第3节 圆的方程(轻巧夺冠)
中图版生物必修1：第四单元 第一章 第三节 知能演练轻巧夺冠
1．癌细胞容易转移，这是因为()A．细胞膜具有流动性B．癌细胞为球形C．癌细胞膜上糖蛋白等物质减少D．癌细胞体积较小解析：选C。
正常细胞膜表面有许多糖蛋白，使细胞有一定的黏着性。
细胞一旦癌变，糖蛋白减少，黏着性降低，所以细胞易分散转移。
2．某偏僻山村，癌症患者明显高于其他地区，则有关判断不．准确的是()A．该地患病率高可能与该地饮食有关B．患者癌细胞中遗传物质已改变C．癌细胞分裂产生的仍是癌细胞D．该地患病率高的原因无法排除传染问题解析：选D。
癌症不属于传染病，某地癌症患者集中，可能与该地的饮食及环境有关。
3．下列关于原癌基因和抑癌基因的叙述正确的是()A．普遍存在于人和动物的染色体上B．仅存在于健康人的染色体上C．仅存在于被致癌病毒感染但尚未发病者的染色体上D．仅存在于癌症患者的染色体上解析：选A。
原癌基因和抑癌基因普遍存在于人和动物细胞中，整个生物体体细胞都是由一个受精卵经过有丝分裂而来，遗传物质都相同，都存在原癌基因和抑癌基因。
4．如图是四种人体细胞的培养结果，图中所示细胞最可能是癌细胞的是()解析：选D。
癌细胞能无限增殖且没有接触抑制现象，而正常细胞在分裂时若相互接触便会相互抑制，停止分裂。
故在动物细胞培养过程中，要定期用胰蛋白酶将长满瓶壁的细胞脱落下来，稀释后再分瓶培养。
5．下列关于癌细胞的叙述，错误的是()A．癌细胞具有无限增殖的能力B．细胞癌变可以由病毒感染引发C．原癌基因只存在于癌细胞中D．癌细胞的转移与细胞间黏着性降低有关解析：选C。
细胞癌变是细胞中原癌基因和抑癌基因发生突变导致正常细胞的生长和分裂失控而造成的。
在细胞中存在原癌基因和抑癌基因。
6．回答下列有关癌细胞的知识：(1)从生物学角度看癌细胞是________________________________________________________________________________________________________________________。
圆的标准方程ppt课件
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的一般方程 省一等奖课件
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
4.1.2 圆的 一般方程
主讲教师：陈震
复习引入
圆的标准方程是什么？
复习引入
圆的标准方程是什么？
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
数学圆的方程市公开课金奖市赛课一等奖课件
5. 若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于x轴对称，则___________;
若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y轴对称，则________；
若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y=x轴对称，则
_______________;
6. 点M(x0，y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0位置关系:
在原点与圆心连线和圆两个交点处取得最大值和最小值, 如图3.
又圆心到原点距离为
=2.
2 02 0 02
因此, x2+y2最大值为(2+ )23=7+4 ,3
x2+y2最小值为(2- )32=7-4 . 3
第13页
变式3-1 已知圆C: (x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为
第三节 圆方程
第1页
基础梳理
1. 圆原则方程与普通方程 (1)圆原则方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为________，半 径为r； (2)圆普通方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标__________， 半径为________．方程表示圆充要条件是____________． 2. 点(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系: (1)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在______； (2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在______； (3)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时，点在______； 3. 以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点圆方程为 ________________． 4. 若圆(x-a)2+(y-b)2=r2与x轴相切，则________；若圆(xa)2+(y-b)2=r2与y轴相切，则________.
