第二章 分离变量法 -非齐次方程

例 求下列定解问题的解
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂t 2 = a ∂x2 + Asin ωt , 0 < x < l , t > 0; ux |x=0 = 0, ux |x=l = B; u | = 0, u | = 0 t t =0 t =0 为常数。 其中 A,B,ω 为常数。 B 2 边界条件齐次化， 解 1）边界条件齐次化，令 G ( x, t ) = x , 2l
∞
代入方程得 T ' = Asinωt 2 2 2 ' n2π 2a2 0 n π a T t ) +nπx 2 T (t ) = 0 ∞ ' n( n ) = 0 ) + (t t ) cos l = Asinωt ( T ∑0 n n 2 T=0T 0( l l n T 0) = 0 n( 比较系数得：
比较两端
cos nθ
1
和 sin nθ 的系数可得
A0 '' ( ρ ) +
ρ
1
A0 ' ( ρ ) = 0
A2 '' ( ρ ) +
An '' ( ρ ) +
Bn '' ( ρ ) +
ρ
1
A2 ' ( ρ ) −
An ' ( ρ ) −
Bn ' ( ρ ) −
4
ρ
ρ
2
A2 ( ρ ) = 12 ρ
其中A, B为常数. 解:令
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x )
代入方程，得
v tt = a [v xx + w ''( x )] + A
2
选
w( x ) 满足
a w ''( x ) + A = 0 w |x=0 = 0, w |x=l = B
2
它的解为
∞ n =1
所以
An (a ) = An ' (b ) = 0 Bn (a ) = Bn ' (b ) = 0
其通解的形式为
An ( ρ ), (n ≠ 2), Bn ( ρ ) 满足的方程是齐次欧拉方程，
A0 ( ρ ) = c0 + d 0 ln ρ
An ( ρ ) = cn ρ + d n ρ
(
)
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
定解问题可以转化为:
∂ u 1 ∂u 1 ∂ u 2 + + 2 2 = 12ρ cos 2θ 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂u u |ρ =a = 0, |ρ =b = 0 ∂ρ
2 2
相应的齐次问题的特征函数系为:
2
n2
2
ρ
1
An ( ρ ) = 0 n ≠ 2
Bn ( ρ ) = 0
n2
ρ
ρ
2
由边界条件，得
A0 (a ) + ∑ [ An (a ) cos nθ + Bn (a )sin nθ ] = 0
∞ n =1
A'0 (b ) + ∑ [ A'n (b ) cos nθ + B 'n (b )sin nθ ] = 0
n
n
−n
−n
Bn ( ρ ) = c 'n ρ + d 'n ρ
由边界条件，可知 An ( ρ ) ≡ 0
Bn ( ρ ) ≡ 0
(n ≠ 2)
下面求
A2 (ρ )
1
.
4
A2 ' ' (ρ ) +
ρ
A2 ' (ρ ) −
ρ2
A2 ( ρ ) = 12 ρ 2,
方程的通解为
由端点的条件， A2 ( a ) = A2 ' ( b ) = 0 得
并将 f ( x,t ) 按特征函数系展为级数 ∞ n x π f ( x, t) = ∑ fn ( t ) sin ……………… (4) l n=1 其中
n π 令 V ( x, t ) = ∑vn ( t ) sin x ……………… (3) l n vn(t)为待定函数.
∂ 2V = a2 ∂t 2 V | x = 0 = V V |t = 0 = 0,
'' n2π 2a2 vn (t) + l 2 vn(t) = fn(t) vn (0) = 0, v'n(0) = 0
Laplace变换
n a( t −τ ) π l l vn ( t ) = fn (τ ) dτ , n = 1,2,⋯ ∫0 sin l n a π
l n a( t −τ ) π π l n V ( x, t ) = fn (τ ) dτ ]sin x ∫0 sin n a π l l
1, cos θ , sin θ , cos 2θ , sin 2θ , ⋯
于是可以设原问题的解为:
u ( ρ ,θ ) = A0 ( ρ ) + ∑ [ An ( ρ ) cos nθ + Bn ( ρ )sin nθ ]
∞ n =1
代入方程，整理得
1 n2 An ''( ρ ) + ρ An '( ρ ) − ρ 2 An ( ρ ) cos nθ ∞ 1 n2 +∑Bn ''( ρ ) + Bn '( ρ ) − 2 Bn ( ρ ) sin nθ = 12ρ 2 cos2θ ρ ρ n=1 1 ∞ A0 ''( ρ ) + ρ A0 '( ρ ) + ∑ n=1
A 2 Al B w( x) = − 2 x + 2 + x 2a l 2a
于是
v( x, t ) 满足的方程为：
2 ∂ 2v 2 ∂ v ∂ t 2 = a ∂ x 2 , 0 < x < l , t > 0; v | x = 0 = 0, v | x = l = 0; ∂v v |t = 0 = − w ( x ) , |t = 0 = 0 ∂t
A2 ( ρ ) = c1 ρ + c2 ρ + ρ
2 −2
4
a + 2b c1 = − 4 4 a +b
6
6
a 4 b 4 a 2 − 2b 2 c2 = − a4 + b4
(
)
原问题的解为：
u (ρ ,θ ) = A2 (ρ ) cos 2θ
2.5 非齐次边界条件的处理
基本原则是: 选取 处理非齐次边界条件问题的基本原则 基本原则 一个辅助函数
[µ2(t) − µ1(t)] v( x, t ) = x + µ1(t ) l
令
v( x, t ) = u(x, t) − w( x, t)
代入(I)，得v
( x,t ) 的定解问题(II)
x " 2 " " vtt − a vxx = [µ1 (t) − µ2 (t)]− µ1 (t) l v |x=0 = 0, v |x=l = 0 x v |t=0 = ϕ(x) + l [µ1 (t) − µ2 (t)]− µ1 (t) = ϕ(x) v | =ψ( x) + x[µ' (t) − µ' (t)]− µ' (t) =ψ(x) 1 2 1 t=0 l
2.4 非齐次问题
非齐次振动方程定解问题
utt − a2uxx = f ( x, t) 0< x < l u x=l = 0 (I) u x=0 = 0 ut=0 = ϕ( x) ut t=0 =ψ( x)
特征函数法
令 U ( x , t ) = V ( x , t ) + W ( x , t ) 其中
2
w( x, t ) = A( t ) x + B( t ) x
例 定解问题
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + A, 0 < x < l , t > 0; ∂t 2 ∂x u | x = 0 = 0, u | x = l = B; ∂u u |t = 0 = 0, |t = 0 = 0 ∂t
2
Dn = 0.
