相似三角形的判定一
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可;②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等;③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当它们全等时,才有k=k′=1.③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理:平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE;(双A型)②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”;③有了预备定理后,在解题时不但要想到“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
可简单说成:两角对应相等,两三角形相似。
例1、已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.例2、如图,E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证:△ABC ∽△DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
多种方法判定直角三角形相似
多种方法判定直角三角形相似
除了上述提到的判定方法,直角三角形相似的判定方法还有以下几种:
1.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
2.如果直角三角形的斜边上的高相等,那么这两个直角三角形相似。
3.如果直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形相应的两条直角边分别
平行,那么这两个直角三角形相似。
4.直角三角形的两个锐角分别为α和β,如果α=β,那么这两个三角形相似。
5.如果两个直角三角形的两个角分别为α和β,且α+β=90°,那么这两个三角
形相似。
这些判定方法都是基于三角形相似的定义和性质推导出来的,可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个直角三角形是否相似。
相似三角形的判定1
∴
AD AE AB AC
∵AC=4,EC=1, ∴AE=3.
∴
AD 3 3 4
∴AD=2.25, ∴BD=0.75.
当堂训练
A B O E C F D
1.已知:如图,AB∥EF ∥CD,
3 对相似三角形. 图中共有____
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
相似三角形:
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. A A′
C
C
B ∽ 记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC___ △A′B′C′
B′
′
相似用符号“∽”表示,读作“相似于”.
A′
A
B
C
B′ C′
定义,即是性质,也是判定.
你能用几何语言表述相似三角形性质吗?
如图,在△ABC与△A′B′C′中, ∵ △ABC∽△A′B′C′
(2)
△ADE∽△ABC
1.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,
叫做相似三角形.
2.△ABC与△DEF相似,记作:△ABC∽△DEF.
3. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似比就是它们的对应边的比.
4、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. (关键要能熟练地找出对应线段) 5、平行线分线段成比例定理的推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应 线段成比例. (关键要能熟练地找出对应线段)
l
A
l
l1
E
l
A
D
l
l1 l2 l2
D
B
E C
l2
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等,且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角(AAA)相似定理、边-边-边(SSS)相似定理和边-角-边(SAS)相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等,且对应的边长成比例。
具体而言,对于三角形ABC和DEF来说,如果∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,并且AB/DE=BC/EF=AC/DF,则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角(AAA)相似定理角-角-角(AAA)相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等,则这两个三角形是相似的。
根据该定理,如果∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边(SSS)相似定理边-边-边(SSS)相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例,则这两个三角形是相似的。
根据该定理,如果AB/DE=BC/EF=AC/DF,则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边(SAS)相似定理边-角-边(SAS)相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例,且夹角相等,则这两个三角形是相似的。
根据该定理,如果AB/DE=AC/DF,且∠A=∠D,则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结:相似三角形是指两个三角形的对应角度相等,且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角(AAA)相似定理、边-边-边(SSS)相似定理和边-角-边(SAS)相似定理。
通过这些判定方法,我们可以确定两个三角形是否相似,并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用,可以用于解决各种问题,如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛,深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似;
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
3、三边成比例的两个三角形相近;
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似;
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边,分别对应成比例,如果三组对应边较之都相同,则三角形相近。
方法一:定理法,即平行于三角形一边的直线和其他俩边(或他的延长线)相交,所
截得的三角形与原三角形相似,俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形,小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边;
方法二:俩角对应成正比的三角形相近,俗语来说先找出这两个三角形的对应边,间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近;
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,俗话来讲:先找到各对应边对应角,一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等,即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等;
方法四:三边对应成比例,俗语来说:如上均先找出对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等,比法均一致;
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近,俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
判定直角三角形相似的方法
判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相近。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边,分别对应成比例,如果三组对应边较之都相同,则三角形相近。
相似三角形介绍:
三角分别成正比,三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广。
全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合,它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中,边、角的关系。
相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
投影全系列等三角形的认定定理,可以得出结论以下结论:
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。
根据以上判定定理,可以推出下列结论:
1、三边对应平行的两个三角形相近。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.(一)相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