圆的标准方程公开课一等奖课件
标准方程推导过程
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离 $|PO|$ 应等 于半径 $r$。
由于 $|PO| = r$， 则有 $sqrt{(x a)^{2} + (y b)^{2}} = r$。
以圆心为原点，建 立平面直角坐标系 。
根据两点间距离公 式，有 $|PO| = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
实际生活中应用举例
建筑设计
在建筑设计中，圆形结构经常被用来增加建筑物的稳定性 和美感。例如，圆拱门、圆顶建筑等都是利用圆的性质进 行设计的。
交通运输
在交通运输领域，圆的性质也经常被应用。例如，车轮的 形状是圆形，这是因为圆形车轮在滚动时能够保持平稳， 并且减少与地面的摩擦。
自然科学
在自然科学中，圆也是一个重要的概念。例如，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上 。这种运动轨迹可以近似地看作是一个圆。
相切条件
两圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。
切点求解
通过解两圆方程和两圆心连线方程联立得到的方程组，可以得到切点的坐标。
两圆相离条件及距离计算
相离条件
两圆心之间的距离大于两圆半径之和或小于两圆半径之差。
距离计算
两圆心之间的距离可以通过两点间距离公式计算得到。
06
实际应用举例与课堂互动 环节
THANKS
感谢观看
学生自主思考并提问环节
提问1
为什么车轮要做成圆形的？而不 是方形或者其他形状？
提问2
在建筑设计中，为什么经常使用圆 形结构？它们有什么优势？
提问3
行星绕太阳运动的轨道为什么是椭 圆形的？这与圆的性质有什么关系 ？
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
高二数学课件 圆的方程课件 7.63圆的方程 (三)
（参数方程中的参数可以是有物理、几何意义 的变数，也可以是没有明显意义的变数。）
2020/11/24
重庆市涪陵实验中学 谭先林
9
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
y P
O
M Ax
2020/11/24
重庆市涪陵实验中学 谭先林
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例2. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 x2+y2的最大值。
y=0上的一个动3点求:(1)x+y的最小值; (2)
解:(1)圆x2+y2+2x-2 3y=0的参数方程为 x = -1+2cosθ
参数方程为___y___=__-_3__+__2__s. inθ
2020/11/24
重庆市涪陵实验中学 谭先林
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定义:一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变
数t的函数，即
x=f(t) ③
y=g(t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点 M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条
以 _D__2_+__E__2_-__4_F_,它>0表) 示的是____________C__(____D2
,
E 2
)为
_圆____心___,_以___12____D__2___E__2___4__F的圆为。半径
3.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 __一____个___点___(___D_2_,_;当E2 D) 2+E2-4F<0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0不___表____示___任___何___图__。形
圆的一般方程更新 公开课一等奖课件
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1 2 2 D + E - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
所求圆的方程为:
F=0 F=0 解得 D=-8 D+E+F+2=0 E=6 4D+2E+F+20=0
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
小结
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得：
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆.
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = r 2 (或x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0)
圆的标准方程PPT(修改好的优质课一等奖)
0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
( x 2) 2 ( y 3) 2 25
2 2 ( x 2 ) ( y 3 ) 25 把 M1 (5,7)的坐标代入方程 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点
变式三、 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
)
B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？ 尝试高考（2012重庆高考题） 变式二 以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ）
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3
圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
圆的方程ppt课件
C.（x-1）2+(y-1)2=4
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
题型二 与圆有关的最值问题
【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
圆的标准方程 公开课一等奖课件
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
4.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
把点 M2 ( 5, 1) 所以点 M2 (
2 2 ( x 2) ( y 3) 25， 的坐标代入方程
左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，
5, 1) 不在这个圆上.
y
O M2 A M1
x
【提升总结】
点与圆的位置关系
如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到： 点在圆上 点在圆内 点在圆外
d =r ； d <r ; d > r .
