初中数学切线的性质与判定
初中数学 什么是切割定理
初中数学什么是切割定理
在初中数学中，切割定理是一个重要的概念，它涉及到圆的切线与割线的关系。
下面我将详细介绍切割定理的定义、性质和相关概念。
1. 切割定理的定义：
-切割定理：在一个圆上，从圆外一点引出一条割线与圆相交于点A，再从点A引出一条切线与圆相切于点B，那么割线与切线所截取的弧的度数相等。
2. 切割定理的性质：
-定理性质1：在一个圆上，割线与切线所截取的弧的度数相等。
即弧AB的度数等于割线所截取的弧ACB的度数。
-定理性质2：切割定理适用于任何圆，无论圆的半径大小。
3. 切割定理的应用：
-弧度的计算：根据切割定理的性质，我们可以利用已知的割线与切线所截取的弧的度数相等的关系，来计算割线和切线所截取的弧的度数。
-问题求解：切割定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，如求解割线和切线所截取的弧的度数、判断割线和切线的位置关系等。
切割定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。
在运用切割定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对切割定理的了解。
24.2.3+切线的判定和性质课件+2023-—2024学年人教版数学九年级上册
1.[2023眉山中考]如图，AB切⊙ O于点B，连接OA
交⊙ O于点C，BD//OA交⊙ O于点D，连接CD，
若∠OCD = 25∘ ，则∠A的度数为(
A.25∘
B.35∘
C.40∘
C )
D.45∘
第1题图
【解析】 如图，连接OB. ∵ AB切⊙ O于点B，
∴ OB ⊥ AB，∴ ∠ABO = 90∘ . ∵ BD//OA，
AE的长为(
B )
A.1
B. 2
C.2
D.2
2
第2题图
【解析】 ∵ OA是⊙ O的半径，AE是⊙ O的切线，
∴ ∠A = 90∘ . ∵ ∠AOC = 45∘ ，OA ⊥ BC，∴△ CDO和△ EAO都是等腰直角
三角形，∴ OD = CD，OA = AE. ∵ OA ⊥ BC，∴ CD =
1
BC
线，∴ ∠OPB = 90∘ . ∵ ∠ABC = 90∘ ，∴ OP//BC，
∴ ∠CBD = ∠POB = 40∘ ．
8.如图，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙ O上一点，
点D为BA的延长线上一点，连接CD.若DC与⊙ O
相切，点E为OA上一点，且∠ACD = ∠ACE.求
证：CE ⊥ AB.
证明：∵ 与⊙ 相切，
AC是⊙ O的切线，A为切点，BC经过圆心.若
∠B = 21∘ ，则∠C的度数是(
A.21∘
B.42∘
C )
C.48∘
D.69∘
第6题图
【解析】 如图，连接OA. ∵ AC是⊙ O的切线，A
为切点，∴ AC ⊥ OA，
∴ ∠OAC = 90∘ . ∵ ∠B = 21∘ ，
∴ ∠AOC = 2∠B = 2 × 21∘ = 42∘ ，
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
初中数学 什么是切线定理
初中数学什么是切线定理
初中数学中，切线定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线定理的定义：
-切线定理：如果一个直线与一个圆相交，且与圆的切点相同，那么这条直线是圆的切线。
2. 切线定理的性质：
-定理性质1：切线与半径的关系。
切线与半径相交于切点，并且与半径垂直。
-定理性质2：切线的长度等于半径和切点到圆心的距离之间的乘积。
即TL = TR × TH。
3. 切线定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。
在运用切线定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对切线定理的了解。
初中数学 什么是圆的切线
初中数学什么是圆的切线
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
下面我将详细介绍圆的切线的概念和性质：
1. 圆的切线定义：
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
这个切点是圆上的点，切线与圆的边界只有这一个交点。
2. 圆的切线的性质：
-圆的切线与半径垂直，即切线与半径的夹角为90°。
-从圆的外部引一条直线与圆相交，如果直线与圆的边界相切，那么这条直线就是圆的切线。
-圆的切线长度等于从切点到圆心的半径长度。
-圆的切线与切点到圆心的连线共线。
-圆的切线是与圆心连线的直线中最短的一条。
3. 圆的切线的应用：
圆的切线在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在光学中，圆的切线可以用于描述光线与曲面的相交关系；在工程学中，圆的切线可以用于定位和布局。
另外，圆的切线的性质也可以用于解决一些几何问题，如构造、证明等。
需要注意的是，圆的切线是一条直线，它与圆的边界相切且只有一个交点。
以上是关于圆的切线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆的切线的了解。
最新华东师大初中数学九年级下册切线长定理—知识讲解(提高)
切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O 有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∴OA=∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．图（2）【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．类型三、与相切有关的计算与证明4.（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB 于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．。
初中数学专题：切线的判定和性质【九大题型】(举一反三)(苏科版)
专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB 于D 点，连接CD ．（1）求证：∠A=∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB 的长．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由．（2）若AB ＝6，∠BDC ＝60°，求图中阴影部分的面积．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.（1）求证：CD与O相切.（2）若正方形ABCD的边长为1，求半径OA的长.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．(1)求证：平分；(2)连接，若，，求的长．【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是△的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．(1)求证：平分；(2)连接，判断△的形状，并说明理由；(3)若，，求线段的长．【题型6 利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（）A．B．C．D．