接着，本文将非监督学习方法应用于Potts模型的相变研究。
Potts模型相较于伊辛模型具有更复杂的相态结构，因此需要更精细的分析方法。
通过非监督学习方法对Potts模型进行状态分析、特征提取和聚类操作，我们能够更深入地了解Potts模型的相变过程和机制。
实验结果表明，非监督学习方法在处理Potts模型相变问题时同样具有很好的效果。
六、结果与讨论通过对伊辛模型和Potts模型的相变研究，我们发现非监督学习方法能够有效地揭示这两种模型的相变规律。
伊辛模型哈密顿量
伊辛模型哈密顿量伊辛模型是统计物理学中一种重要的模型，主要用来研究物质的相变现象和磁性性质。
在伊辛模型中，哈密顿量描述了系统的能量以及相互作用，并对系统的性质起着关键作用。
哈密顿量是描述系统在经典力学和量子力学中的重要工具，用于表征系统的总能量。
对于伊辛模型来说，其哈密顿量具体形式如下：H = -J∑si_sj - h∑si其中，H表示哈密顿量，J表示交换作用常数，si和sj表示位于晶格点i和j的自旋变量，h表示外加磁场强度。
这个哈密顿量可以分为两部分，第一部分描述了相邻自旋之间的相互作用，第二部分描述了自旋与外加磁场的相互作用。
在伊辛模型中，自旋变量可以取两个离散的值：+1和-1。
这代表了系统中的自旋可以朝向上或者朝向下。
系统的能量由交换作用和外加磁场的贡献所决定。
交换作用常数J描述了相邻自旋之间的相互作用强度，h描述了外加磁场的强度。
伊辛模型的哈密顿量的形式简洁明了，但是由于自旋变量的离散性质，导致了系统具有复杂的行为。
特别是在低温下，系统可能会出现相变现象，从有序相到无序相的转变。
这种相变可以通过哈密顿量中的参数来控制。
在统计物理学中，我们可以利用伊辛模型的哈密顿量来分析系统的磁性行为。
通过计算系统的平均自旋以及相关的物理量，可以揭示系统的性质。
例如，通过计算系统的磁化强度和磁化率，可以确定系统的磁性相变点和临界指数。
总结起来，伊辛模型的哈密顿量是描述系统能量和相互作用的重要工具。
它可以帮助我们理解物质的相变现象和磁性性质。
通过对哈密顿量参数的调节和计算系统的物理量，我们可以揭示系统的行为，并进一步研究材料的特性和性质。
这篇文章主要介绍了伊辛模型的哈密顿量以及它在统计物理学中的重要性。
通过深入研究伊辛模型，我们可以更好地理解物质的行为，并为材料科学和物理学领域的研究提供重要的理论基础。
伊辛模型的哈密顿量虽然简洁，但其背后蕴含着丰富的物理学现象和数学方法，对研究人员来说具有重要的意义。
二维伊辛模型的6个临界指数和4个标度关系
二维伊辛模型的6个临界指数和4个标度关系二维伊辛模型是统计物理学中研究铁磁性材料相变行为的重要模型之一。
在临界点附近，该模型可以描述自旋系统的临界行为。
以下是二维伊辛模型的六个临界指数和四个标度关系：六个临界指数：1. 比热指数α：\[ \alpha = 0 \]- 描述了系统比热在临界点附近的变化规律。
2. 磁化指数β：\[ \beta = \frac{1}{8\pi} \]- 描述了系统磁化在临界点附近随温度变化的规律。
3. 磁化率指数γ：\[ \gamma = \frac{7}{4} \]- 描述了系统磁化率在临界点附近的变化规律。
4. 相关长度指数ν：\[ \nu = 1 \]- 描述了系统相关长度在临界点附近的变化规律。
5. 临界指数δ：\[ \delta = 15 \]- 描述了系统磁化与外场强度之间的关系在临界点附近的变化规律。
6. 旋转指数η：\[ \eta = \frac{1}{4} \]- 描述了系统的两点相关函数在临界点附近的行为。
四个标度关系：1. 关联长度标度关系：- 在临界点附近，关联长度ξ的尺度行为满足 \( \xi \propto |T-T_c|^{-\nu} \)。
2. 磁化标度关系：- 系统磁化M 的尺度行为满足\( M \propto |T-T_c|^\beta \)。
3. 磁化率标度关系：- 系统磁化率χ的尺度行为满足 \( \chi \propto |T-T_c|^{-\gamma} \)。
4. 特征频率标度关系：- 特征频率ω的尺度行为满足 \( \omega \propto q^z \)，其中 q 是动量，z 是动力学指数。
二维伊辛模型的临界指数和标度关系描述了系统在临界点附近的行为规律，对于研究相变现象和临界现象提供了重要的理论基础。
这些指数和关系不仅在理论物理领域有着重要意义，也对实验结果的解释和理解提供了帮助。
一维横场伊辛模型的精确解
一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。
这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。