y
o M3 A
M2 x
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r . 解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所
【解析】选B.圆的圆心是(0,－3)，半径是r＝
1 |－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4. 2
3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y2=0上，求圆M的方程. 【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 根据题意得： -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
2021年高考数学 第八章 第3课时 圆的方程知能演练轻松闯关 新人教A版
2021年高考数学 第八章 第3课时 圆的方程知能演练轻松闯关 新人教A版1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0，0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A ．圆上任一点(x ，y )关于原点的对称点(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋D x ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D<0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ．由题意可知，要求圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，0，而D 可以大于0. 3．(xx·广东广州模拟)若a ∈{－2，0，1，34}，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ．要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23，∴符合条件的a 只有一个，a＝0，∴原方程只能表示一个圆．4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：选A．依题意，设圆心坐标为(a，1)，其中a>0，则有|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)，因此所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A．30 B．18C．6 2 D．52解析：选C．易知直线与圆相离．由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为3 2.设(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离为d，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为d＋32，最小距离为d－32，故最大距离与最小距离的差为6 2.6．若P Q是圆O：x2＋y2＝9的弦，P Q的中点是M(1，2)，则直线P Q的方程是________．解析：由圆的几何性质知k P Q k OM ＝－1.∵k OM ＝2，∴k P Q ＝－12，故直线P Q 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．(xx·江苏南京一模)如果三角形三个顶点为O (0，0)，A(0，15)，B(－8，0)，那么它的内切圆方程是________．解析：易知△A O B 是直角三角形，所以其内切圆半径r ＝|O A|＋|O B|－|AB|2＝15＋8－172＝3.又圆心坐标为(－3，3)，故所求内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝99．在平面直角坐标系xOy 中，求与x 轴相交于A(1，0)和B(5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎨⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C(3，b )．又AC ＝5，得 （3－1）2＋b 2＝ 5.解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|P A|＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[能力提升]1．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D ．曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其为圆心为(－a ，2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a ，2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，得a>2.：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y 2．(xx·高考重庆卷)已知圆C1－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|P N|的最小值为( )A．52－4 B．17－1C．6－2 2 D．17解析：选A．设P(x，0)，设C1(2，3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|P C1|＋|P C2|＝|P C1′|＋|P C2|≥|C1′C2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2.而|PM|＝|P C1|－1，|P N|＝|P C2|－3，∴|PM|＋|P N|＝|P C1|＋|P C2|－4≥52－4.3．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x＋y ＝0对称；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为2A．其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：圆心为(－a，a)，半径为2|a|，故①③正确．答案：①③4．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|（x－x0）2＋（y－y0）2<r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0<x2＋(y－2)2<1}．其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)．解析：集合{(x，y)|（x－x0）2＋（y－y0）2<r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④5．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|P A|＝2|P B|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|Q M|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则（x＋3）2＋y2化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|Q M |＝ |CQ|2－|C M |2＝|CQ|2－16.当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42， 故|Q M |的最小值为32－16＝4.6．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C(a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，∴O 点在圆C 上，且O C 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝8b a ＝－1⇒⎩⎨⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2.由于点C(a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q(x ，y )，则有⎩⎨⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8，解之得x ＝45或x ＝0(舍去)． ∴存在点Q(45，125)，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．v n30529 7741 睁34910 885E 衞36780 8FAC 辬'28743 7047 灇V21768 5508 唈5•39013 9865 顥。
高中数学 圆的方程课件1 新人教A版必修2
(x0 a)2 ( ห้องสมุดไป่ตู้0 b)2 r2
(x0 a)2 ( y0 b)2 r2
(x0 a)2 ( y0 b)2 r2
【注意】 用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一， 究竟用标准方程还是用一般方程要根据题设条件选择．选 择得好，解法就简捷，选择得不好，会增加解答的难度， 并注意尽量根据条件少设未知量．第二，要注意适时运用 几何知识列方程，这样可能大大减少计算量．
考纲目标锁定：
1.掌握确定圆的几何要素.