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是的直径的延长线上一点，是的切【变式6-2】线，A为切点，，则．【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且＝，点P 是射线上一动点（不与点O重合），连接，将△沿折叠得到△，当△的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：△ △．【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：(1)是的角平分线；(2)．【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点【变式7-3】为点、，连接，过点作交于点，过点作于.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，BC OP交⊙O于C，PO交⊙O 于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB 上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接(1)求证:是的切线；(2)点为上的一动点，连接.①当时，四边形是菱形;②当时，四边形是矩形.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求的值．【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．【变式9-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点．（1）；（2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式9-2】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）已知：和外一点．(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【变式9-3】（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC=50︒，利用无刻度直尺在图中画一个含有50︒角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF 是矩形，根据垂径定理即可求得半径．【详解】解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确；在直角△ABC中，AC=16，AB=20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选D．【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O 交AB于D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1M为BC的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．考点：切线的判定．【变式2-3】（2023春·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA 是半径，∴EF 是⊙O 的切线．（3）∵OA=OB ，∴点O 在AB 的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B ，∠BAC=∠FAC ，∴∠BAC=∠B ，∴点C 在AB 的垂直平分线上，∴OC 垂直平分AB ，∴OC ⊥AB ．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为5．【分析】（1）连接OD ，可得OA OD =，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得ODA CAD ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD AC ∥，根据平行线的性质，可得90ODB C ∠=∠=︒，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，根据垂径定理可得118422AG FG AF ===⨯=，故5CG =，根据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，则OA OD =，ODA OAD ∴∠=∠， AD 是BAC ∠的平分线，OAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，OD AC ∴∥，90ODB C ∴∠=∠=︒， OD 为O 的半径，点D 在O 上，∴BC 是O 的切线；（2）解：过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，如图，OG AF ⊥，118422AG FG AF ∴===⨯=， 1CF =，145CG CF FG ∴=+=+=，OG AF ⊥，90OGC ∴∠=︒，90ODB C ∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，5DO CG ∴==，O ∴的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OE 、AE ，则OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，由CE CA =，得CEA CAE ∠=∠，所以90CEO CEA OEA CAE OAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，即可证明CE 与O 相切；（2）由切线的性质得90FEO ∠=︒，3OE OA ==，4EF =，得5OF ，则8AF OF OA =+=，即可根据勾股定理列方程2228(4)CE CE +=+，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OE 、AE ，则OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，CEA CAE ∴∠=∠，90CEO CEA OEA CAE OAE CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， CE 经过O 的半径OE 的外端，且CE OE ⊥，CE ∴与O 相切．（2）解：由（1）知CE 与O 相切，∴90FEO ∠=︒∵3OE OA ==，4EF =，5OF ∴，8AF OF OA ∴=+=，∵90CAF =︒∠∴222CA AF CF +=，∵CA CE =，4CF CE =+，2228(4)CE CE ∴+=+，6CE ∴=，CE ∴的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②O 的半径为5．