数学模型-第01章(第五版)_图文
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
第一章数学建模概论
建立数学模型。
在难以得出解析解时，也
➢ 4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
➢ 5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度
模型中变量的特 连续型模型、离散型模型或确定性
征
模型、随机型模型等
建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方
•例3 交通马路灯的宽在度 绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在 ，于L有
一个过渡的和状确L2定，态。其为中—确L定1—是L司亮，机还在一应发当段现将黄时灯L划亮间分及为判的两断段应黄：当L灯1 。 请分析黄刹灯车的应反应当时间亮内多驶过久的路。程 ，L2为刹车制动
后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对
总距离为 n 1 ，
故砖块向右可k 叠1 至2nk
有点n出人意料时。,
任1意远
， 这1一结 果多少k 1 2 n1 2n例6 某由人于住距在离某不公同，交设线附A到近C行，驶该3公1分交线路 为在A、钟B，两B到地C间要运行驶行，30每分钟隔，1考0分察一钟A、B两 地点各等发车个 如 时出，时 ， 开一他间 可 始班 发长以，车 现度从在， 了其为A后方此 一1的向0人 个分来常 令9钟的分的在 他车钟区离 感驶内间家到到，离最奇达例C的站近怪的的现C 象：在乘绝客大见多到数先情来的况车下均，为先B到开站往的A的总，是由 B去A的仅车有，最难后道1由分钟B到去达A的的乘车客次才多见些到吗？请 你帮助由他A来找的一车下先原到因。由此可见，如果
•
2r r w r2
•
w
行星
即:
dt
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
数学模型讲义1精品PPT课件
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
V比 nv大或小多少? 定量分析
从包汤圆（饺子）说起
假设 模型
1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样
R ~大皮 的半径；r ~小皮的半径 S ns
S k1R2 , V k2 R3
s k r2, v k r3
1
2
V kS 3/2 v ks3/2
物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理 构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且 可以用来进行模拟实验．间接地研究原型的某些规律，如波 浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能等 风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特 性．有些现象直接用原型研究非常困难，更可借助于这类模 型，如地震模拟装置，核爆炸反应模拟设备等．应注意验证 原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠 性．物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成 本高、时间长、不灵活等缺点．
控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制，零件设计 中的参数优化，要以数学模型为前提．建立大系统控制与 优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题．
规划与管理 生产计划．资源配置、运输网络规划、水 库优化调度，以及排队策略、物资管理等．都可以用数学 规划模型解决．
数学建模与计算机技术的关系密不可分．一方面，像新型 飞机设计、石油勘探数据处埋中数学模型的求解当然离不开 巨型计算机．而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们 的日常活动．
* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学 方法的应用.
*更重要的方面是数学的思维方式的确立.
21世纪科技人才应具备的数学素质与能力
更新数学知识能力 使用数学软件能力
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
数学模型第五版姜启源课件
数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。
它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。
姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一，这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。
2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并探索解决问题的方法。
数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧，本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。
3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。
它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。
本部分介绍了数学模型的基本概念，包括：3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。
假设是对问题中不确定因素的简化和规定，而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。
3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号，它可以是数值、向量、矩阵等。
参数是数学模型中的固定值，它们可以是已知的或未知的。
3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。
方程是关系中等号左右两边相等的表达式。
3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。
目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。
4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景，包括：4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。