2.判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.3.判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.要点:此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必需是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.4.判定定理3:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.一、单选题1.如图,AD ,BC 相交于点O ,由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是( )A .AB ∥CD B .∠C =∠B C .OA OBOD OC= D .OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB =∠DOC 是对顶角,应用两三角形相似的判定定理,即可作出判断. 【详解】解:A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ,故本选项不符合题意. B 、由∠AOB =∠DOC 、∠C =∠B 能判定△AOB ∽△DOC ,故本选项不符合题意.C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB =∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ,故本选项不符合题意. D 、已知两组对应边的比相等:OA ABOD CD = ,但其夹角不一定对应相等,不能判定△AOB 与△DOC 相似,故本选项符合题意. 故选:DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;③三组对应边的比相等,则两个三角形相似.2.如图,D 是ABC 的边BC 上的一点,那么下列四个条件中,不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是( )A .C BAD ∠=∠B .BAC BDA ∠=∠ C .AC ADBC AB = D .2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案.【详解】解:C BAD ∠=∠,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项A 不符合题意;BAC BDA ∠=∠,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项B 不符合题意;AC ADBC AB =,但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等,所以无法判定两三角形相似,故选项C 符合题意;2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =,B B ∠=∠,ABC ∽DBA ,故选项D 不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,熟练掌握相关定理是解题的关键. 3.下列各种图形中,有可能不相似的是( ) A .有一个角是45的两个等腰三角形 B .有一个角是60的两个等腰三角形 C .有一个角是110的两个等腰三角形 D .两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关,注意的是一个角是一个角是45°,这个角可能是顶角或者底角,有一个角是60,这个三角形就是等边三角形,一个角是110,这个角一定是顶角,若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A .各有一个角是45°的两个等腰三角形,有可能是一个为顶角,另一个为底角,此时不相似,故此选项符合题意;B .各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形,两个等边三角形相似,故此选项不合题意;C .各有一个角是110°的两个等腰三角形,此角必为顶角,则底角都为35°,则这两个三角形必相似,故此选项不合题意;D .两个等腰直角三角形,底角是45°顶角是90°,为固定值,此三角形必相似,故此选项不合题意; 故选A .【点睛】本题解题关键在于,找准一个角是45,60,110的等腰三角形有几种情况,再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4.下列条件,能使ABC 和111A B C △相似的是( )A .1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B .11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C.11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D.1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断.【详解】解:A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==,不能使ABC ∆和△111A B C 相似,错误; B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======,能使ABC ∆和△111A B C 相似,正确;C、1111AB BC A B B C ≠=,不能使ABC ∆和△111A B C 相似,错误; D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似,错误; 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定.识别三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出三角形的对应边、对应角.5.下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A .AB AC DE DF = B .AB ACDE DF =,A F ∠=∠ C .AB AC DE DF =,B E ∠=∠ D .AB ACDE DF =,A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,逐项判断即可得出答案.【详解】解:A.AB ACDE DF =,A D ∠=∠,则ABC DEF ∽△△,故此选项错误; B. AB ACDE DF =,A D ∠=∠,则ABC DEF ∽△△,故此选项错误; C.AB ACDE DF =,A D ∠=∠,则ABC DEF ∽△△,故此选项错误; D.AB ACDE DF =,A D ∠=∠,则ABC DEF ∽△△,故此选项正确; 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理,熟记定理内容是解此题的关键. 6.如图,要使ACD ABC △△∽,需要具备的条件是( )A .AC ABAD BC = B .CD BCAD AC = C .2AC AD AB =⋅D .2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A =∠A ,根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似,得出添加的条件只能是AC ADAB AC =,根据比例性质即可推出答案. 【详解】解:∵在△ACD 和△ABC 中,∠A =∠A ,∴根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似,得出添加的条件是:AC ADAB AC =, ∴2AC AD AB ⋅= . 故选:C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,注意:有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似. 7.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是( )A .∠AED=∠B B .AD AEAC AB = C .AD·BC= DE·AC D .DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可. 【详解】∵∠AED=∠B ,∠A=∠A , ∴△ADE ∽△ACB , 故A 不符合题意; ∵AD AEAC AB =,∠A=∠A , ∴△ADE ∽△ACB , 故B 不符合题意;∵AD·BC= DE·AC ,无夹角相等, ∴不能判定△ADE ∽△ACB , 故C 符合题意; ∵DE//BC , ∴△ADE ∽△ACB , 故D 不符合题意; 故选C .【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件,熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键. 8.如图,等边ABC 中,点E 是AB 的中点,点D 在AC 上,且2DC DA =,则( )A .AED BED ∽△△ B .AED CBD ∽△△ C .AED ABD ∽△△ D .BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质,中点的定义得到2BC AB AE ==,60A C ∠=∠=︒,结合2DC DA =,得到12AE AD CB CD ==,即可得到AED CBD ∽△△. 【详解】解:∵ABC 是等边三角形, ∴BC AB =,60A C ∠=∠=︒, ∵点E 是AB 的中点, ∴2BC AB AE ==, ∵2DC DA =, ∴12AE AD CB CD ==,∵60A C ∠=∠=︒,∴AED CBD ∽△△. 故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,等边三角形的性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断.9.