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB ∠=︒，进而得出90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，即可得出结论；（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，进而得出90B ACE ∠+∠=︒，根据题意可得出AE OC ⊥，推出90CAE ACE ∠+∠=︒，即可得出结论；②设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，得出ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，根据勾股定理得出()(2222x x +=，求出2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，根据勾股定理得出()22242OA OA +-=，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∵PAC B ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，∴AP AB ⊥，∴AP 是O 的切线；（2）①证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，∵OC OB =，∴B BCO ∠=∠，∴90B ACE ∠+∠=︒，∵OC 经过AF 的中点E ，∴AE OC ⊥，∴90CAE ACE ∠+∠=︒，∴B CAE ∠=∠；②解：设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，∴ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，222AE CE AC +=，∴()(2222x x +=，解得：2x =（负值舍去），即2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，222AE OE AO +=，∴()22242OA OA +-=，解得：5OA =，即O 的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x(2)求AB 的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)6【分析】（1）连接OM ，由AC 平分OAM ∠可得OAC CAM ∠=∠，又MC AM =，所以CAM ACM ∠=∠，进而可得OAC ACM ∠=∠，所以OA ∥MC ，可得MC x ⊥轴，进而可得结论；（2）过点M 作MN y ⊥轴于点N ，则A N B N =，且四边形MNOC 是矩形，设,AO m =可分别表达MN 和ON ，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：M 与x 轴相切，理由如下：如图，连接OM ， AC 平分OAM ∠，OAC CAM ∴∠=∠，又MC AM =，CAM ACM ∴∠=∠，OAC ACM ∴∠=∠，OA ∴∥MC ，OA x ⊥轴，MC x ∴⊥轴， CM 是半径，M ∴与x 轴相切（2）如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ，AN BN ∴==12AB ，90MCO AOC MNA ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNOC 是矩形，NM OC ∴=，5MC ON ==，设,AO m =则6OC m =-，5AN m ∴=-，在Rt ANM 中，222AM AN MN =+，∴()()222556m m =-+-，解得2m =或9(m =舍去)，3AN ∴=，6AB ∴=． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，【例4】CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）3π【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，∴∠BFD=90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵AD∥BC，∴∠ADB= ∠CBD，∴CB= CD，∴∠CBD= ∠CDB，∴∠ADB = ∠CDB ，在△ABD 和△FBD 中 ，ADB CDB BAD BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD (AAS)，∴BF = BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与⊙B 相切；(2) ∵∠BCD = 60°，CB = CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD = 60°，∵ BF ⊥CD ，∴∠ABD = ∠DBF = ∠CBF = 30 °，∴∠ABF = 60 °，∵ AB = BF = 6，∴AD = DF °∴阴影部分的面积= S △ABD －S 扇形ABE= 2130662360π⨯⨯⨯-=3π ．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的O 与BC 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求半径OA 的长.【答案】（1）见解析；（2）2OA =【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC 的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接OM ，过点O 作ON CD ⊥于点N ，∵O 与BC 相切，∴OM BC ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分BCD ∠，∴OM ON =，∴CD 与O 相切.（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴1,90,45AB B ACD ︒︒=∠=∠=，∴45AC MOC MCO ︒∠=∠=，∴MC OM OA ==，∴OC .又AC OA OC =+，∴OA 2OA =【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．（2）过作交于，可求，，，接可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，为的切线，，，，，，，，．。
专题08 切线的性质与判定重难点题型分类(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。
本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。
切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。