为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。
事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。
早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。
文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。
海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。
1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。
这是统计物理发展的里程碑。
不过那篇文章及其晦涩难懂。
直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。
2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。
【提出】伊辛模型及其提出的背景
【关键字】提出摘要：本文首先介绍了什么是伊辛模型及其提出的背景，接着介绍了布喇格—威廉斯近似方法，它是一种典型的平均场理论。
虽然其存在缺陷，但可以说明伊辛模型相变的主要特征。
然后又简单介绍了用来讨论临界点性质的临界指数，最后通过对伊辛模型求严格解，得出了一维伊辛模型的局限性。
关键词：伊辛模型平均场配分函数相变Abstract: This article first introduced any is the background which the Ising model and proposed, then it introduced the Bragg - Williams approximate method, it is one kind of typical average field theory.Although its existence flaw, may explain the Ising model changes main characteristic. Then itsimple introduced the critical exponent , which used for to discuss the critical point nature, finallywe got the result of the Ising model’s limitations from the Ising model’s strict solution. Keywords: Ising model ；average field ；partition function ；phase transformation.目录0引言 (4)1伊辛模型 (4)1．1铁磁体的伊辛模型 (4)1．2其它模型的对照 (5)2布喇格—威廉斯近似 (6)2．１布喇格—威廉斯假设 (6)2．２配分函数 (7)2．３相变 (7)３临界指数 (9)３．１临界点的性质 (10)４伊辛模型的严格解 (10)４．１一维伊辛模型的局限性 (11)结束语 (13)参照文献 (14)致谢 (15)0 引言从20世纪30年代中叶开始,“从单一的配分函数表达式能否同时描述各项和相的转变”这一问题成为争论对象之一。
伊辛模型在生物学中的应用-概念解析以及定义
伊辛模型在生物学中的应用-概述说明以及解释1.引言概述:伊辛模型是由物理学家Ernst Ising于1925年提出的一种理论模型，用于描述具有相互作用的自旋系统在不同温度下的行为。
这个模型被最初用于描述磁性材料中自旋的行为，但随后被生物学家发现可以在生物学领域中进行应用。
本文将着重介绍伊辛模型的基本原理以及在生物学中的具体应用，以期能够揭示伊辛模型对生物学研究的启示和潜在价值。
章1.1 概述部分的内容1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括本文所涉及的主要内容和各部分的关系。
例如，引言部分介绍了文章的背景和目的，正文部分详细阐述了伊辛模型的基本原理和在生物学中的应用，结论部分总结了伊辛模型对生物学的启示和潜在价值，并对未来的研究展望进行了讨论。
文章结构的设置能够清晰地展示出本文的整体框架和逻辑结构，有助于读者更好地理解和阅读文章内容。
的内容"1.3 目的"部分的内容:本文的目的是探讨伊辛模型在生物学中的应用，并通过分析伊辛模型的基本原理和在生物学领域的具体案例，阐明伊辛模型对生物学的启示和潜在价值。
