保险精算第四章趸缴纯保费的计算原理(讲课版) (1)

好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。
趸缴纯保费的厘定

趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时
值

趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
一、（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险
26.97887 （元）
（二）终身寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的终身寿险，趸缴纯保 费记号 A
x
bK 1 1
K 0 ,1,2......
Z v k 1
一定会 得到赔 付
K 0, 1,......
Ax E ( Z ) v

保险解释： l x 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的
积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸 缴保费 Ax1 ，还可以为所有在当年去世的被保险人每 人额外补贴 1 Ax1 元的保险成本。
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )
n 1 k 1 k| k 0
A
1 x :n|
E( Z ) v
1 x :n|
qx v
k 0
n 1
k 1 k
px .q x k
lx A
v
k 0
n 1
k 1
请思 考直 观意 义？
.d x k
例4.1
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险额为1000元，保险金额在死亡 年末给付，按中国人寿保险业经验生命（2000-2003）（男）和利率 6%计算趸缴保费。 解：

离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式一：
Ax vqx vpx Ax1
推 导
Ax v
k 0 k 1 k
p x .q x k
注：书中 P65未推证
vqx v k 1 .k p x .q x k
k 1
撇出级数的第一项 vqx 项
vqx vpx v k .k 1 p x 1 .q x k
第一节 人寿保险
什么是人寿保险?
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死
亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险 标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人 死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被 保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的性质

保障的长期性
Ax vAx 1 vqx ( 1 Ax 1 )
dx v Ax Ax 1 ( 1 Ax 1 ) lx
1
l x ( 1 i ) Ax l x Ax 1 d x ( 1 Ax1 )
趸缴纯保费递推公式二保险意义

公式二：
lx (1 i) Ax lx Ax1 d x (1 Ax1 )
未生存到n 年期满不享 受给付
A
1 x : n|
E ( z t ) v .n p x
n
（四）两全保险=定期寿险+定期生存险（两全保险 =定期寿险+定期生存保险）相当于两险保单合同合 并而成。 对于死亡年末赔付1个单位金额的n年期两全保险， 趸缴纯保费记号： Ax:n|
bk 1 1
K 1 v , K 0,1,, n 1 Z Z K 1 bK 1vK 1 n v , K n, n 1,
Ax :n| E ( Z ) v k 1 k p x q x k v n n p x A1 Ax : n| x :n|
1 k 0 n 1
1
两全保险
终身寿险
Ax E ( Z ) v
k 0

k 1
k 1 q v k px .q x k k| x k 0
v k 1 k p35 q35 k v 5 5 p35
k 0
4
4
v k 1
k 0
查表：d35 1169; d36 1247; d37 1336; d38 1436; d39 1548 l35 979755 ;l 40 973019 ;
10000A35:5| 1169 1247 1336 1436 1548 973019 1 1.06 ( 1.06 )2 ( 1.06 )3 ( 1.06 )4 ( 1.06 )5 10000 10000 979755 979755 ( 1.06 )5
赔付期望
1v Ax 1
vq x vpx Ax 1
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式二：
lx (1 i) Ax lx Ax1 d x (1 Ax1 )
推 导
由公式一： Ax vqx vpx Ax 1
Ax vqx v( 1 q x ) Ax 1 Ax vqx vAx 1 vqx Ax 1
出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险的分类

保单给付时间不同
1. 2.

保障标的的不同
1. 2. 3.
死亡年末给付 死亡即刻给付

受益金额是否恒定
1. 2.
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
定额受益保险

保障期是否有限
1. 2.
变额受益保险

保单签约日和保障期期 始日是 Nhomakorabea同时进行
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不
容忽视的因素。

保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生
命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就 意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖 于被保险人剩余寿命分布。

被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算
k 0

k 1 k|
qx v
k 0

k 1 k
px .q x k
（三）n 年定期生存保险（生存年末给付）
( x )投保后生存至n年期满时，保险人在第n年 对于被保险人 1 末支付保险金的保险金额1元，趸缴纯保费记作： Ax : n|
vt v n , t 0 1 , t n bt 0 , t n v n , t n zt bt vt 0 , t n
赔付在年末的趸缴保费E(Z)
Z zK 1 bk 1 v
0 1
K 1
第K个整数年死亡
赔付在第K+1年末
bk 1
2 3 4 5 K K+1 n-1 n
K(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2
K(x)简记为K
E( Z ) E( z K 1 ) ( bK 1 v
k 1

提出vpx因子,k px px .k 1 px 1
vqx vpx v
j 0

j 1
. j p x 1 .q( x 1 ) j
令k j 1
套用Ax v k 1 k p x .q x k
k 0
vqx vpx Ax 1
趸缴纯保费递推公式一保险意义：
1 1000A55 :5|
4 k 1 1000 v k p55q55k k 0
1000 v k 1
k 0
4
d 55 k l55
vd55 v 2d 56 v 3d 57 v 4d58 v 5d 59 1000 l55
4840 5315 5913 6637 7468 2 3 4 5 ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) 1000 930309
K 1
)
（一）定期寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的n年定期寿险，趸缴纯保 费记号 A1 活过n x:n 1 K 0 , 1 ,..., n 1 年将没 bK 1 有赔付 0其他
v K 1 K 0 , 1,...,n 1 Z 0其他
趸缴纯保费递推公式三保险意义

公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )

解释：
年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当
初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提 供一年的保险成本。
死亡年末赔付寿险的重要意义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任



范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给 予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡 年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期 长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一年。这正好 可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。 死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假 定的理赔方式。因为年末给付的寿险模型，其趸缴保费计算 方便使用生命表，同时计算很容易。 死亡年末赔付与死亡当即赔付两者的趸缴保费之间有固定的 转换公式（后面讲），因此死亡年末赔付的趸缴保费计算在 实际中有重要意义。
Ax vqx vpx Ax1
保险意义：(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于 (x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年 的情况下净趸缴保费 Ax1。
趸缴净保费的资金流向
X+1岁生命状态
发生概率
死亡
生存