1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝26°，∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝32°，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即点P的坐标是（4，5）．故选：D．3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．【解答】（1）证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，r2+32＝（r+1）2，解得r＝4；由（1）有AC＝AD，AB＝AD+DB＝AC+DB＝AC+3，BC＝BE+2r＝1+8＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92＝（AC+3）2，解得AC＝12，∴S＝AC•BC﹣πr2＝×12×9﹣π×42＝54﹣8π．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC 于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，∴∠CED＝90°，∴CD是⊙O的直径；（2）解：连接OE，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC，∵若BE是⊙O的切线，∴BE⊥OE，∠BED+∠DEO＝∠DEO+∠OEC＝90°，∴∠BED＝∠OEC，∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠C＝∠OEC，在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO＝180°，∴∠C＝30°．（3）解：∵AB＝2，BC＝6，∴tan C＝，∠C＝30°，AC＝2AB＝4，∴EC＝2，∵cos∠C＝，∴cos30°＝，∴CD＝4，∴OC＝CD＝2，∵∠C＝∠CEO＝30°，∴∠COE＝120°，∴扇形OEC的面积为＝π，作OF⊥EC，垂足是F，∵∠C＝30°，∴OF＝OC＝1，∴△OCE的面积为×2×1＝，即阴影部分的面积为π﹣．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．47【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．8．（青竹湖）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt △OED（HL）∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x +y ）2﹣2xy ＝142﹣2×48＝100， 在Rt △COD 中，CD ＝＝＝＝10，∴CD ＝10．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．【解答】解：∵直角边长分别为6cm 和8cm ，∴斜边是10cm ，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm ． 故答案为：5．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为 ． 【解答】解：∵∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝＝＝8，∴△ABC 的内切圆半径r ＝＝2．故答案是：2．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC +BC ﹣AB ）＝1，∴AC +BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14． 故选：B ．12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________. 【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，如图，设Rt △ABC 的内切圆的半径为r ，则OD=OE=r ，∵∠C=90°，∴CE=CD=r ，AE=AN=3-r ，BD=BN=4-r ，∴4-r+3-r=5，解得r=1，∴AN=2，在Rt △OMN 中，MN=AM -AN=21， ∴25OM ，则该三角形内心与外心之间的距离为25.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE ＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB＝＝5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42＝R2，解得R＝，∴PD＝P A﹣AD＝﹣3＝，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ＝S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5＝•3•8，解得r＝，即QD＝，∴PQ＝PD+QD＝+＝．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。
初中数学教学课例《切线的判定定理与性质定理》教学设计及总结反思
(2)根据直线与圆只有一个公共点、d＝r 判断直线与圆 教学过程
相切．
设计意图：通过复习直线和圆的位置关系，为本节
课学习切线的判定定理和性质定理做好铺垫．
2．探索切线的判定定理
问题 2 如图 1，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A
作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线
切点，得到半径，那么半径垂直于切线． 设计意图：通过讨论，让学生小结添加辅助线的方
法，明确两定理的题设和结论，帮助学生正确使用定理． 练习教科书第 98 页练习第 1，2 题． 师生活动：两名学生分别板书 1，2 题，其他学生
在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并 评价．
设计意图：练习 1 是巩固切线的判定定理：已知直 线过圆上一点时，则作出过这一点的半径，证明直线垂 直于半径．练习 2 是巩固切线的性质定理．
理的题设和结论，这是正确使用定理的关键。
利用学生善于表现的特点，为学生搭建展示自己的 教学策略选
平台，通过生生互动、师生互动，答解了疑惑，得以突破。
1．复习直线与圆的位置关系
问题 1 直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线
与圆相切？
师生活动：教师提出问题，学生回顾前面所学的知
l 和⊙O 有什么位置关系？ 师生活动：学生思考后得到，圆心 O 到直线 l 的距
离是 OA，也就是⊙O 的半径，利用数量关系 d＝r，判 断出直线 l 是⊙O 的切线．
教师再次引导学生思考点 A 和直线 l 的位置，从而 得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
若学生对判定定理内容不理解，教师可进行说明： “垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离 d，“经过 半径外端”说明距离 d 等于半径；这是为了便于应用直 线和圆相切的定义而改写后的一种形式．
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。
本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。
同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。
2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。
在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。
3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。
4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
初中绝招数学-用切线的性质牵线搭桥
