第6章弯曲变形作业参考解答

第 6 章作业参考解答
6-1 用积分法求图中各梁指定截面处的转角和挠度。设 EI 已知。 解:(b)（1）支座反力计算
FAy = qa ， M A = -0.5qa2
MA （2）列弯矩方程
M1(x) = qax - 0.5qa2 ， (0 £ x £ a)
FAy
M 2 (x) = qax -1.5qa2 - 0.5q(x - a)2 ， (a £ x £ 2a)
10
WZ
³ 10 ´103 160 ´106
=
62.5cm3
查表，2 个 10 号槽钢截面
WZ = 39.7 ´ 2 = 79.4cm3 满足要求。
M /kN·m
（2）刚度条件
2
自由端挠度为最大挠度，则由叠加法
wmax
=
-
2 ´103 ´ 42 2EI
+
( 4 ´103 ´ 23 3EI
+
4 ´103 ´ 22 2EI
(2) 挠曲线见附图。
A
B
（d）（1）边界条件和连续光滑条件
x
=
0,
w1
=
0
；
x
=
2l,
w2
=
Dl
=
Fl 2EA
x = l,q1 = q2; x = l, w1 = w2
Δl
（2）梁的挠曲线的大致形状如图
6-4 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。
解：（a）查表得 F 单独作用下
wD (F )
=
F (3l)3 3EI
，
wB (F )
=
F (3l)2 6EI
(3× 4l
- 3l)
Fl 单独作用下
wD (Fl)
=
Fl (3l )2 2EI
， wB (Fl)
=
Fl (4l ) 2 2EI
叠加得到
wD
=
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27 Fl 3 2EI
， wB
=
43Fl 3 2EI
ql2
(c) 外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加）
查表，2 个 14a 号槽钢截面 IZ = 563.7 ´ 2 = 1127.4cm4 满足要求。
综合看选择 2 个 14a 号槽钢。
6-12 图所示结构中，梁 AB 和 DC 及杆 BC 均为同一种材料，设 EA＝∞。求杆 AB 内的最大 弯矩。
4
解：解除 BC，代之以力 F，C 点挠度为
wC
=
由
x
=
a, w1
=
w2 得
D2
=
D1
=
0；
x
=
2a, w2
=
0;
得 C2
=
-
Fa2 12
（7）从而qC
= q1(x)
x
=a
=
-
Fa2 12EI
； wC
=
w1 ( x)
x=a
=
-
Fa3 12EI
6-2 对于图中各梁，要求： （1）写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。 （2）根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。
解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件
x = 0,q1 = 0; x = 0, w1 = 0 x = l,q1 = q2; x = l, w1 = w2 。 x = 2l,q2 = q3; x = 2l, w2 = w3
2
（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩， 下部受拉）
，故qB
= qB1
+qD
=
-
23ql 3 12EI
6-7 图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MPa，容许挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成， 试选择槽钢的型号。设 E=200GPa。 解：（1）根据强度条件选择
槽钢横截面中性轴为对称轴
[ ] s max =
M max WZ
£
s
悬臂梁弯矩图如图
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
EIw1¢¢(x) = -qax + 0.5qa2 ， (0 £ x £ a) EIw2¢¢(x) = -qax +1.5qa2 + 0.5q(x - a)2 ， (a £ x £ 2a)
（4）积分一次
EIq1 ( x)
=
-
1 2
qax2
+
0.5qa 2 x
+
C1
简支梁上查表
wC
=
wC (ql) + wC (ql2 )
=
ql (2l )3 48EI
+
ql2 (2l)2 16EI
