数列的函数特性习题(含答案)

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所以 an+1 与 an 的大小关系和 c 有关,和 n 无关,故选 B.]
2an,n 为正奇数,
2.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=
则其前 6 项之和
an+1,n 为正偶数,
是( )
3
A.16
B.20
C.33
D.120
C [a1=1,a2=2a1=2,a3=a2+1=3,
a4=2a3=6,a5=a4+1=7,
所以当 n=5 时,an 取最小值.]
5.数列{an}的通项公式为 an=n2+kn+2.
(1)若 a2=a7,求数列{an}的最小项;
(2)若不等式 an≥a4 恒成立,求实数 k 的取值范围.
[解]
(1)由
a2=a7 得
k=-9,即
an=n2-9n+2=
n-9 2
2-73. 4
因为 n∈N+,所以当 n=4 或 5 时,{an}的最小项为 a4=a5=-18.
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.以上都不对
B [∵a1>0,an+1=12an,∴an>0,∴aan+n1=12<1,∴an+1<an.] 3.在递减数列{an}中,an=kn(k 为常数),则实数 k 的取值范围是( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
C [∵{an}是递减数列,∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.] 4.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}中第几项最大( )
4.已知数列{an}满足 an= n+1 (n∈N+),则数列{an}中的最小项是第 3n-16
________项.
5
[an=
n+1
n-16+19 = 33
3n-16 3n-16
19 =1+ 3 ,
3 3n-16
令 3n-16<0,得 n<16. 3
0,16 又数列{an}在 3 上单调递减,且 n∈N+,
(-∞,2)
[由
于数
列{an}


调递
增数


an

n
+λ, n
所以
an + 1 - an =
n+1+ λ n+1

n+λ n
=1-nn+λ 1>0,即λ<n(n+1)(n源自文库N+),所以λ<2.]
三、解答题
9.已知数列{an}中,an=n-1(n∈N+). n+1
(1)求 a2+a3;(2)证明{an}是递增数列. [解] (1)由已知得 a2+a3=13+24=56.
D.an 与 an+1 的大小关系和 n 有关
B [因为 an=n+c=1+c-1,n+1≥2, n+1 n+1
所以当 c-1>0,
即 c>1 时,ƒ(n)=an 单调递减,
an+1<an,
当 c-1=0,即 c=1 时,an=1,an+1=an=1,
当 c-1<0,即 c<1 时,ƒ(n)=an 单调递增,an+1>an,
课时分层作业(二)
(建议用时:60 分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知 an=3n-2,n∈N+,则数列{an}的图像是( )
A.一条直线
B.一条抛物线
C.一个圆
D.一群孤立的点
D [∵an=3n-2,n∈N+,∴数列{an}的图像是一群孤立的点.]
2.已知数列{an}满足 a1>0,2an+1=an,则数列{an}是( )
数列.]
7 7.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2) 8 n.
则当 an 取最大值时,n 等于________.
5或6
[由题意知 an≥an-1,
n≤6, 解得
an≥an+1,
n≥5.
所以 n=5 或 6.]
8.已知数列{an}为单调递增数列,通项公式为 an=n+nλ,则λ的取值范围是 ________.
4
(2)an=n2+kn+2=
n+k 2
2+2-k2, 4
因为不等式
an≥a4
恒成立,所以
3.5≤-k≤4.5, 2
解得-9≤k≤-7.
5
1
A [由 an+1=f(an),an+1>an,得 f(an)>an,即 f(x)>x,结合图像知 A 正确.] 二、填空题
6.若数列{an}为递减数列,则{an}的通项公式可能为______(填序号). ①an=-2n+1;②an=-n2+3n+1;③an=21n;④an=(-1)n.
①③ [可以通过画函数的图像一一判断.②中第一、二项相等,④是摆动
a6=2a5=14,
∴前 6 项之和为 33.]
3.数列{an}中,a1=2,an=2an-1(n∈N+,2≤n≤10),则数列{an}的最大项
为________.
1 024 [∵a1=2,an=2an-1,∴an≠0,∴aan-n1=2>1,∴an>an-1,即数列{an} 单调递增,∴{an}的最大项为 a10=2a9=4a8=…=29·a1=29·2=210=1 024.]
2
(2)证明:当 n≥2 时,
an-an-1=nn-+11-n-n 2=nn2+1>0.
所以{an}是递增数列. 10.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4,
(1)数列中有多少项为负数?
(2)n 为何值时,an 有最小值?并求此最小值. [解] (1)由 n2-5n+4<0 得 1<n<4,n∈N+,所以 n=2 或 3.所以数列中有 2
项为负数.
(2)因为
an=n2-5n+4=
n-5 2
2-9, 4
又因为 n∈N+,
所以 n=2 或 3 时,an 有最小值-2.
[能力提升练]
1.在数列{an}中,已知 an=n+c(c∈R),则对于任意正整数 n 有( ) n+1
A.an<an+1
B.an 与 an+1 的大小关系和 c 有关
C.an>an+1
A.第 6 项
B.第 7 项
C.第 6 项或第 7 项
D.第 5 项
D [an=-n2+10n+11=-(n2-10n+25)+36 =-(n-5)2+36,所以当 n=5 时,an 最大.]
5.一给定函数 y=f(x)的图像在下列图中,并且对任意 a0∈(0,1),由关系式
an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an,则该函数的图像是( )
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