用切线的性质牵线搭桥袁芝馨圆的切线是圆中一个非常重要的知识点，前面我们已经给同学们介绍了如何进行切线的判定，这一讲我们将给同学们介绍如何灵活运用切线的性质，为圆中有关的证明与计算牵线搭桥． 一、与切线有关的性质1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2．切线的有关性质： （1）与圆只有一个交点；（2）圆心到切线的距离等于半径（d=r ）； （3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．【说明】：（4）、（5）只是由（3）推出的有关性质． 3．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 4．已知切线常考虑：（1）切线的性质（垂直于过切点的半径）；（2）切线长定理．5．已知切线常做的辅助线：作过切点的半径，构造直角三角形．二、例题讲解例1 如图1，AE 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ． 若∠A=36°，则∠CBE 的度数为_______．分析：连接OB （图2），则△ABO 为直角三角形，而△OBC 是等腰三角形，利用角之间的关系进行相互转换，便可求得∠CBE 的度数．解：连接OB （图2），∵ AE 为⊙O 的切线， ∴ ∠ABO=90°． 在Rt △ABO 中，∵∠A=36°， ∴∠AOB=54°． ∵ OB=OC ，∴∠C=∠OBC ， ∴ ∠AOB=∠OBC +∠C=2∠C ． ∴∠C=27°．∴∠CBE=∠A+∠C=63°．思考：若将∠A=36° 换成∠A =α ，那么∠CBE 的度数是多少？（答案：︒+452α）COBECOABE例2 如图1，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D ． （1）求证：AT平分∠BAC ；（2）若AD=2，TC=3，求⊙O 半径的长．【分析】（1）连结OT （图2），因为PQ 是⊙O 的切线，利用切线的性质，再进行角之间的相互转换，便可以得出结论；（2）过点O 作OM ⊥AC （图3），由垂径定理和勾股定理可以求出⊙O 半径的长． （1）证明：连结OT （图2）， ∵ PQ 是⊙O 的切线，∴ OT ⊥PQ ．∵ AC ⊥PQ ，∴ AC ∥OT ．∴∠OTA=∠TAC ． ∵ OA=OT ，∴∠OTA=∠OAT ． ∴∠OA T=∠CAT ．即AT 平分∠BAC ． （2）解：过点O 作OM ⊥AC （图3）， ∴ AM=MD =21AD=1 ． 又 ∠OTC=∠ACT=∠OMC =90° ∴ 四边形OTCM 是矩形． ∴ OM=TC=3．在Rt △AMO 中， ∵ OA 2=OM 2+AM 2=()23+12= 4，∴ OA=2．即⊙O 半径的长为2．说明：灵活运用圆的有关知识是解题的关键．思考：若连结BD 交OT 于点E （如图4），也可以求出⊙O 半径的长，请同学们课下完成．例3 已知：如图1，BAP 是⊙O 的割线，AB 是⊙O 的直径，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，且PA=AO=1．（1）求∠P 的度数； （2）求DE 的长．分析：由AB 是⊙O 的直径，PC 是⊙O 的切线，故连结OC 、AE 后（图2），可得∠PCO =∠AEB = 90°．利用直角三角形的有关知识，可求得∠P 的度数和DE 的长．解：（1）连结OC （图2），∵ PC 是⊙O 的切线，∴∠PCO = 90°． 在Rt △OCP 中，∵ PA=AO=OC ，图1 AB D O例2图1例2图2例2图3例2图4∴ OC=21PO ．∴∠P=30°． （2）在Rt △BDP 中，∵ PB=AP+AO+BO=3，∠P=30°， ∴ BD=21PB=23． 连接AE ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AEB =90°． ∴ ∠AEB=∠D = 90°．∴ AE ∥PD ． ∴ ∠EAB =∠P =30°．∴ BE=21AB=1． ∴ DE=DB －BE=21． 答：∠P=30°，DE=21． 说明：已知切线通常作过切点的半径，已知直径通常构造直径所对的圆周角．例4 如图1，AD 是半圆O 的直径，AB 、CD 与半圆O 切于点A 、D ，BC 切半圆O 于点E ，如果AB=4，CD=9，求半圆O 的直径．分析：由于BC 、CD 是由半圆O 外的一点C 向圆所作的两条切线上的线段，即切线长（切线AB 与BC 同理），因此可以利用切线长定理求出直径的长．解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，如图2，∵ BA 是半圆O 的切线，AD 是半圆O 的直径， ∴ BA ⊥AD ． 同理CD ⊥AD ， ∴ 四边形ABFD 是矩形．∴ BF=AD ，FD=BA=4． ∴ CF=CD -CF=5． ∵ CB 、BA 和CD 都是半圆O 的切线， ∴ CE=CD=9，BE=BA=4． ∴ CB=CE+EB=13． 在Rt △CFB 中，∵ 22CF CB BF -==12． ∴ AD=12．即半⊙O 直径的长为12．说明：（1）由于AB 、CD 、BC 都是半圆O 的切线，在有关圆的切线计算问题中，我们可联想切线长定理；（2）直角梯形常用的辅助线是做它的高线．图1。
初中数学 什么是切线
初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。
切线在数学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。
切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。
切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。
切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。
切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。
2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。
这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。
3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。
这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。
以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。
根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。
通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
2. 计算曲线上某点切线的斜率。
通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。
3. 解决与切线相关的几何问题。
切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。
通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。
总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。
切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。
切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。
直线与圆的位置关系