= 5ql 4 12EI
3
qD
= qD (ql) +qD (ql2 )
=
-
ql(2l)2 16EI
-
ql2 (2l) 3EI
=
- 11ql3 12EI
悬臂梁上查表
q B1
=
-
ql 2 ×l EI
M z max
=
9M e 17l
´l
=
9M e 17
6-13 图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB 梁的惯性矩为 I1，CD 梁的惯性矩为 I2，试求 AB 梁中点的挠度 wC。 解：超静定问题，设 CD 梁与 AB 梁之间相互作用力为 F′,由于 CD 梁 C 端挠度与 AB 梁中点
EIw2 (x)
=
1 6
F
(x
-
a)3
+
C2
x
+
D2
，
(a
£
x
£
2a)
（6）边界条件、连续光滑条件
x = 0, w1 = 0; x = 2a, w2 = 0; x = a,q1 = q2; x = a, w1 = w2
由 x = 0, w1 = 0 得 D1 = 0 ； x = a,q1 = q2 得 C1 = C2
Fl 3 6EI
B 点挠度为
F
wB
=
M el 2 2EI
+
M el 2 EI
-
F (2l)3 3EI
=
3M el 2 2EI
- 8Fl 3 3EI
变形协调条件 wC = wB ，得
Fl 3 = 3M el 2 - 8Fl 3 ，解得 F = 9M e 。
6EI 2EI 3EI
17l
AB 杆中最大弯矩为
´
0.5q(
x
-
a)4
+
C2
x
+
D2
，
(a
£
x
£
2a)
（6）边界条件、连续光滑条件
x = 0,q1 = 0; x = 0, w1 = 0; x = a,q1 = q2; x = a, w1 = w2
由 x = 0,q1 = 0 得 C1 = 0 ； x = 0, w1 = 0 得 D1 = 0
由 x = a,q1 = q2 得 C2 = -qa3 ； x = a, w1 = w2 得 D2 = 0.5qa4
挠度相等，即 wC (CD) = wC( AB) 。
(F - F ¢)( l )3
Þ
2=
F ¢l 3
Þ F¢ =
2FI1
3EI2
48EI1
2I1 + I2
故
2
wC
=
F ¢l3 48EI1
=
Fl 3 24(2I1 +
I2)E
1
5
EIw1¢¢(x) = 0 ， (0 £ x £ a) EIw2¢¢(x) = F (x - a) ， (a £ x £ 2a)
（4）积分一次
EIq1(x) = C1 ， (0 £ x £ a)
EIq2
(x)
=
1 2
F
(x
-
a)2
+
C2
，
(a
£
x
£
2a)
（5）再积分一次
EIw1(x) = C1x + D1 ， (0 £ x £ a)
(b) (1) 边界及连续性条件
w1 |x=0 = w1 |x=2l = w2 |x=2l = 0 ， w1¢ |x=2l = w2¢ |x=2l 。
(2) 挠曲线见附图。
A
B
( c) (1) 边界及连续性条件
w1 |x=l = w2 |x=l = w2 |x=2l = w3 |x=2l = 0 , w1¢ |x=l = w2¢ |x=l ， w2¢ |x=2l = w3¢ |x=2l 。
（7）从而qB
= q2(x)
x
=2a
=
qa3 6EI
； wC
= w1(x)
x=
a
=
qa4 12EI
(c)（1）支座反力计算
FAy = 0 ， FB = F
（2）列弯矩方程
FAy
FB
M1(x) = 0 ， (0 £ x £ a)
M2 (x) = -F (x - a) ， (a £ x £ 2a)
1
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
´ 2)
+
( 2´103 ´ 24 8EI
+
2 ´103 ´ 23 6EI
´ 2)
=
20 ´103 EI
从而由刚度条件 wmax £ [w] = l / 400 = 0.01m ，得
wmax
=
20 ´103 EI
£ 0.01， I
³
20 ´105 200 ´109
= 10-5 m4
= 1000cm4
，
(0
£
x
£
a)
EIq2
(x)
=
-
1 2
qax2
+ 1.5qa 2
x
+
1 3
´
0.5q( x
-
a)3
+
C2
，
(a
£
x
£
2a)
（5）再积分一次
EIw1 ( x)
=
-
1 6
qax3
+
1 2
´
0.5qa2
x2
+
C1x
+
D1
，
(0
£
x
£
a)
EIw2
(
x)
=
-
1 6
qax3
+
1 2
´1.5qa2
x2
+
1 12