同时，本文还将展望伊辛模型在未来在生物学研究中的发展方向和可能的应用领域，旨在为生物学领域的研究者和学者提供新的思路和视角。
通过本文的阐述，旨在加深读者对伊辛模型在生物学中的应用价值和意义的理解，促进相关领域的学术交流和研究进展。
2.正文2.1 伊辛模型的基本原理伊辛模型是由Erwin Ising在1925年提出的一种理想化的物理模型，用来描述磁性材料中的自旋相互作用。
该模型的基本原理是将磁性材料中的原子或分子抽象成一个个具有自旋的粒子，每个粒子只能取两种状态，即向上或向下。
这些粒子之间通过相邻的自旋相互作用产生相互影响，相邻自旋取向相同则会产生能量势阱，相反则会产生能量势垒。
通过这些相互作用，整个系统会趋向于达到能量最低的状态，即系统的磁化强度最小的状态。
从数学上来说，伊辛模型可以用一组离散的变量来描述系统的状态，这些变量代表了每个自旋的取向。
伊辛模型的基本方法
伊辛模型的基本方法
伊辛模型（Ising model）是一种描述物质相变的随机过程模型，主要用于解释铁磁系统的相变。
该模型由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。
伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。
伊辛模型的计算方法通常包括以下步骤：
1. 定义模型参数：包括自旋的相互作用强度、温度等。
2. 初始状态设置：根据问题背景和具体要求，设置初始的自旋状态。
3. 迭代更新：根据伊辛模型的更新规则，对每个自旋进行状态更新，通常采用Metropolis算法或其他相关算法。
4. 统计测量：在更新完成后，统计各种物理量的测量值，如总自旋向上或向下的数量、磁化强度等。
5. 结果分析：根据测量结果，进行分析和解读，以了解相变的过程和性质。
需要注意的是，伊辛模型的计算方法可能因具体问题和要求而有所不同，上述步骤仅为一般性的流程。
同时，由于伊辛模型的计算复杂度较高，对于大规模系统的模拟需要借助高性能计算机和高效的算法设计。
一维伊辛模型严格解
一维伊辛模型严格解
一维伊辛模型是一种描述自旋系统的模型，其中自旋在一维链上
排布。
每个自旋只能处于两种状态中的一种，记为自旋向上和自旋向下。
伊辛模型的基本假设是自旋之间存在相互作用，并且系统的能量
由相邻自旋的相互作用决定。
我们考虑一维含有N个自旋的链，自旋可以在格点上取值为+1或-1。
系统的总能量可以用以下哈密顿量来描述：
H = -J * ∑(i=1到N) Si * Si+1 - h * ∑(i=1到N) Si
其中，Si表示第i个自旋的值，Si*Si+1表示自旋之间的相互作用，J是自旋间相互作用的耦合常数，h是外场的强度。
对于一维伊辛模型，我们可以使用解析的方式求解该系统的严格解。
首先，我们可以使用巴塞尔函数和傅里叶变换来方便地处理问题。
通过使用傅里叶变换，我们可以将自旋的链上的问题转化为动量空间
中的积分问题。
在解出哈密顿量的本征值和本征态后，我们可以计算系统的各种
性质，如自旋的关联函数、磁化强度和比热等。
这些性质可以用于研
究相变的行为，例如系统的临界温度和相变点。
需要注意的是，在一维伊辛模型中，由于不存在严格相变，因此
没有明确的临界温度。
但是我们可以通过计算性质的导数来观察到相
变的迹象。
总之，一维伊辛模型的严格解提供了对自旋链系统的深入理解，
可以帮助我们研究自旋系统的性质和行为。
伊辛模型
伊辛模型开放分类：基本物理概念应用物理术语物理学伊辛模型描述物质相变的一种模型。
物质经过相变，要出现新的结构和物性。
发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。
目录∙ 1 伊辛模型∙ 2 配图∙ 3 相关连接在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度（见铁磁性）时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
这个模型所研究的系统是由N个阵点排列成n维周期性点阵，这里n=1,2,3。
点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数s i,如果s i＝+1,即第i个阵点的自旋向上；如s i＝-1，即第i个阵点的自旋向下。
并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变数{s i}（i＝1，2，…,N）来确定。
图1是一个二维伊辛模型的示意图，图中挋表示自旋向上,挌表示自旋向下。
处理方法20世纪30年代初，不少科学家如W.L.布喇格、E.J.威廉斯、H.A.贝特、R.E.佩尔斯等人就已从有序－无序转变问题及点阵气体等模型出发，采用平均场近似法处理伊辛模型。