学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：初中数学学科教师：课题直线与圆的位置关系授课时间：备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求1、直线和圆的位置关系2、切线的性质3、切线的判定4、内切圆、切线长定理教学内容【基本知识点】直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，特别地：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：1、直线L和⊙O相交⇔d<r2、直线L和⊙O相切⇔d=r3、直线L和⊙O相离⇔d>r切线：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线就是圆的切线内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
4、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.解题决策：（1）圆的切线的判断：①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线（做垂直，证半径）②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（做半径，证垂直）当涉及切线问题时，因灵活应用切线的性质，通常连接切点和圆心【热门考点探析】考点一：直线与圆的位置关系1、（2011山东东营，12，3分）如图，直线333y x=+与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。
若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（）A．2 B．3 C．4 D． 5考点二：切线的性质2、（2011台湾台北，16）如图(六)，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点。
若∠ADE＝︒19，则∠AFB的度数为何？A．97 B．104 C．116 D．142考点三：切线的判定：3、（2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.C O BAD考点四：内切圆，切线长定理4、（2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.POC BA考点五：综合题：5、（深圳。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线的概念切线的判定和性质》优课教学设计_1
中考复习——《圆的切线证明》教学设计一、内容和内容解析1.内容新人教版教材九年级上册第24章。
2.内容解析切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。
除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。
它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用，是几何学习中必不可少的知识和工具。
切线的判定揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。
切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法。
结合教学实际及《课程标准》要求，我对教材内容略作了调整。
当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定。
二、目标和目标解析1.目标（1）理解切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单的问题。
（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程。
三、教学问题诊断分析学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等。
具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。
学习本节课内容之前学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。
人教版初中数学九年级上册 切线的概念切线的判定和性质 精品
切线的判定和性质复习课教学设计一、教材分析切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用，是中考的重要考点之一，除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。
除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。
二、教学目标（1）知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定和性质定理，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。
（2）过程与方法：培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。
（3）情感、态度与价值观：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯。
三、教学重点与难点重点：①理解并掌握圆的切线的判定和性质；②熟练运用切线的判定和性质解决简单的数学问题。
难点：利用切线的判定和性质解决几何问题的技巧——辅助线的添加。
四、教学过程设计一、复习（多媒体显示问题）1直线和圆有哪些位置关系2圆的切线怎样定义3切线的判定定理4切线的性质定理5判断一条直线是圆的切线，你会有多少种方法设计意图：让学生回忆起圆的切线的判定定理和性质定理，为下一步的应用做好铺垫。
教师：判断一条直线是圆的切线有三种方法，那么对于具体的问题我们如何快速的选择合适的方法去判断这条直线是圆的切线呢反过来，如果已知了一条直线是圆的切线，我们又有什么样的结论可以用呢我们这节课来梳理一下。
（板书课题）：切线的判定和性质教师：首先我们来判断下面几个命题是否正确（多媒体显示） 1 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）设计意图：通过三个问题，让学生进一步明确满足什么条件的直线才是圆的切线。
初中数学_切线的判定和性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《24.2.2切线的判定和性质》教学设计【学习目标】1、知识与技能（1）能判定一条直线是否为圆的切线。
（2）切线的性质定理的应用。
2、过程与方法（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。
（2）通过切线的判定定理和性质定理的学习，提高学生的综合运用能力。
3、情感态度与价值观（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．【学习重点】圆的切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。
【学习难点】圆的切线的判定定理灵活运用。