线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。
4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。
它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。
非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。
4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。
它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。
解析数学模型（第五版）
解析数学模型（第五版）摘要就记录了少部分题解，主要是太懒了（下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈）⽂章中⼀律以 BD 代替 Brief Description（题⽬简述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）初等模型⼀、双层玻璃窗的功效在这⾥插⼊图⽚描述BD：单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进⾏对⽐，双层玻璃窗能减少多少热量损失？SAT：简单的，不考虑热对流和热辐射，在室内外温度恒定的假设下，⽤傅⾥叶热传导定律Q=k ΔTd，玻璃和空⽓厚度的⽐例h=ld，再对两者进⾏对⽐Q1Q2，最后列⼀张⽐例图在这⾥插⼊图⽚描述⼆、划艇⽐赛的成绩在这⾥插⼊图⽚描述BD：探究划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系SAT：（物理⽼师见了要吐⾎的假设和模型），⾸先有两个假设：lb和w0n设为常数，因为它们的变化不⼤。
那么lb不变可以得出艇的形状是⼀样的，推出s∝A 23【艇浸没⾯积s和艇排⽔体积A成正⽐；w0n不变得出w0∝n【艇重w0和桨⼿数n成正⽐】，⼜由于w′=w0+nw【总质量等于艇重加桨⼿数的总质量】，推出w′∝n【艇重w0和桨⼿数量n成正⽐】SAT2：众所周知，空⽓阻⼒的公式F=12CρSV2【C为空⽓阻⼒系数，即常数；ρ是空⽓密度，⼀般情况也取常数；S为物体迎风⾯积；V为物体与空⽓的相对运动速度】，那么根据空⽓阻⼒的公式，可以类似的推导出艇的阻⼒公式f∝sv2【f是艇与⽔的摩擦阻⼒；s是艇浸没⾯积；v2是划艇速度的平⽅】SAT3：假设所有桨⼿的体重相同，划艇的速度是匀速的，那么根据功率公式P=FV，推导出np∝fv【np是所有桨⼿的总功率；f是艇与⽔的摩擦阻⼒；v是划艇速度】，⽽p∝w可以解释为：桨⼿的功率p与肌⾁体积、肺的提及成正⽐，对于⾝材均匀的运动员，肌⾁、肺的体积与体重w成正⽐STA4：⽐赛时间t与速度v成反⽐，把上述所有公式进⾏整合可得到t∝n−19，即划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系模型三、实物交换BD：甲只有⼀定量的物品 X，⼄只有⼀定量的物品 Y，所以他们之间想进⾏交换，⽤作图的⽅法对双⽅交换实物建⽴⼀个模型STA：⽆差别曲线⽤于描述甲或⼄对物品X和Y的偏爱程度（但下图为甲的），甲有⽆数条⽆差别曲线（⼄也⼀样），越靠近右上⾓，代表甲的满意程度越⾼。
数学模型第五版姜启源
数学模型第五版姜启源简介数学模型是一门研究数学与实际问题应用的学科。
姜启源教授的《数学模型》系列教材是广大数学爱好者和学习者的宝贵资料。
本文将介绍数学模型第五版姜启源的内容和特点。
内容概述数学模型第五版姜启源这本书主要涵盖了以下方面的内容：1.数学模型的基本概念：介绍数学模型的定义、分类以及数学模型构建的基本步骤。
2.线性规划：介绍线性规划的基本概念、线性规划模型的建立和求解方法，以及线性规划在实际问题中的应用。
3.整数规划：介绍整数规划的基本概念、整数规划模型的建立和求解方法，以及整数规划在实际问题中的应用。
4.图论与网络优化：介绍图论的基本概念、常见图论模型的建立和求解方法，以及图论在实际问题中的应用。
5.随机模型：介绍随机模型的基本概念、常见随机模型的建立和求解方法，以及随机模型在实际问题中的应用。
6.动态规划：介绍动态规划的基本概念、动态规划模型的建立和求解方法，以及动态规划在实际问题中的应用。
特点分析数学模型第五版姜启源具有以下几个特点：综合性本书对数学模型的研究内容进行了系统的整理和，包括线性规划、整数规划、图论与网络优化、随机模型以及动态规划等多个方面。
这使得读者能够从不同角度了解数学模型的应用领域和解决方法。
理论与实践结合本书不仅介绍了数学模型的理论基础，还结合实际问题进行案例分析和求解过程。
通过实际案例的引入，读者能够更好地理解数学模型和解决实际问题的方法。
解题思路明确本书对每一类数学模型都给出了清晰的解题思路和求解方法，从数学模型的建立到求解过程，都有详细的讲解和示例演示。
这有助于读者掌握解题的方法和技巧，提高数学建模能力。
应用广泛性数学模型是一门跨学科的学科，本书所涉及的数学模型方法和应用领域非常广泛，适用于工科、理科以及经济管理等多个领域。
，无论是学生还是研究者，都能从本书中获得实用的知识。
数学模型第五版姜启源是一本内容丰富、方法全面的数学模型教材。
它系统地介绍了数学模型的基本概念、建立方法和求解技巧，以及在实际问题中的应用。
数学模型姜启源课件第一章
数学模型姜启源课件第一章1. 引言数学模型是数学和实际问题之间的桥梁，通过建立合适的数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本课程旨在介绍数学模型的基本原理和方法，帮助学生学习如何应用数学模型来解决实际问题。
在本章中，我们将首先介绍数学模型的基本概念和分类。
然后，我们将讨论数学模型的建立过程和解决方法。
最后，我们将通过几个具体案例来说明数学模型在实际问题中的应用。
2. 数学模型的概念和分类2.1 数学模型的定义数学模型是利用数学语言和符号来描述和分析实际问题的工具。
它可以是一个公式、一个方程、一个图表或者更复杂的数学结构。
数学模型能够将实际问题的复杂性简化，并提供一种定量的方法来研究问题。
2.2 数学模型的分类数学模型可以根据其特征和用途进行分类。
常见的数学模型分类包括：•线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为线性关系。
•非线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为非线性关系。
•离散模型：模型中的变量和参数取有限个或可数个值。
•连续模型：模型中的变量和参数可以取任意实数值。
•动态模型：模型中的变量和参数随时间变化。
•静态模型：模型中的变量和参数不随时间变化。
3. 数学模型的建立过程3.1 问题的描述数学模型的建立首先需要明确问题的目标和约束条件。
问题描述应该清晰明确，包含必要的数据和信息。
3.2 变量的选择通过分析问题，确定和描述影响问题的因素。
这些因素可以成为模型中的变量，用来表示问题的不同方面和特征。
3.3 建立数学关系根据变量的选择，建立模型中各变量之间的数学关系。
