麻省理工大学课件:材料科学家和工程师的数学-常微分方程:物理解释,几何解释,可分方程
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类:
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式,如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少,则称这表达式中的几个任意 常数相互独立.
由题意知 t = 0 时,
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6),(7)式,得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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22
第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念: 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解,初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线.
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15
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2,
C都是任意常数)所表示的函数族是相同的,
因此y = C1x + C2x + 1中的C1,C2是不独立的;
代入初始条件
常微分方程的一般概念.ppt
条件为:
1 dP k P dt P t 0(1790 年 ) P0
20
从而得出人口按指数规律增加:
P P0e kt
评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一
个较短的时间间隔对问题的模拟较好;
l按指数模型,人口将无限增长下去, 但这是不可能的。
21
2. Logistic 模型(人口增长模型 )
32
Ž C 0 情况,对应
R 2GM0 , R
设初:条 t0件 时 R0,
通过解这个一阶方程, 得
2R2 3 3
2GM 0 tC,
再利用初条件, R3 得 92G到M 0t2
33
这个公式被称为“扁平宇宙模型” (flat universe model) , 试问此 模型就宇宙膨胀可以给出什么预言?
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展,不仅推动各地经济文化交 流和发展,而且也促进信息的传播,开阔人们的视野,加快 生活的节奏,对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展,使信息的传递变得 快捷简便,深刻地改变着人们的思想观念,影响着人们的社 会生活。
请见以下各种微分方程:
(1) dy f(x) dx
(2) dd22 xtad dx tbx0
11
(3) m d d22 ythyd d y tk yF (t) ( 4 )y P (x )y Q (x ) (5 ) xd ys xixnd 0y
( 6 )x 3 y x 2 y 4 x y 3 x 2 (7 ) (y)2 4 y 3 x 0
dt
k
分离变量并积分
rdt
dx
x(1
常微分方程的基本概念ppt课件
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 : y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ;
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得:S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1,C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体,在时间t=0时,在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落,求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此,令
,则有
因此,所谓齐次方程,实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x,y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程,那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中, 显然,方程(1.30)的右端函数,对于x,y并不
是方程(1.5)在区间(-1,+1)
上的解,其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±1,这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞,
+∞)上的解,其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(1.7)在区间(-
∞,+∞)上的解,其中和是独立的任意常数.
这里,我们仅验证3,其余留给读者完成.事实上,
(1.13)
显然,方程(1.4)是一阶线性方程;方程(1.5)是一阶非线性方程;方程 (1.6)是二阶线性方程;方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数,可定义如下.
定义1.1 设函数 在区间I上连续,且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11),得到在
区间I上关于x的恒等式,
高等数学 常微分方程PPT课件
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
[提示](1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型,并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
mit高等数学教材1365页
mit高等数学教材1365页MIT高等数学教材MIT高等数学教材是一本全面而深入的数学教材,共有1365页。
本教材涵盖了高等数学的各个分支和重要概念,适用于高等教育阶段的学习和研究。
下面将对该教材的内容进行简要介绍。
第一章:函数与极限本章介绍了函数的定义和性质,以及极限的概念和计算方法。
通过具体的例子和图表,展示了函数和极限在实际问题中的应用。
第二章:导数与微分本章重点讲解了导数和微分的基本概念,以及常见函数的导数求法。
详细介绍了导数在曲线图和函数变化率中的应用,并给出了相关的计算方法。
第三章:微分学应用本章探讨了微分学在实际应用中的重要性。
涵盖了函数的增减性、最值问题、曲线的凹凸性、微分中值定理等内容。
通过实例分析和解决实际问题,展示了微分学的应用价值。
第四章:积分与不定积分本章介绍了积分和不定积分的概念,以及一些重要的积分公式和方法。
阐述了积分的几何和物理意义,并给出了不定积分的计算方法和应用场景。
第五章:定积分及其应用本章深入讲解了定积分的基本概念和性质,以及定积分的计算方法。
包括定积分的几何和物理意义,以及面积、体积、弧长等实际问题的计算和应用。
第六章:无穷级数本章介绍了无穷级数的定义和性质,以及级数收敛和发散的判定方法。
给出了常见级数求和的公式和方法,并讨论了级数在实际问题中的应用。
第七章:常微分方程本章探讨了常微分方程的基本概念和解法。
包括一阶和高阶常微分方程的解法、线性和非线性方程的特解求法,以及微分方程在实际问题中的应用。
第八章:多元函数及其微分学本章介绍了多元函数的定义和性质,以及多元函数的偏导数、全微分和极值求法。
讲解了多元函数在曲面图和空间问题中的应用,以及多元函数微分学在实际问题中的意义。
通过对MIT高等数学教材的简要介绍,我们可以看出该教材内容丰富、体系完整,适合高等教育阶段的学习和研究。
同时,教材中引入了大量的实例和应用问题,使得抽象的数学概念能够与实际问题相结合,增加了学习的趣味性和实用性。
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支,它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中,常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y),其中y是未知函数,f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数,而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y),解的存在唯一性定理告诉我们,在一定条件下,该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理,该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件,那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法:当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时,我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程,然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程:形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子,将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x),然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程:对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程,我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式,然后进行积分得到解。
4. 变量代换法:当方程形式复杂或者无法直接求解时,我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式,然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例,常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律,从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中,常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律,从而帮助我们预测和分析经济现象。
常微分方程
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 常用的方法 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件 利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件ห้องสมุดไป่ตู้ (3) 求通解 并根据初始条件确定特解 求通解, 并根据初始条件确定特解.