如图,在ACB △中,90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线,过点F 作FE AF ⊥,交AB 于点E ,交AC 的延长线于点D ,则下列说法正确的是( )A .CDF EBF ∽B .ADF ABF ∽C .ADF CFD ∽D .ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题. 【详解】解:EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线,CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意,选项A 、B 、C 均不符合题意,故选:D .【点睛】本题考查相似三角形的判定方法,角平分线的性质等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.10.如图,四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ,且将这个四边形分成四个三角形,若::OA OC OB OD =,则下列结论中正确的是( )A .△AOB ∽△AOD B .△AOD ∽△BOC C .△AOB ∽△BOCD .△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等,即可判断△AOB ∽△COD . 【详解】解:∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O , ∴∠AOB=∠COD , 在△AOB 和△COD 中, =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD . 故选:D .【点睛】本题考查相似三角形的判定.熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键.二、填空题11.如图,在ABC 中,点D 在AB 边上,点E 在AC 边上,请添加一个条件_________,使ADE ABC △△∽.【解答】∠ADE=∠B (答案不唯一).【提示】已知有一个公共角,则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定. 【详解】解∶∵∠A=∠A ,∴根据两角相等的两个三角形相似,可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似; 根据两边对应成比例且夹角相等,可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似. 故答案为∶∠ADE =∠B (答案不唯一).【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定,解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 12.图,在ABC 中,AB AC >,点D 在AB 上(点D 与A ,B 不重合),若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△,则这个条件是________(写出一个条件即可).【解答】ACD ABC ∠=∠(答案不唯一)【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等,那么这两个三角形相似,据此添加条件即可. 【详解】解:添加ACD ABC ∠=∠,可以使两个三角形相似. ∵CAD BAC ∠=∠,ACD ABC ∠=∠, ∴ACD ABC △∽△.故答案为:ACD ABC ∠=∠(答案不唯一)【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,两组角对应相等的两个三角形相似.理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键.13.如图,∠1=∠2,请补充一个条件:________________,使△ABC ∽△ADE .【解答】∠C =∠E 或∠B =∠ADE(答案不唯一)【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定. 【详解】∵∠1=∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC =∠DAE又∵∠C =∠E (或∠B =∠ADE ) ∴△ABC ∽△ADE .故答案为:∠C =∠E 或∠B =∠ADE (答案不唯一).【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟悉相似三角形的几个判定定理是关键. 14.如图,在ABC 中,点D 为边AC 上的一点,选择下列条件:①2A ∠=∠;②1CBA ∠=∠;③BC CDAC AB =;④BC CD DB AC BC AB ==中的一个,不能得出ABC 和BCD △相似的是:__________(填序号).【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论.【详解】解:①2A ∠=∠,C C ∠=∠时,ABC BDC ∆∆∽,故①不符合题意; ②1CBA ∠=∠,C C ∠=∠时,ABC BDC ∆∆∽,故②不符合题意; ③BC CDAC AB =,C C ∠=∠时,不能推出ABC BDC ∆∆∽,故③符合题意; ④BC CD DBAC BC AB ==,C C ∠=∠时,ABC BDC ∆∆∽,故④不符合题意, 故答案为:③【点睛】本题考查了相似三角形的判定,解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;有两角对应相等的两个三角形相似.15.如图,在ABC 中,DE BC ∥,DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ,DC 、BE 交于点O ,则相似三角形有______.【解答】ADE∽ABC,DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥,找出相等的角,进而得到相似三角形.【详解】解:∵DE BC∥,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴ADE∽ABC,∵DE BC∥,∴∠EDO=∠BCO,∠DEO=∠CBO,∴DOE∽COB△,故答案为ADE∽ABC,DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定,解题的关键是掌握:一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,这两个三角形相似.16.如图,在△ABC中,AB=10,AC=5,AD是角平分线,CE是高,过点D作DF⊥AB,垂足为F,若DF=83,则线段CE的长是______.【解答】4【提示】延长AC,作DG⊥AC,根据根据角平分线的性质得到FD=GD,再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解:延长AC,作DG⊥AC,∵AD平方∠BAC,∴FD=DG,∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17.如图,在ABC 中,8AB cm =,16BC cm =,动点P 从点A 开始沿AB 边运动,速度为2/cm s ;动点Q 从点B 开始沿BC 边运动,速度为4/cm s ;如果P 、Q 两动点同时运动,那么经过______秒时QBP △与ABC 相似.【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时,QBP △与ABC 相似,则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论:BP BQBA BC =时,BPQ BAC ∽,即824816t t -=;当BP BQ BCBA =时,BPQ BCA △∽△,即824168t t -=,然后解方程即可求出答案. 【详解】解:设经过t 秒时,QBP △与ABC 相似, 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠,∴当BP BQBA BC =时,BPQ BAC ∽, 即824816t t -=, 解得:2t =;当BP BQ BC BA =时,BPQ BCA △∽△,即824168t t-=, 解得:0.8t =;综上所述:经过0.8s 或2s 秒时,QBP △与ABC 相似,【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似,解题的关键是准确分析题意列出方程求解.18.如图,正方形ABCD 的边长为2,连接BD ,点P 是线段AD 延长线上的一个动点,45PBQ ∠=︒,点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点,当BD 平分PBQ ∠时,PD ______QD (填“>”“<”或“=”):当BD 不平分PBQ ∠时,PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时, ∠PBQ=45°,∴∠QBD=∠PBD=22.5°, ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°,∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°, 在△ABP 和△CBQ 中,A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ (ASA ), ∴BP=BQ ,在△QBD 和△PBD 中,BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD (SAS ), ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时, ∵AB ∥CQ , ∴∠ABQ=∠CQB ,∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°, ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ,∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ,∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8, 故答案为:=,8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19.