初中数学切线的性质与判定

连接OA AD,易知 ∠ADB=∠PCA(圆周角)
∵BD是直径，OB OA OD是半径 C ∴∠BAO+∠OAD=90°，∠OAD=∠ODA
∴∠PAB=∠OAD
∴∠PAB+∠BAO=90°
∴PA是圆O的切线(切线判定定理)
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已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以腰
DE切YY圆O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BD=y.
(1)求证：AM//BN; (2)求y关于x的关系式；
A
(3)求四边形ABCD的面积是S，并证明：S1≥S2
O
DM E
B
CN
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Dr.Feng
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Ａ
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ｂ
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如图所示，ＰＢＣ是圆Ｏ的割线，Ａ点是圆Ｏ上一点，且 ＰＡ２＝ＰＢ×ＰＣ。求证：PA是圆O的切线.
证明： 连接AB AC，连接BO并延长与圆O相交于点
D
P
A
在△PBA和 △PAC中，PA/PC=PB/PA（题意） ， ∠P这公共角，
∴△PBA和 △PAC相似
B
∴∠PAB=∠PCA
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DC的中点E为圆心的圆与ＡＢ相切，梯形的上底Ａ
Ｄ与底ＢＣ是方程ｘ２－１０ｘ＋１６＝０的两根，
求圆Ｅ的半径ｒ．
ＡＤ
解：连接EF，F为圆E的切点
因为EF⊥ＡＢ 所以EF//BC
F
E
且E为CD中点 所以ＥＦ为梯形ABCD的中位线
又AD、BC的为x2-10x+16=0的两根
所以AD=2，BC=8 EF=1/2(AD+BC)=5 即半径为5.
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问题：
如图，在圆O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA，则直线L圆O的位置关系怎样？为什么？
O
A
l
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
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证明直线与圆相切有如下三种途径：
１、定义法：和圆有且只有一个公共点的直 线是圆的切线。
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在直角∆ABC中，∠B=90°，∠A的平分
A
线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作
圆D。
试证明说：明连：DAFC是圆O的切线。
F
因为DB⊥AB 垂足为点B，又点B在圆上。
所以AB为圆D的切线。
又AD为∠A的角平分线 所以DF ⊥AC且DB=DF 即：AC为圆D的切线。
B
D
C
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AB是圆O的弦，C是圆O外一点，BC是圆O的 切线，AB交过Ｃ点的直径于点Ｄ，ＯＡ⊥Ｃ Ｄ，试判断∆ＢＣＤ的形状，并说明你的理由。
解：连接BO 可知：OA=OB 所以∠A= ∠OBD 又ＯＡ⊥ＣＤ ∠A+ ∠ADO=90°。 CB为圆Ｏ的切线。 ∠ＯＢＤ＋ ∠DBC=90° 所以∠ADO= ∠DBC ∠ADO=∠BDC（对顶角） 即∠BDC=∠DBC 所以∆BDC为等腰三角形。
O
E
D
Hale Waihona Puke Baidu
A
C
FB
G
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如图所示，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， ＡＤ／／ＢＣ，Ｅ为ＡＢ上一点，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，CE 平分∠BCD。 求证:(1)DE ⊥CE. (2)以AB为直径的圆与CD相切。
D1 3
2C 4
A
E
B
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如图，圆O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，
F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的 F 长解。：连OA、OB、OC，OE、OF、OD
根据垂直平分线的性质。有 AE=AF，BF=BD，CD=CE
B
可设AE=AF=x 则BF=BD=9-x,CD=CE=13-x
O D
E
C
BD+CD=9-x+13-x=14
x=4
所以AF=4，BD=5，CE=9
２、数量法（ｄ＝ｒ）：和圆的距离等于半 径的直线是圆的切线。
３、判定定理：经过半径外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
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内切圆和内心的定义：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的内心。
∆ABC的内切圆圆O与ＢＣ、CA、AB分别相切于D、E、 A
Ｂ
Ｃ
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切线的性质：
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
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如图所示，直线AB切圆O于点C，DE是圆O的直径， EF⊥AB于F，DC的延长线与EF的延长线交于点G，若 ∠E=80°，求∠G的度数。