从而，原定解问题的解为 ∞ A 2 Al B naπ nπ u ( x, t ) = − 2 x + 2 + x + ∑ Cn cos t sin x 2a l l l 2a n =1
一般的定解问题的解法
一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单. 二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件 化为齐次的。 三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将 问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件 的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件 的非齐次方程的定解问题(特征函数法).
= Asinωt ……………………① T2(t )a2 A/ω (1− cosωt ) 0 n π2 = ' 2 T (t ) = 0, n = 1,2,⋯ ……② T (t ) + , n ( T lt ) = 0n n = 1,2,⋯ n 由初始条件得： 所以 A 0,1, 2, , T (0)( =,0, =n =1− cos⋯) ……………③ n u x t) ( ωt
2 2 2 '' n x ∞ nπ a n x π π ∑vn (t) + l2 vn(t)sin l = ∑fn(t)sin l n=1 n=1 ∞
两端比较
n2π 2a2 v''(t) + vn(t) = fn(t) n 2 l 将(3)代入初始条件
vn (0) = 0, v'n(0) = 0
从而
' T 0
ω
例
在环形区域 a ≤ x 2 + y 2 ≤ b 列定解问题
内求解下
u + u = 12 x 2 − y 2 , a < x 2 + y 2 < b yy xx ∂u | 2 2 =0 u | x 2 + y 2 = a = 0, ∂n x + y = b
解 考虑极坐标变换:
利用分离变量法，求解得
naπ naπ nπ v ( x, t ) = ∑ (Cn cos t + Dn sin t ) sin x l l l n =1
∞
其中
Al 2 2 Al 2 2 2 2 + B cos nπ Cn = − 2 3 3 + nπ a n π a nπ
∂ 2V + f ( x , t ), 0 < x < l , t > 0; 2 ∂x | x = l = 0; ……………… (1) ∂V |t = 0 = 0. ∂t
2l nπξ fn(t ) = ∫0 f (ξ, t ) sin dξ, n = 1,2,⋯ l l
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将(3),(4) 代入方程得
使得对新的未知函数 v( x,t ) 边界条件为齐次的.
w( x,t ), 通过函数之间的代换: u( x,t ) = v( x,t) + w( x,t)
例1．振动问题
u − a2u = 0 xx tt （I） u x=0 = µ1(t) u x=l = µ2(t) 要求满足(I)的 边界条件，即 u t =0 =ϕ( x) ut t =0 =ψ( x) A( t )0 + B( t ) = µ1 ( t )
注意： 当x＝0和x=l 满足第二类边界条件 ＝ =
ux x=0 = µ1(t)
ux x=l = µ2(t)
如果仍取x 的线性函数作为w ，则有
wx x=0 = A( t ) = µ1 ( t ) , wx x=l = A( t ) = µ2 ( t )
此时除非 应取
µ1(t ) = µ2(t ) ，否则这两式互相矛盾。
思路: 作代换 u 选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次
( x,t ) = v(x,t) + w(x,t) 解得
A( t )l + B( t ) = µ 2 ( t )
解： 取 v( x, t ) = A t)x + B(t) ( 故
[µ2(t) − µ1(t)] A t) = ( l B(t) = µ1(t )
∂ 2V = a2 ∂t 2 V | x = 0 = V V |t = 0 = 0, ∂ 2V + f ( x , t ), 0 < x < l , t > 0; 2 ∂x | x = l = 0; ……………… (1) ∂V |t = 0 = 0. ∂t
∂ 2W ∂ 2W , 0 < x < l , t > 0; = a2 ∂t 2 2 ∂x ……………… (2) W | x = 0 = W | x = l = 0; ∂W W |t = 0 = ϕ ( x ), |t = 0 = ψ ( x ). ∂t
所以
例1. 求解具有热源 Asinωt，两端绝热，初始温度 为零的杆的热传导问题。
ut − a2uxx = Asinωt (0 < x < l, t > 0) ux x=0 = 0 ux x=l = 0 ut=0 = 0
nπx 解： 本征函数为 cos , n = 1,2,⋯ l
设
nπx u( x, t ) = ∑ T (t ) cos n l n=0