这些关系可以通过物理定律、统计分析或者经验公式来确定。
3.4 模型的求解利用数学工具和方法，对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解过程中需要考虑求解方法的合理性和稳定性。
4. 数学模型的求解方法4.1 解析解法解析解法是指通过数学推导和计算，得到数学模型的解析表达式。
这种方法可以提供问题的准确解，但通常只适用于简单的数学模型。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
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数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
计算 测试数据作图 大致线性关系 t = cv+d
t
6
5 加速行驶
4
3
5
2
1
40
v
0
0
10
20
30
40
t
7 6
减速行驶 1m/s=
5
4
3.6km/h
37
2
d1 , d2 ≈ 0
1
40
v
0
0
10
20
30
40
估算
c1
5 3.6 40
0.45 (s2/m)
c2
7
3.6 40
0.63 (s2/m)
1.6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
黑箱
二者结合 机理分析建立模型结构, 测试分析确定模型参数.
灰箱
机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
路障间距的设计
建模 加速行驶：距离s1，时间t1, 加速度a1
减速行驶：距离s2，时间t2, 减速度a2
限速 vmax
s1
1 2
a1t12 ,
s2
1 2
a
2
t
2 2
相邻路障间行驶总距离
vmax a1t1 , vmax a2t2
s
s1
s2
vm2 ax 2
(1 a1
1 a2
)
给定vmax，由测试数据估计a1，a2， s = 路障间距
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
路障间距的设计
2. 建模的关键是什么？ 变量表示椅子的位置. 函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.
3. 建模过程中有无不严谨之处？ 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？
做自己的模型
• 亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目—— 不妨从包饺子这样的简单问题开始.
• 提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型. • 数学建模竞赛为提高用建模方法分析、解决
加速度之间的物理关系). • 根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度).
路障设计中还有可用数学建模研究的问题吗？
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
R ~大皮半径 r ~小皮半径
S k1R2 V k2R3
s k1r 2 , v k2r3
V kS3/2 (2)
v ks3/2 (3)
(1),(2),(3)
V n3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性.
用表示椅子位置.
B´ B A´
四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是的函数.
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 对称性
C´
A
O
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换
g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
实际问题的能力，搭建了广阔的平台.
全国大学生数学建模竞赛
• 1992年由中国工业与应用数学学会 （CSIAM） 组织举办首次竞赛. • 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办（每年9月). • 2017年全国1400多所院校、36000多队参赛.
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型（学习、分析、改进、推广）
做自己的模型（实际题目，参加竞赛）
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗， 在学懂的基础上可以作哪些研究？ 1. 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的? 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是 椅脚连线呈正方形 非 四脚连线呈长方形可以吗?
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
a1=1/c1，a2=-1/c2 s vm2 ax ( 1 1 )≈ 66.5 设计路障间距67m
vmax=11.1(m/s)
2 a1 a2
最小二乘法 c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556 (m)
路障间距建模过程的基本、关键步骤 • 作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶). • 利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
可以对“皮的厚度随着半径变大而增加”的数量 关系作出合理、简化的假设，重新建模.
包饺子建模过程的基本、关键步骤 • 用数学语言(体积和表面积)表示现实对象(馅和皮). • 作出简化、合理的假设(厚度一样，形状一样). • 利用问题蕴含的内在规律(体积和表面积与半径间
的几何关系). 日常生活中有哪些可用这个模型解释的现象？
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
数学建模历史悠久
欧几里德 《几何原本》 光反射定律
阿基米德 浮力定律
杠杆原理
伽利略 落体定律 牛顿 万有引力定律
模型 求解
数学建模的一般步骤 各种数学方法、软件和计算机技术.
模型 分析
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.
模型 检验
与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界
现实对象的信息 表述
验证
现实对象的解答 解释
数学模型
数
学
求解 世
界
数学模型的解答
模型检验
模型分析
模型构成 模型求解
模型应用
模 了解实际背景 明确建模目的 形成一个
型
比较清晰
准 搜集有关信息 掌握对象特征 的问题 备
数学建模的一般步骤