已知:D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点,AB =8,AD =3,AC =6,AE =4,求证:△ABC ∽△AED .【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =,再根据∠A=∠A 推出相似即可. 【详解】证明:在△ABC 和△AED 中, ∵824AB AE ==,623AC AD ==,∴AB ACAE AD =, 又∵∠A =∠A ,∴△ABC ∽△AED .【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用,注意:有两边的对应成比例,且夹角相等的两三角形相似.20.已知:在△ABC 和△A′B′C′中, AB BC ACA B B C A C '''='''=.求证:△ABC ∽△A′B′C′.【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ,AC (或它们的延长线)上截取AD=A′B′,AE=A′C′,然后证明△ABC ∽△ADE ,再△ADE ≌△A′B′C′即可.【详解】在△ABC 的边AB ,AC (或它们的延长线)上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE . ∵AB ACA B A C ='''',AD=A′B′,AE=A′C′, ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ,∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C ='''',AD= A′B′, ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′, ∴△ABC ∽△A′B′C′.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,三边对应成比例的两个三角形相似,灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,全等三角形的判定是解决本题的关键. 21.已知:如图,在ABC 和A B C '''中,,A A B B ∠=∠∠=∠''. 求证:ABC A B C '''∽△△.【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB (或它的延长线)上截取AD A B ='',过点D 作BC 的平行线,交AC 于点E ,过点D 作AC 的平行线,交BC 于点F ,容易得到ADE ABC △△∽,然后证明ADE A B C '''≌,从而即可得到ABC A B C '''∽△△.【详解】证明:在ABC 的边AB (或它的延长线)上截取AD A B ='',过点D 作BC 的平行线,交AC 于点E ,则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠,AD AEAB AC =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).过点D 作AC 的平行线,交BC 于点F ,则AD CFAB CB =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). ∴AE CFAC CB =. ∵//,//DE BC DF AC , ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE CF =.∴AEDEAC CB =. ∴ADAE DEAB AC BC ==.而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠, ∴ADE ABC △△∽.∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠='''', ∴ADE A B C '''≌. ∴ABC A B C '''∽△△.【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明,熟读教材是解题的关键. 22.如图,Rt ABC 中,CD 是斜边AB 上的高.求证:(1)ACD ABC △∽△; (2)CBD ABC ∽△△. 【解答】(1)见解析;(2)见解析【提示】(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可. (2)根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可. 【详解】证明:(1)∵CD 是斜边AB 上的高, ∴∠ADC =90°,∴∠ADC =∠ACB =90°, ∵∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC .(2)∵CD 是斜边AB 上的高, ∴∠BDC =90°,∴∠BDC =∠ACB =90°, ∵∠B =∠B , ∴△CBD ∽△ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理;熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键.23.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且∠ABC =∠DBE ,∠3=∠4. 求证:(1)△ABD ∽△CBE ; (2)△ABC ∽△DBE .【解答】(1)证明见解析;(2)证明见解析;【提示】(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE;(2)先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE,再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似.【详解】(1)相似.理由如下:∵∠1=∠2,∠3=∠4.∴△ABD∽△CBE;(2)相似.理由如下:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DBC=∠2+DBC,即∠ABC=∠DBE,∵△ABD∽△CBE,∴=,∴=,∴△ABC∽△DBE.【点睛】本题考查了三角形相似的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键.24.已知如图所示,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F、E,试证明:(1)△BAF∽△BCE.(2)△BEF∽△BCA.【解答】(1)答案见解析;(2)答案见解析【提示】(1)根据两角相等,两个三角形相似即可得出结论;(2)根据(1)得到△BAF ∽△BCE ,再由相似三角形的对应边成比例,得到BF :BE=BA :BC ,由两边对应成比例,夹角相等两个三角形相似,即可得出结论. 【详解】(1)∵AF ⊥BC ,CE ⊥AB ,∴∠AFB=∠CEB=90°. ∵∠B=∠B ,∴△BAF ∽△BCE ;(2)∵△BAF ∽△BCE ,∴BF :BE=BA :BC . ∵∠B=∠B ,∴△BEF ∽△BCA .【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.25.如图,在△ABC 和△ADE 中,AB BC ACAD DE AE ==,点B 、D 、E 在一条直线上,求证:△ABD ∽△ACE .【解答】证明见解析;【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ,即可得∠BAD=∠CAE ,再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE .【详解】∵在△ABC 和△ADE 中,AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE , ∴∠BAC=∠DAE , ∴∠BAD=∠CAE , ∵AB ACAD AE =, ∴AB ADAC AE =, ∴△ABD ∽△ACE .【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键. 26.如图,△ABC 与 △ADE 中,∠ACB=∠AED=90°,连接BD 、CE ,∠EAC=∠DAB.(1)求证:△ABC ∽△ADE ; (2)求证:△BAD ∽△CAE ;(3)已知BC=4,AC=3,AE=32.将△AED 绕点A 旋转,当点E 落在线段CD 上时,求 BD 的长.【解答】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)BD=53.【提示】(1)由已知可得∠CAB=∠EAD ,∠ACB=∠AED=90°,则结论得证; (2)由(1)知AC AEAB AD =,∠EAC=∠DAB ,则结论得证; (3)先证△ABC ∽△ADE ,求出AE 、AD 的长,则BD 可求. 【详解】证明:(1)∵∠EAC=∠DAB , ∴∠CAB=∠EAD , ∵∠ACB=∠AED=90°, ∴△ABC ∽△ADE ;(2)由(1)知△ABC ∽△ADE , ∴AC AEAB AD =, ∵∠EAC=∠BAD , ∴△BAD ∽△CAE ;(3)∵∠ACB=90°,BC=4,AC=3,∴2222=43BC AC ++,∵△ABC ∽△ADE , ∴AC AB AE AD =, ∴AD=5=•2AB AE AC , 如图,将△AED 绕点A 旋转,当点E 落在线段CD 上时,∠AEC=∠ADB=90°,∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.。