即
y = ±eC1e
1 − x2 2
)
方程通解为 y = Ce
1 − x2 2
= Ce
1 − x2 2
(C = ±eC1 )
为任意常数) ( C为任意常数).
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( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例4. 解初值问题
xydx + ( x2 +1) dy = 0
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二、分离变量法
定义 2 形如
dy 的方程, = f (x)g( y) 的方程 , dx
称为可分离变量的方程. 称为可分离变量的方程. 可分离变量方程的特点: 可分离变量方程的特点: 等式右边可以分解成两个函数之积, 等式右边可以分解成两个函数之积, 其中一个只是 x 的函数,另一个只是 y 的函数. 的函数, 的函数.
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结束
思考题
1. 微分方程通解中的任意常数 C 最终可表示为
eC1 ,sinC2 ( C1, C2为任意实数), lnC3 (C3 为实数, C3 > 0) 为任意实数) 为实数,
第7常微分方程1-PPT精品文档
称它为微分方程的积分曲线.也被称为微分方程 初值问题的几何意义.
通解是一组平行的曲线簇.
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解,其中 C1 , C2 为任意常数.并求满足初始条件
dx 0 的特解. x t 0 A , dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得: dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得: C M 0
所以所求变化规律为: M M 0 e t .
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ,即: f x, y ,称 x x x 该方程为齐次方程.
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解. x y 解:原方程变形为: 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即: x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为: 2 y 1 2
麻省理工大学课件:材料科学家和工程师的数学-线性微分方程:相平面分析和可视化
�c W.C Carter
Lecture 25
162
Dec. 02 2005: Lecture 25:
Phase Plane AnalyReading:
Kreyszig Sections: §3.3 (pp:161–169) , §3.4 (pp:170–174)
Linearization At each fixed point, Linearization is obtained by expanding Eq. 25-1 to first
Behavior for a wide variety of initial conditions can be comprehended by the following approach:
Identify Fixed Points If all the points in the phase plane where d�y/dt = 0 can be es tablished, then these fixed points can be used as reference points around which the phase-behavior will be determined.
⎜⎜⎜⎝
y1(t) y2(t)
...
⎟⎟⎟⎠
=
⎜⎜⎜⎝
F1(y1, F2(y1,
y2, y2, ...
. .
. .
. .
, ,
t) t)
⎟⎟⎟⎠
=
⎜⎜⎜⎝
F1(�y, F2(�y,
...