布喇格－威廉斯平均场近似法认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。
每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。
用这种方法可求得下列公式式中μ是每个自旋的磁矩,n┡是每一阵点的最近邻数，H是外磁场强度，T是热力学温度，ε是自旋同向的最近邻对之间的相互作用能（铁磁性物质ε＜0，非铁磁性物质ε＞0），k是玻耳兹曼常数,m 是每个自旋上的磁化强度，可表示为,由此研究铁磁性物质的性质，得到如下结论：存在一临界温度，当T＞T c而H＝0时，物质不磁化，没有相变；当T＜T c时，尽管仍有H=0，但磁化强度m可不为零（可取正值或负值），铁磁性物质存在相变。
《基于非监督学习的伊辛模型和Potts模型相变研究》范文
《基于非监督学习的伊辛模型和Potts模型相变研究》篇一基于非监督学习的伊辛模型与Potts模型相变研究一、引言随着大数据和机器学习技术的不断发展，相变研究已成为物理、材料科学、信息科学等领域的重要研究方向。
其中，伊辛模型和Potts模型作为典型的物理模型，在相变研究领域中占有重要地位。
近年来，基于非监督学习的方法在处理复杂数据时表现出了强大的能力，因此，本文将探讨基于非监督学习的伊辛模型和Potts模型相变研究。
二、伊辛模型与Potts模型概述1. 伊辛模型伊辛模型是一种描述磁性材料中自旋相互作用的统计力学模型。
该模型中，每个自旋有两个状态（通常表示为向上或向下），自旋之间通过一定的相互作用进行耦合。
在一定的温度下，系统会经历从有序到无序的相变。
2. Potts模型Potts模型是一种描述晶格上多状态变量的统计力学模型。
在Potts模型中，每个格点上的变量有多个可能的状态，这些状态通过相互作用和相邻格点进行耦合。
在特定条件下，Potts模型同样会发生相变。
三、非监督学习方法在相变研究中的应用非监督学习是一种无标签数据的学习方法，它通过分析数据的内在结构来提取有用的信息。
在相变研究中，非监督学习方法可以用于分析伊辛模型和Potts模型的相变行为。
具体而言，非监督学习方法可以用于以下几个方面：1. 数据预处理：通过聚类、降维等技术对原始数据进行预处理，以便更好地提取相变特征。
2. 特征提取：利用无监督学习方法自动提取出与相变相关的特征，如自旋的分布、状态的变化等。
3. 分类与识别：通过自组织映射、自编码器等无监督学习方法对不同相进行分类与识别。
四、基于非监督学习的伊辛模型与Potts模型相变研究方法1. 构建数据集：根据伊辛模型和Potts模型的物理参数和条件生成相应的数据集。
2. 数据预处理：利用聚类、降维等技术对数据进行预处理，以减少数据的噪声和冗余信息。
3. 特征提取：使用无监督学习方法自动提取出与相变相关的特征，如自旋的分布、状态的变化等。
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伊辛模型的相变讨论姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011)指导老师：尹训昌摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。
本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。
与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。
关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论引言：在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。
由于此种方法推到复杂，不容易掌握。
本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。
与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。
1平均场理论在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。
1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。
朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。
认为热力学函数是序参量的解析函数。