三角形相似的判定定理1
三角形相似的判定定理1
三角形相似的定理1是一种衡量三角形相似程度的方法,它可以用来测量两个三角形之间的相似程度,从而推断出相应的几何关系。
三角形相似的定理1指出:在空间平面上,如果两个三角形的内角之比相等,那么两个三角形相似。
该定理的另一个表述为:如果两个三角形的三个内角分别相等,那么这两个三角形相似。
换言之,如果两个三角形的内角相等,那么这两个三角形相似,即使他们的边长不相等也具有相同的几何形状。
例子:
考虑三角形ABC和三角形XYZ,我们可以推断他们之间的定理:如果∠A =∠X,∠B= ∠Y,以及∠C = ∠Z,那么三角形ABC和三角形XYZ相似,即使它们的边长不相等也能够被认定为相似。
再考虑三角形ABC和DE的的情况。
现在,如果∠A = ∠X,∠B = ∠Y,∠C = ∠Z,并且AB/AX = BC/BY = CA/CZ,则这两个三角形也是相似的。
综上,我们可以得出结论:如果两个三角形完全相同(角相等)或者两个三角形的三个内角相等并且边长之比相等,则两个三角形相似。
这就是著名的三角形相似的定理1。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 特殊、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1,下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”)ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法在几何学中,三角形的相似性是一个非常重要的概念。
相似三角形具有相似的形状,但可能具有不同的大小。
在实际问题中,我们常常需要判定两个三角形是否相似,因此掌握三角形相似的判定方法是非常重要的。
下面我们将介绍几种常用的三角形相似的判定方法。
首先,我们来看一下两个三角形相似的定义。
如果两个三角形的对应角相等,并且对应边的比值相等,那么这两个三角形就是相似的。
根据这个定义,我们可以得出以下几种判定方法。
第一种判定方法是AAA相似判定法。
AAA相似判定法是指如果两个三角形的对应角分别相等,那么这两个三角形就是相似的。
这是最为简单的相似判定方法,但需要注意的是,对应角相等只是两个三角形相似的充分条件,而不是必要条件。
也就是说,如果两个三角形的对应角相等,它们不一定相似。
因此,在使用AAA 相似判定法时,需要慎重考虑其他条件。
第二种判定方法是AA相似判定法。
AA相似判定法是指如果两个三角形的一个角相等,并且这个角的对边与对边的比值相等,那么这两个三角形就是相似的。
与AAA相似判定法相比,AA相似判定法的条件更为严格,但也更为准确。
在实际问题中,我们常常会利用AA相似判定法来判定三角形的相似性。
第三种判定方法是SAS相似判定法。
SAS相似判定法是指如果两个三角形的一个角相等,并且这个角的两边分别与另一个角的两边成比例,那么这两个三角形就是相似的。
SAS相似判定法是相似判定法中最为常用的一种,也是最为实用的一种。
在实际问题中,我们常常会利用SAS相似判定法来判定三角形的相似性。
除了上述三种相似判定法外,还有一些其他的判定方法,如SSS相似判定法、底角相等定理等。
在实际问题中,我们可以根据具体情况选择合适的相似判定方法来判定三角形的相似性。
总的来说,三角形相似的判定方法是一个非常重要且实用的几何学知识。
通过掌握相似判定方法,我们可以更好地理解和解决实际问题,提高数学应用能力。
希望通过本文的介绍,读者能够对三角形相似的判定方法有一个更加清晰和深入的认识。
相似三角形的判定(一)
第4讲相似三角形的判定(一)知识框架相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容,本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2;重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理,以及这两者之间的相互结合.4.1相似三角形判定定理11、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,且它们各有的三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形.如图,DE是ABC∆的中位线,那么在ADE∆与ABC∆中,A A∠=∠,ADE B∠=∠,AED C∠=∠;12AD DE AEAB BC AC===.由相似三角形的定义,可知这两个三角形相似.用符号来表示,记作ADE∆∽ABC∆,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点;符号“∽”读作“相似于”.用符号表示两个相似三角形时,通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上.根据相似三角形的定义,可以得出:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比(或相似系数).(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似.2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似.如图,已知直线l与ABC∆的两边AB、AC所在直线分别交于点D和点E,则ADE△∽ABC△.知识精讲3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.可简述为:两角对应相等,两个三角形相似.如图,在ABC ∆与111A B C ∆中,如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠,那么ABC ∆∽111A B C ∆.常见模型如下:例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似,并说明理由;如果相似,那么用符号表示出来.(1)70A D ∠=∠=︒,60B ∠=︒,50E ∠=︒;(2)40A ∠=︒,80B ∠=︒,80E ∠=︒,60F ∠=︒.例2. 如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F .图中 有哪几对相似三角形?例题分析例3. 如图,1=2=3∠∠∠,那么图中相似的三角形有哪几对?例4. 如图,D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点,且AED B ∠=∠.求证:AE AC AD AB ⋅=⋅.例5. 如图,Rt ABC ∆在中,90C ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,且:9:4AD BD =,求:AC BC 的值.例6. 如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,D 是BC 中点,AE AD ⊥交CB 延长线于点E ,则BAE △相似于.例7. 如图,90ACB CED ∠=∠=︒,CD AB ⊥于点D ,3AC =,4BC =,求ED 的长.例8. 如图,AB BD ⊥,ED BD ⊥,点C 在线段BD 上运动,1ED =,4BD =,4AB =,若ABC △与CDE △相似,求BC 的值.例9. 如图,ABC ∆是等边三角形,120DAE ∠=︒,求证AD AE AB DE =g g .例10. 正方形ABCD 中,E 是AD 中点,BM CE ⊥于点M ,6AB =厘米,求BM 的长.例11. 如图,在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ,点O 是AC 边上一点,联结BO交AD 于点F ,OE OB ⊥交BC 边于点E .求证:ABF ∆∽COE ∆.例12. 如图,在ABC △中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点P 是ABC △内一点,且满足135APB APC ∠=∠=︒.求证:CPA ∆∽APB ∆.例13. 如图,在梯形ABCD 中,AB //CD ,且2AB CD =,点E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF 与BD 相交于点M . (1)求证:EDM △∽FBM △;(2)若6DB =,求BM .例14. 如图,在ABC △中,AB AC =,DE //BC ,点F 在边AC 上,DF 与BE 相交于点G ,且EDF ABE ∠=∠. (1)求证:DEF △∽BDE △;(2)DG DF DB EF ⋅=⋅.例15. 如图,已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形,D 、E 分别在边AB 、BC 上,请找出一个与BDE ∆相似的三角形,并加以证明.例16. 如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,OF BD ⊥于点O ,交CD 于点E ,交BC 的延长线于点F .求证:2AO OE OF =⋅.例17. 如图,ABC △中,AB AC =,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF //AB , 延长BP 交AC 于点E ,交CF 于点F .求证:2BP PE PF =⋅.例18. 如图,在ABC △中,12AB AC ==,6BC =,点D 在边AB 上,点E 在线段CD 上,且BEC ACB ∠=,BE 的延长线与边AC 相交于点F . (1)求证:BE CD BD BC ⋅=⋅;(2)设AD x =,AF y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.4.2 相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.可简述为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.如图,在ABC△与111A B C△中,1A A∠=∠,1111AB ACA B AC=,那么ABC△∽111A B C△.