【教学过程】二、探究讨论，发现新知探究切线的判定定理1、通过画图发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径OA．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．反例巩固知识点：图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．图1 图23、总结切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．4、应用定理，强化训练'例1 如图,直线AB 经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.oCA B5、切线的性质定理如图，已知直线l为⊙O的切线，A为切点，观察并猜想直线l与半径OA有怎样的位置关系?答问题，教师引导学生总结切线的前两种判定方法。
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．用反例加深印象。
师生共同总结切线的三种判定方法。
初中数学-切线问题教法解析
连结CF并延长交BA的延长线于点P。求证：PC是⊙O的切
线.
C
证明：连接OC，则OC=OA
F
∴△OAC为等腰三角形
∵OE⊥AC
B
E
O
A
P
∴∠AOF=∠COF
在△OAF与△OCF中
OA=OC
又∵AF切⊙O于A点
∠AOF=∠COF
∴∠OCF=∠OAF=90°
OF=OF
∴PC是⊙O的切线
∴△OAF≌△OCF
证明：连接OC,则OC=OA
D
∴∠OCA=∠OAC 又∵DC=DE ∴∠DCE=∠DEC 又∵∠DEC=∠AEM
F
E A
M
C B
O
∴∠AEM=∠DCE
又∵DM⊥AB
∴∠AEM+∠EAM=90°
∴∠DCE+∠ACO=90° ∴DC是⊙O的切线
分两角，转移为求两角和为90°
例11、如图，△ABC中，E是AC上一点，∠CAB=2∠EBC， AE=AB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F。求 证：BC与⊙O相切；
证明：连接OD
E
∴OA=OD ∴∠OAD=∠ODA
C
D
∵AD平分∠OAE ∴∠EAD=∠OAD
A
B
O
∴∠EAD=∠ODA
∴AD//OD
又∵DE⊥AE
∴DE⊥OD
∴直线ED是⊙O的切线
证平行得垂直
例11、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交 BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F。 求证：EF与⊙O相切；
切线问题教法解析
圆切线问题主要内容
➢切线的性质及切线长定理的综合应用 ➢切线的证明
最新人教版初中九年级上册数学《切线的判定与性质》导学案
24.2.2直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、新课导入1.导入课题:情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）2.学习目标:（1）能推导切线的判定定理和性质定理.（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.3.学习重、难点：重点：切线的判定定理与性质定理.难点：切线的判定与性质的初步运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第97页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O 有什么位置关系？a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA .b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.④请总结一下判定切线共有哪几种方法？a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.b.切线的判定定理.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.4.强化：（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.（2）常见的辅助线作法及证法：①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？解：是.理由：∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、思考、归纳.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？l⊥OA.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l ⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.③切线共有哪些性质？a.切线与圆只有一个公共点.b.圆心到切线的距离等于半径.c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O 的切线.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.4.强化：（1）①与圆有唯一公共点切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径③垂直于过切点的半径..⎧⎪⎨⎪⎩.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法正确的是（B）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）A.24°B.25°C.28°D.30°3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP（垂径定理）.5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O 的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.。
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D
C
初中数学切线的性质与判定
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AB是圆O的弦，C是圆O外一点，BC是圆O的 切线，AB交过Ｃ点的直径于点Ｄ，ＯＡ⊥Ｃ Ｄ，试判断∆ＢＣＤ的形状，并说明你的理由。
解：连接BO 可知：OA=OB 所以∠A= ∠OBD 又ＯＡ⊥ＣＤ ∠A+ ∠ADO=90°。 CB为圆Ｏ的切线。 ∠ＯＢＤ＋ ∠DBC=90° 所以∠ADO= ∠DBC ∠ADO=∠BDC（对顶角） 即∠BDC=∠DBC 所以∆BDC为等腰三角形。
２、数量法（ｄ＝ｒ）：和圆的距离等于半 径的直线是圆的切线。
３、判定定理：经过半径外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
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内切圆和内心的定义：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的内心。
∆ABC的内切圆圆O与ＢＣ、CA、AB分别相切于D、E、 A
Ａ
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ｂ
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如图所示，ＰＢＣ是圆Ｏ的割线，Ａ点是圆Ｏ上一点，且 ＰＡ２＝ＰＢ×ＰＣ。求证：PA是圆O的切线.