t) t)
⎟⎟⎟⎠
≡ F� (�y, t)
yN (t)
MIT公开课_微分方程_个人笔记
麻省理工公开课Arthur Mattuck18.03 <微分方程>个人学习笔记 张静宁使用说明1.为什么会有这个笔记?这是我个人物理竞赛生涯中,看视频时做的。
2.这个笔记有什么用?个人感觉这个笔记没什么用。
对我:之所以要做成PDF,是因为当时自己花时间去记笔记了,而且自己在看视频的过程中颇有收获。
希望把以前的资料电子化保存下来。
留作纪念。
对你:也许这个笔记能够有一些帮助,如果你也看【麻省理工公开课】,这本笔记也许能够帮助你提前了解视频内容,而更有选择的看视频。
或者帮助你复习视频内容。
3.如何使用这本笔记?请结合以下资料使用:(1 公开课视频(2 打包课件(3 这本个人笔记【笔记里有视频链接】关于我:30届福建物理竞赛省一福建物理竞赛群:255614485贴吧:天边一朵轻纱云果壳:@JING-TIME最近更新 2014/6/27麻省理工学院公开课:微分方程本课程共33集(缺18集) 翻译完 欢迎学习课程介绍微分方程是一门表述自然法则的语言。
理解微分方程解的性质,是许多当代科学和工程的基础。
常微分方程是关于单变量的函数,一般可以认为是时域变量。
讲师:Arthur Mattuck职业:MIT数学系返聘教授,原MIT数学系主任学院介绍麻省理工学院是美国一所综合性私立大学,有“世界理工大学之最”的美名。
课程列表课件打包下载[第1集] ODE的几何解法:方向场、积分曲线[第2集] 欧拉数值方法及推广[第3集] 一阶线性常微分方程解法[第4集] 一阶方程代换法[第5集] 一阶自治微分方程[第6集] 复数及复指数[第7集] 一阶常系数线性方程[第8集] 一阶常系数线性方程(续)[第9集] 二阶常系数线性方程[第10集] 二阶常系数线性方程(续)[第11集] 二阶齐次线性方程[第12集] 二阶非齐次方程[第13集] 非齐次方程特解求法[第14集] 案例解读:共振[第15集] 傅里叶级数简介[第16集] 傅里叶级数简介(续)[第17集] 通过傅里叶级数求特解[第19集] 拉普拉斯变换简介[第20集] 利用拉普拉斯变换求解线性常微分方程[第21集] 卷积公式[第22集] 利用拉普拉斯变换求解非连续输入ODE[第23集] 狄拉克δ函数[第24集] -一阶常微分方程组简介[第25集] 常系数齐次线性方程组[第26集] 常系数齐次线性方程组(续)[第27集] 2x2齐次线性方程组作图[第28集] 非齐次方程组矩阵方法[第29集] 矩阵指数[第30集] 常系数解耦线性方程组[第31集] 非线性自治系统[第32集] 极限环[第33集] 非线性方程组和一阶常微分方程之间的关联。
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or y(x = (i + 1)δ)) = y(x = iδ) + δf (y(x = iδ))
where x plays the role of an ‘indexed grid’ with small separations δ. Finite Differences
Differential equations result from physical models of anything that varies—whether in space, in time, in value, in cost, in color, etc. For example, differential equations exist for mod eling quantities such as: volume, pressure, temperature, density, composition, charge density, magnetization, fracture strength, dislocation density, chemical potential, ionic concentration, refractive index, entropy, stress, etc. That is, almost all models for physical quantities are formulated with a differential equation.
MIT 3.016 Fall 2005
�c W.C Carter
Lecture 19
122
Mathematica�r Example: Lecture19 FirstOrder Operators
F
�
dny(x) dxn
,
dn−1f (x) dxn−1
,
.
.
.
,
d2y(x) dx2
,
dy(x) dx
,
y(x),
� x
=
0
(191)
A firstorder Ordinary Differential Equation (ODE) has only first derivatives of a function.
Consider a function that changes according to its current size–that is, at a subsequent iteration, the function grows or shrinks according to how large it is currently.
−
h¯ 2m
d2ψ(x) dx2
+
U (x)ψ(x)
=
Eψ(x)
or
−
h¯
2m
d2ψ(x) dx2
+
U (x)ψ(x)
−
Eψ(x)
=
0
is a secondorder ordinary differential equation that specifies a relation between the wave function, ψ(x), its derivatives, and a spatially dependent function U (x).
Differential Equations: Introduction
Ordinary differential equations are relations between a function of a single variable, its
derivatives, and the variable:
MIT 3.016 Fall 2005
�c W.C Carter
Lecture 19
120
Nov. 07 2005: Lecture 19:
Ordinary Differential Equations: Introduction
Reading:
Kreyszig Sections: §1.1 (pp:2–8) , §1.2 (pp:10–12) , §1.3 (pp:14–18)
F
(
dy(x) dx
,
y(x),
x)Biblioteka =0A secondorder ODE has second and possibly first derivatives.
F
�
d2y(x) dx2
,
dy(x) dx
,
y(x),
� x
=
0
(192) (193)
For example, the onedimensional timeindependent Shr¨odinger equation,
Fi+1 = Fi + αFi
which is equivalent to
Fi = Fi−1 + αFi−1
Iteration Trajectories
Mathematica�r Example: Lecture19 FirstOrder Finite Differences
The example above is not terribly useful because the change at each increment is an integer and the function only has values for integers. To generalize, a forward difference can be added that allows the variable of the function to “go forward” at an arbitrarily small increment, δ. If the rate of change of y, is a function f (y) of the current value, then,
The following example illustrates how some firstorder equations arise:
MIT 3.016 Fall 2005
�c W.C Carter
Lecture 19
121
Mathematica�r Example: Lecture19 Iteration: FirstOrder Sequences