例1.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,2OA=,3OB=,6OC=,4OD=.求证:OAD△∽OBC△.例2.如图,点D是ABC∆的边AB上的一点,且2AC AD AB=⋅.求证:ACD△∽ABC△.知识精讲例题分析例3. 如图,在ABC △与AED △中,AB ACAE AD=,BAD CAE ∠=∠.求证:ABC △∽AED △.例4. 下列说法一定正确的是( )(A )有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似; (B )对应角相等的两个三角形不一定相似;(C )有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; (D )一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似.例5. 在ABC △和DEF △中,由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是( )(A )AB ACDE DF =,B E ∠=∠; (B )AB AC =,DE DF =,B E ∠=∠; (C )AB ACDE DF=,A D ∠=∠; (D )AB AC =,DE DF =,C F ∠=∠. 例6. 如图,D 是ABC △内一点,E 是ABC △外一点,EBC DBA ∠=∠,ECB DAB ∠=∠,求证:BDE BAC ∠=∠.例7. 已知,在ABC △中,BE 、CF 是ABC ∆的两条高,BE 、CF 交于点G .求证:(1)AC CE CF GC ⋅=⋅;(2)AFE ACB ∠=∠.例8. 如图,点O 是ABC △的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点),联结AO 交CB 的延长线于点D ,联结CO 交的AB 延长线于点E ,联结DE .求证:ODE △∽OCA △.例9. 如图,ABC △∽''AB C △,点'B 、'C 分别对应点B 、C .求证:'ABB △∽'ACC △.例10. 如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠,MN交CD 于点N ,求证:2DNCN=.例11. 如图,在ABC △中,90BAC ∠=︒,AD 是边BC 上的高,点E 在线段DC 上,EF AB ⊥,EG AC ⊥,垂足分别为F 、G .求证:(1)EG CGAD CD=;(2)FD DG ⊥.例12. 如图,在ABC △中,正方形EFGH 内接于ABC ∆,点E 、F 在边AB 上,点G 、H 分别在BC 、AC 上,且2EF AE FB =⋅.求证:(1)90C ∠=︒;(2)AH CG AE FB ⋅=⋅.例13. 如图,PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线,垂直为点H ,并交直角边AB 于点P ,D 是PH 上一点,且AD 是AP 与AB 的比例中项.求证:(1)AP AB AH AC ⋅=⋅;(2)ACD △是等腰直角三角形.例14. 如图,16AB =厘米,12AC =厘米,动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动,其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止,点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止.经过多长时间后,APQ △与ABC △相似?4.3 课堂检测1. 根据下列条件,判断和是否是相似三角形;如果是,那么用符号表示出来.(1)45A ∠=︒,12cm AB =,15cm AC =,45D ∠=︒,16cm DE =,20cm DF =; (2)45A ∠=︒,12cm AB =,15cm AC =,45E ∠=︒,20cm ED =,16cm EF =; (3)45A ∠=︒,12cm AB =,15cm AC =,45D ∠=︒,16cm ED =,20cm EF =.2. 如图,在ABC ∆中,D 为边AC 上一点,DBC A ∠=∠,BC ,3AC =,则CD 的长为. 3. 如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,BD 平分ABC ∠,DE AB ⊥,若6BC =,8AC =,则CD =.第2题图 第3题图4. 如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,且DE AC ⊥,那么:CD AD =________.5. 如图,ABC △是直角三角形,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,E 是AC 的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F .求证:FB FDFD FC=.6. 如图,在ABC △中,点E 在中线BD 上,DAE ABD ∠=∠.求证:(1)2AD DE DB =⋅;(2)DEC ACB ∠=∠.7. 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,M 是边AB 的中点,E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点,45EMG ∠=︒,AC 与MG 的延长线相交于点F . (1)在不添加字母和线段的情况下,写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对; (2)联结EG ,当3AE =时,求EG 的长.8. 如图,在ABC △中,BD 平分ABC ∠,交AC 于点D ,点E 在BD 的延长线上,BA BD BC BE ⋅=⋅. (1)求证:AE AD =;(2)如果点F 在BD 上,CF CD =,求证:2BD BE BF =⋅.4.4 课后作业1. 如图,在ABC △中,AB 3AC =,D 是边AC 上一点,且:1:2AD DC =, 联结BD .求证:ABD ∆∽ACB ∆.2. 如图,ABC △中,P 为AB 上一点,在下列四个条件下,①ACP B ∠=∠;②APC ACB ∠=∠;③2AC AP AB =⋅;④AB CP AP CB ⋅=⋅,组合起来能得出:ABC ∆∽ACP △的是() (A )①、②、④ ; (B )①、③、④; (C )②、③、④ ; (D )①、②、③.3. 如图,在ABC △中,15AB =厘米,12AC =厘米,AD 是BAC ∠的外角平分线,DE //AB 交AC 的延长线于点E ,求CE 的长.4. 如图,在Rt ABC ∆中,AB AC =,45DAE ∠=︒.求证:(1)ABE △∽DCA △;(2)22BC BE CD =⋅.5. 如图,ABC △中,AB AC =,点D 是AB 上的动点,作EDC △∽ABC △.求证:(1)ACE ∆∽BCD ∆;(2)AE //BC .6. 如图,在ABC △中,AB AC =,AD AB ⊥于点A ,交BC 边于点E ,DC BC ⊥于 点C ,与AD 交于点D .(1)求证:ACE △∽ADC △;(2)如果1CE =,2CD =,求AC 的长.7. 如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB CD BC ==.点M 为边BC 的中点,以点M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交边AB 于点E ,射线MF 交边CD 于点F ,联结EF .指出图中所有与BEM ∆相似的三角形,并加以证明.。
相似三角形判定1-学生版
基本内容相似三角形的判定(一)知识精要1、相似三角形:若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,且它们各有的对应边成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形.即:两个对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.说明:证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样便于找出相似三角形的对应角和对应边.2、相似比:两个相似三角形对应边的比k,叫做这两个相似三角形的相似比(相似系数).如:若△DEF与△ABC相似,则AB BC AC DE EF DF==.3、相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似.说明:这个定理反映了相似三角形的存在性,所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理,它是证明三角形相似的判定定理的理论基础.4、三角形相似的判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似.三角形相似的判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.热身练习1、在△ABC中,E、F分别在AC、AB上,且AF AB AE AC⋅=⋅,则下列各式中正确的是()A.EF AFAC BC=;B.AF BCAE AB=;C.EF AEBC AC=;D.BC ABEF AE=.2、BD、CE是△ABC的两条高,BD、CE相交于点O.下列结论中不正确的是()A.△ADE∽△ABC;B.△DOE∽△COB;C.△BOE∽△COD;D.△BOE∽△BDE.3、下列各组有可能不相似的是()A .各有一个角是45︒的两个等腰三角形;B .各有一个角是60︒的两个等腰三角形;C .各有一个角是105︒的两个等腰三角形;D .两个等腰直角三角形.4、在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,CD ⊥AB ,垂足D 在斜边AB 上,则下列四个结论中正确的是( )①2AC AD AB =⋅; ②2BC BD AB =⋅; ③2CD AD BD =⋅; ④AC BC AB CD ⋅=⋅. A .①②④; B .②③④; C .①③④; D .