证明： 连接AB AC，连接BO并延长与圆O相交于点
D
P
A
在△PBA和 △PAC中，PA/PC=PB/PA（题意） ， ∠P这公共角，
∴△PBA和 △PAC相似
B
∴∠PAB=∠PCA
连接OA AD,易知 ∠ADB=∠PCA(圆周角)
∵BD是直径，OB OA OD是半径 C ∴∠BAO+∠OAD=90°，∠OAD=∠ODA
∴∠PAB=∠OAD
∴∠PAB+∠BAO=90°
∴PA是圆O的切线(切线判定定理)
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已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以腰
DC的中点E为圆心的圆与ＡＢ相切，梯形的上底Ａ
Ｄ与底ＢＣ是方程ｘ２－１０ｘ＋１６＝０的两根，
求圆Ｅ的半径ｒ．
ＡＤ
解：连接EF，F为圆E的切点
因为EF⊥ＡＢ 所以EF//BC
F
E
且E为CD中点 所以ＥＦ为梯形ABCD的中位线
又AD、BC的为x2-10x+16=0的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根
所以AD=2，BC=8 EF=1/2(AD+BC)=5 即半径为5.
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Dr.Feng
问题：
如图，在圆O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA，则直线L圆O的位置关系怎样？为什么？
O
A
l
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
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2
证明直线与圆相切有如下三种途径：
１、定义法：和圆有且只有一个公共点的直 线是圆的切线。
F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的 F 长解。：连OA、OB、OC，OE、OF、OD
根据垂直平分线的性质。有 AE=AF，BF=BD，CD=CE
B
可设AE=AF=x 则BF=BD=9-x,CD=CE=13-x
O D
E
C
BD+CD=9-x+13-x=14
x=4
所以AF=4，BD=5，CE=9
Ｂ
Ｃ
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切线的性质：
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
初中数学切线的性质与判定
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如图所示，直线AB切圆O于点C，DE是圆O的直径， EF⊥AB于F，DC的延长线与EF的延长线交于点G，若 ∠E=80°，求∠G的度数。
O
E
D
A
C
FB
G
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如图所示，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， ＡＤ／／ＢＣ，Ｅ为ＡＢ上一点，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，CE 平分∠BCD。 求证:(1)DE ⊥CE. (2)以AB为直径的圆与CD相切。
D1 3
2C 4
A
E
B
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如图，圆O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，
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在直角∆ABC中，∠B=90°，∠A的平分
A
线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作
圆D。
试证明说：明连：DAFC是圆O的切线。
F
因为DB⊥AB 垂足为点B，又点B在圆上。
所以AB为圆D的切线。
又AD为∠A的角平分线 所以DF ⊥AC且DB=DF 即：AC为圆D的切线。
B
DE切YY圆O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BD=y.
(1)求证：AM//BN; (2)求y关于x的关系式；
A
(3)求四边形ABCD的面积是S，并证明：S1≥S2
O
DM E
B
CN
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Dr.Feng
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