这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。
曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。
按照平均场理论算出来，临界指数β等于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上是这样的关系，d=3。
可以算出平常说的磁化率，和T的相对温度之间有一个关系，指数是1。
还可以算比热，从低温到高温的时候有一个跃变，本身是一个常数。
如果铁磁体不是单轴各向异性，而是平面各向异性的，序参量会有两个分量。
我们可以拿这个曲线转一圈，最低能量态是“简并”的，所有“酒瓶底”的状态都具有最低能量，实际体系可能处于某一个位置上。
这就是对称破缺。
平均场理论是“多次被发明”的理论。
从最早的范德瓦耳斯方程，到外斯的分子场理论，描述合金有序化的布喇格－威廉姆斯理论，都说的同一回事。
2伊辛模型的简介伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，它可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。
它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序无序转变,液氦到超流态的转变,液体的冻结和蒸发,晶格气体,玻璃物质的性质,深林火灾,城市交通,蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等.伊辛模型是一个非常简单的模型,在一维,二维或三维的每个格点上占据一个自旋.自旋是电子的一个内禀的性质,每个自旋在空间有两个量子化的方向,即其指向可以向上或者向下.尽管伊型模型是一个简单的物理模型,目前仅有一维和二维的精确解.现在考虑一维伊辛模型，M个自旋排成一排，每个自旋与其左右两个最近邻的自旋手拉收，手拉手便是它们之间有相互作用。
简单起见，我们仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。
二维正方伊辛模型就是有N 个相同的自旋排，每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋手拉手，而且与前后相邻的自旋排中的两个最相邻的自旋手拉手，构成了一个二维的自旋阵列。
三维立方伊辛模型就是有L个相同的二维自旋阵列。
三维立方伊辛模型就是有L个相同的二维自旋阵列，每个自旋与其左右、前后、上下六个最近邻的自旋手拉手。
可以看来随着维度的增加，每个自旋的最近邻自旋数增加，与周围自旋的相互作用也在增强。
由于相互作用倾向于使近邻自旋的方向一致，所以在绝对零度时，系统的基态是铁磁态，所以自旋的取向完全一致。
有两个可能，都是向上或都是向下。
一旦选定了向上，就大家一起向上，非常有序。
如升高温度T，温度将要对这种有序的状态进行扰动，某一个自旋可能就会挣脱其他自旋对它的相互作用的束缚，而变成向下。
这个调皮的自旋可能又会影响其他自旋的取向，从而引入了无序的成分。
我们面临的问题就是，在什么温度下，系统从有序态变成无序态。
这个温度就是我们关系的相变的临界温度。
在统计物理中有一套标准的程序，从系统的哈密顿量H出发，写成其配分函数。
配分函数就是对系统的所有可能不同状态根据哈密顿量H写下玻尔兹曼权重的指数函数exp(-H/kT),并对所有的可能状态的值求和。
一个状态在温度T下出现B的可能性正比于该状态的值求和。
一个状态在温度T下出现的可能性正比于该状态的指数函数exp(-H/k B T)除以配分函数。
其中余姚对写下所有可能状态的玻尔兹曼权重的矩阵对角化能量本征值。
对大型复杂矩阵的对角化是一个难点。
然后事情就变得非常简单，根据热力学统计物理的标准手续从配分函数就立即得到系统的自由能，对自由能进行微分立即得到磁化强度、比热、磁化率等物理性质。
所以，问题的关键在于求出系统的配分函数。
3伊辛模型的应用在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产 生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
这个模型所研究的系统是由N 个阵点排列成n 维周期性点阵，这里n=1,2,3。
点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数i,如果i=+1,即第N 个阵点的自旋向上；如i=-1，即第个N 阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变数（i=1，2，…N,）来确定。