①②③④.5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点,过点P 作直线截△ABC ,使截得的三角形与原三角形相似,那么这样的直线最多有( )条A .5;B .4;C .3;D .2.精解名题例1、已知在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE ∥BC ,DE 交AC 于点E , △ADE 与△ABC 有什么关系?例2、根据下列条件,判断△ABC 与△'''A B C 是否相似,并说明理由:(1)120A ∠=︒,7AB =cm ,14AC =cm ; '120A ∠=︒,''3A B =cm ,''6A C =cm . (2)4AB =cm ,6BC =cm ,8AC =cm ; ''12A B =cm ,''18B C =cm ,''21A C =cm .例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,1OA =,1.5OB =,3OC =,2OD =,求证:△OAD 与△OBC 是相似三角形.备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点,且2AC AD AB =⋅,求证:△ACD ∽△ABC .例2、如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起, A 为公共顶点,90BAC AGF ∠=∠=︒, 它们的斜边长为2, 若△ABC 固定不动,△AFG 绕点A 旋转,AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE m =,CD n =.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明. (2)求m 与n 的函数关系式,直接写出自变量n 的取值范围.(3)以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴,BC 边上的高所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D ,使BD CE =,求出D 点的坐标,并通过计算验证222BD CE DE +=.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.巩固练习1、下列命题中,不正确的是( )Gy xOFE DCBAA .如果两个三角形相似,且相似比为1,那么这两个三角形全等;B .等腰直角三角形都是相似三角形;C .有一个角为60︒的两个等腰三角形相似;D .有一个锐角相等的两个等腰三角形相似. 2、下列结论中,不正确的是( )A .有一个角相等,有两条边对应成比例的两个三角形相似;B .顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似;C .如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似;D .两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似. 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。
相似三角形判定定理1
相似三角形判定定理1相似三角形判定定理1是在几何学中常用的一个定理,用来判断两个三角形是否相似。
相似三角形是指具有相同的形状但尺寸不同的三角形。
这个定理的应用十分广泛,不仅可以用于解决几何学题目,还可以应用于工程、建筑、地理等领域。
相似三角形判定定理1可以通过三个角的对应关系来判断两个三角形是否相似。
根据这个定理,如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形就是相似的。
具体来说,如果两个三角形的对应角分别为A、B、C和A'、B'、C',并且满足∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',那么这两个三角形就是相似的。
通过相似三角形判定定理1,我们可以快速判断两个三角形是否相似,从而简化问题的解决过程。
并且,相似三角形的性质与比例有关。
如果两个三角形相似,那么它们的对应边长之比是相等的。
例如,如果三角形ABC与三角形A'B'C'相似,那么可以得到以下比例关系:AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。
相似三角形判定定理1的应用非常广泛。
在工程和建筑领域,我们可以利用这个定理来计算物体的高度、长度、角度等信息,以便进行设计和施工。
在地理学中,我们可以通过测量地图上的角度和长度来判断两地之间的距离和相对位置。
在解决几何学问题时,我们可以利用这个定理简化计算过程,快速得到结果。
总之,相似三角形判定定理1是一个非常有用的定理,可以帮助我们判断两个三角形是否相似。
它的应用范围广泛,不仅可以用于几何学问题的解决,还可以应用于工程、建筑、地理等领域。
通过相似三角形判定定理1,我们可以更加便捷地解决问题,简化计算过程,得到准确的结果。
1相似三角形判定
1两个三角形相似判定及其性质【知识点】 1、相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(5) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL ”)2、相似三角形的基本图形:3、相似三角形的性质(1)对应边的比相等,对应角相等.(2)相似三角形的周长比等于相似比.(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.【例 题】 例1 如图,正三角形ABC 中,点P 为BC 边上一点,点D 为AC 边上一点,若∠APD=60°,求证:△ABP ∽△PCD例2 如图,在正三角形ABC 中,D ,E 分别在AC ,AB 上,且AC AD =31,AE =BE ,求证:△AED ∽△CBD例3如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的中垂线交AD于E,交BC的延长线于F,求证: FD2=FB•FC。
【练习】1、如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,试比较S1和S2+S3的大小;(2)写出如图中的三对相似三角形,并说明理由.2、如图,四边形ABCD是矩形,直线l垂直平分线段AC,垂足为O,直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由.3、如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E.(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE,并连接BD;(2)证明:△ABC∽△BDC.4、如图,已知四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:△MEF∽△MBA;(2)若AF、BE分别是∠DAB,∠CBA的平分线,求证:DF=EC.5、已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC.(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;(2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE与点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.6、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2)(1)当t=1秒时,S的值是多少?(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由.7、如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1.﹙1﹚将△ABC,△A1B1C1如图②摆放,使点A1与B重合,点B1在AC边的延长线上,连接CC1交BB1于点E.求证:∠B1C1C=∠B1BC.﹙2﹚若将△ABC,△A1B1C1如图③摆放,使点B1与B重合,点A1在AC边的延长线上,连接CC1交A1B于点F,试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等,并说明理由.﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形.8、如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.(1)证明:△ACE∽△FBE;(2)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.9、如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上.(1)求证:△ABD∽△CAE;10、如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线);(2)请分别说明两对三角形相似的理由.12、在直角梯形ABCD中.AD=7,AB=2,DC=3,P为AD上一点,以P、A、B的顶点的三角形与P、D、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有几个?为什么?13、如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);(2)请选择一对相似三角形给与证明.。
九年级数学《相似三角形判定-1》课件
(×)
(√ ) (√ ) (×)
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
师友展示
方法:在ΔABC的边AB、AC上,分别截AD=A'B',AE=A'C' ,连结DE。
思路: AD AB, A A, AE AC
ADE ABC
A A'
ADE B
又B B
D
E
ADE B DE // BC
B
C B'
自学练习
1、下面每组的两个三角形是否相似?为什么?
B
D
30o 30o
30o
E
30o
①
A
C
F
②
E
B
E
A
60o
A
50o
D 50o 70o F
C
55o
C
B
30o
D
F
③
④
2、判断题: ⑴ 所有的直角三角形都相似 . ⑵ 所有的等边三角形都相似. ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
C'
ADE ~ ABC
ABC ~ ABC
判定定理1:如果角对应相等,那么这两个三角形相似。
可以简单说成:两角对应相等,两三角形相似。
用数学符号表示:
∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
C B'
C'
当堂检测
1、已知ΔABC与ΔA'B'C'中,∠B=∠C'=750,∠C=500,∠A'=550 ,求证:这两个三角形相似
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法:1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似. 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
即:两角对应相等,两三角形相似。
例1、已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC ∽△ADE .例2、如图,E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证:△ABC ∽△DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
即:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.例1、△ABC 中,点D 在AB 上,如果AC 2=AD •AB ,那么△ACD 与△ABC 相似吗?说说你的理由.例2、如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形。
(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时,△ACP ∽△PDB ? (2)当△ACP ∽△PDB 时,求∠APB 的度数。
判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
简单说成:三边对应成比例,两三角形相似.不相似,请说明理由。
,求出相似比;如果它们相似吗?如果相似,和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图,方格纸上的每个小正方形的边长都为1,下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是()。
例2、如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8.AC平分∠BAD 吗?为什么?例3、方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形判定
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ,3
2、练习册,相似三角形的判定4
柏林娱乐 / 柏林娱乐
回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道:/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起:/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起:/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料 到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯 礼/并朝王爷说道:/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道:/那各/将珊瑚嫁与大哥 の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正 用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊?原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子 有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值 王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又 想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是 艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到 来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯 适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她 在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都 意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗?两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效 地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿:/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发 生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾:/秦公公/爷 说是啥啊事情咯吗?//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他 主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见 秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安:/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋?秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药?水清虽然没 什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸 首?秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道:/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还 别等水清发话呢/高福又说道:/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里 是禁地而已/具体该走哪条路呢?水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道:/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院 子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话?到底是真の回话/还是被人构陷?别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证 实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地 望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道:/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗?//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是 将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖:别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍 然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经 含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝?凌宵?葡萄?此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹 张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道:/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称 の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道:/怎么也别带各暖炉?//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在 那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听 着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说:/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她 只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪
两个三角形相似判定定理
两个三角形相似判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
2.如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
3.如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。
4.两三角形三边对应平行,则两三角形相似。
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
6.如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念,它描述了两个三角形形状相同,大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似,主要依靠六种判定方法,它们分别是:AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似(仅限于直角三角形)。
本文将详细阐述这六种判定方法,并辅以例题和图形说明,力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似(角角相似)如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法,其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理:两个角对应相等,则第三个角也必然相等(因为三角形内角和为180°)。
三个角对应相等,保证了两个三角形的形状完全一致,从而判定它们相似。
图形说明:A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’,则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1:已知△ABC中,∠A = 60°,∠B = 80°;△DEF中,∠D = 60°,∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由。
解答:因为∠A = ∠D = 60°,∠B = ∠E = 80°,根据AA相似判定定理,△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似(边边边相似)如果两个三角形的对应边成比例,那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理:对应边成比例意味着两个三角形形状相同,只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变,从而判定它们相似。
图形说明:A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’,则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2:已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm;△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
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孟津县直中学教案
编号: 时间:2013年 10月 10
日年级
段
九年级学科数学主备人
课题2.相似三角形的判定课时
课前
准备
教学目标1.会说出识别两个三角形相似的方法,有两个角分别相等的两个三角形相似。
2.会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学过程:
一、复习
1.两个矩形一定会相似吗?为什么?
2.如何判断两个三角形是否相似?
教
学
过
程
根据定义:对应角相等,对应边成比例。
3.如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三
角形相似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴所用的三角尺,以及老师用的三
角板,如有一个角是30°的直角三角尺,它们的大小不一样。
这些三角形是相似的,我们就从平常所用的三角尺入手探索。
(1)是45°角的三角尺,是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺,那么另一个锐角为60°,有一个直
角,因此它们的三个角都相等,同学们量一量它们的对应边,
是否成比例呢?
这样,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”。
是这样吗?请同学
们动手试一试:
1.画两个三角形,使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF,使∠A=∠D、∠B=∠E,∠C=∠F,在实际
画图过程中,同学们画几个角相等?为什么?
增删、点评
实际画图中,只画∠A=∠D,∠B=∠E,则第三个角
∠C与∠F一定会相等,这是根据三角形内角和为180°
所确定的。
2.发现什么现象:发现如果一个三角形的三个
角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三
角形相似。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简
便的方法:
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说:两角对应相等,两三角形相似。
例题:
2.在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′=50°,
∠B=70°,∠B′=60°,这两个三角形相似吗?
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明
△ADE∽△EFC。
四、小结
本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法:有两个角对应相等的两个三角形相似。
五、作业
P64 1
相似三角形的判定一
一、探索相似三角形多年条件 二、相似三角形的判定一
三、例题 四、练习。