4一维Ising 模型的相变Ising 模型是伊辛于1924年提出的，Ising 模型是铁磁体的一种最简单的理论模型，它可以近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，可以描述反铁磁体、气液相变和二元溶液相变等。
在Ising 模型中，假设自旋处于每个晶格的格点上，每个自旋只能取向上或向下两个态，即取+1和-1两个值。
如果假设只存在最近相邻相互作用，它的有效哈密顿可表示为H=K j ij iS S ∑ （1）其中，S i 表示晶格格点i 上的旋转，K 表示约化的最近邻相互作用参数，K>O 和K<0分别表示铁磁体和反铁磁体，∑ij 表示对所有的最近邻自旋之间的相互作用求和。
此系统的配合函数可以表示为Z=∑}{)exp(i S H （2）其中，∑}{i S 代表对一切可能的自旋态{S i }求和。
对于一维Ising 模型的相变在统计物理教材中都是通过数学推导先求出系统的配合函数，然后再求相变点。
这种方法推到较多很多人难接受。
下面采用重整化群的方法研究这个问题。
为了表述简单，取一维Ising 模型链的一部分进行讲解（见图1）。
在图1（a ）中选取三个自旋变量的一维链，即存在两个相互作用。
根据（1）式，它的有效哈密顿量可写为H=K(S a S 1+ S 1S b ) （3） 图1（b ）表示经过一次重整化变换的一维链，在这个过程中，可以看出中间的自旋被消去。
以S ,a ’,S b ’来表示图1（b ）格点上的自旋，根据重整化变换后系统的配分函数保持不变，可以写出下面的表达式∑)exp(H =Aexp(H ’) (4)上式中A 是重整化常数，H ’为重整化变换后的有效哈密顿量，它的表达式为 H ’=K ’ S ,a ’ S b ’ (5)由（2）和(3)可得变换前的配分函数为Z=))S (exp(}{11a ∑+i S b S S S K （6）自旋S 1取+1和-1两个值，对上式求和消掉自旋S 1后，配合函数可辨识为Z=exp(K(S a +S b ))+ exp(-K(S a +S b )) (7) 由（2）（5）可得变换后的配分函数为Z ’=)'''exp(b a S S K ∑。
根据前后配分函数保持不变这个特点，考虑到（S a ，S b ）可以取（+1，+1）、（+1，-1）、（-1，+1）和（-1，-1）四种组合，得到不重复的两个方程为Exp(2K)+exp(-2K)=Aexp(K ’) (8) 2=Aexp(-K ’) (9) 对上面两个方程求解，可以求出K ’=21ln 2)2exp()2exp(k K -+ (10) A=))2exp()2(exp(2K K -+ (11)(10)式就是RG 变换的递推关系。
由它出发可以求出系统的临界点。
为了求得系统的不动点，令K ’=K ’=K ”,由递推关系可以求得系统的不动点为K ”=根据K=J/(k B T)可得系统的相变温度为0即一维Ising 模型只存在零温相变。
5二维Ising 模型的相变 由于二维Ising 模型的配分函数求解过于复杂，在统计物理教材中没有介绍。
下面继续采用重整化群的方法对二维正方形晶格上的Ising 模型的相变进行讨论。
正方形晶格是一种配位数均匀的平移对称晶格，它的空间维数为2.假设只存在最近邻相互作用K ，该晶格上Ising 模型的有效哈密顿量为H=Kj ij i S S ∑ （12）正方形晶格上Ising 模型的键移和重整化群过程如图2所示，S a ，S b ，S 1和 S 2用来表示各格点上的自旋。
在图2的键移过程中，我们假设相互作用参数K 随着键一起移动。
根据假设，键移后的有效哈密顿量为H=3K(S a S 1+ S 1S 2+S 2S b ) (13)经过重整化群变换后内部格点S 1和S 2被消去，以S ,a ’,S b ’来表示变换后各格点上的自旋，变换后的相互作用参数用K ’来便是，变换后系统的有效哈密顿量可写为H ’=K ’ S ,a ’ S b ’ （14） 结合（2）和（13）求得变换前的配合函数为Z=))S (3exp(}{2211a ∑++i S b S S S S S K (15)根据自旋S 取+1和-1两个值，则自旋对（S 1，S 2）有（+1，+1）、（+1，-1）、（-1，+1）和（-1,-1）四种组合，消去内部格点，（15）式重新写为Z= exp(3K(S a +S b +1))+ exp(3K(S a -S b -1))+ exp(3K(-S a -S b -1))+exp(3K(-S a +S b -1)) （16） 由（2）和（14）可得变换后的配分函数为Z ’=)'''exp(b a S S K ∑。