先锋行动
2.掌握圆的标准方程和一般方程
一、圆的定义及方程
平面内与 定点 的距离等于定长 的点的集合 限定条
定义
(轨迹)
件
标准
方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心：(a，b )，半径 r r>0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
一般
圆心：(
方程
半径
＝0
)， D2＋E2 －4F>0
课时训练：
7.5 圆的方程 公开课一等奖课件
5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是
A.（x-3）2+(y+1)2=4
B.（x+3）2+(y-1)2=4 C.（x-1）2+(y-1)2=4
（ C ）
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r. ∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a. ∵|CA|2=|CB|2， ∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2， ∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
D E 2 2 ( 7 )2 r 2 , 由已知，得 2 即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）
2
⑤
D E 在直线3x-y=0上， 又圆心 , 2 2 ∴3D-E=0.
联立④⑤⑥，解得
⑥
D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1.
（3） 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一
般方程 . 7.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) （1）点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; （2）点在圆外: (x0-a)2+(y0-b)2＞r2 ;
（3）点在圆内: (x0-a)2+(y0-b)2＜r2 .
2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离 是
1 2 解析
（D ）
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第3节 圆的方程
【课标要求】
1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【知识衍化体验】
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ．
2．圆的标准方程
（1）以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为 ．
（2）特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为 ，半径为 ．
3．圆的一般方程
方程22
0x y Dx Ey F ++++=变形为22224()()224D E D E F x y +-+++=． （1）当2240D E F +->时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆；
（2）当2240D E F +-=时，该方程表示一个点 ；
（3）当2240D E F +-<时，该方程不表示任何图形．
4．点与圆的位置关系
已知点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，M 到C 的距离为d ，M 与圆C 的位置关系：
（1）点M (x 0，y 0)在圆上⇔ ⇔ ；
（2）点M (x 0，y 0)在圆外⇔ ⇔ ；
（3）点M (x 0，y 0)在圆内⇔ ⇔ ．
[微点提醒]
1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）．
2．圆心在坐标原点半径r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆
的参数方程：cos ,sin .x a r y b r =+⎧⎨=+⎩
θθ 3．直径式方程：以11()A x y ，，22()B x y ，为直径端点的圆的方程为
1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．
4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.
基础自测
疑误辨析
多项选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．确定圆的几何要素是圆心与半径．
B ．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．
C ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0
＋F >0． D ．圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是1(1,)2
． 教材衍化
2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线y x =-上，且过两点(20)A ，，(04)B -，的圆的标准方程为 ．
3．（必修2P111练习8改编）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是 ．
考题体验
4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1，1)
B ．(0，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．a ＝±1
5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
6．已知三点(10)A ，，(0B ，(2C ，
则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A ．53
B ．3
C
D ．43
【考点聚焦突破】
考点一 求圆的方程问题
【例1】（1）过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆的方程为________．
（2）已知圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，且与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－
2)，则圆C 的方程为________．
规律方法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：
⇔圆心在过切点且垂直切线的直线上；
⇔圆心在任一弦的中垂线上；
⇔相切两圆的连心线经过切点；
（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．
【训练1】（1）已知点A 是Rt △ABC 的直角顶点，且A (a ，2)，B (－4，a )，C (a ＋1，
1)，则△ABC 的外接圆的方程是____________．
（2）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=
，则圆C 的方程为 ． 考点二 与圆有关的最值问题
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2-1】 已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．
（1）求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；
（2）求x －2y 的最大值和最小值；
（3）求y －2x －1
的最大值和最小值．
规律方法
1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．
2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
（1）形如μ＝y －b x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如m =(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度2 利用对称性求最值
【例2-2】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4
B ．17－1
C ．6－2 2
D ．17
规律方法
求解形如|PM |＋|PN |（其中M 、N 为动点）且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．
【训练2】（1）已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )
A ．3－ 2
B ．3＋2
C ．3－22
D ．3－22 （2）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．20x y +-=
B ．10y -=
C ．0x y -=
D ．340x y +-=
（3）光线从A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】（1）设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，P 为线段MN 的中点，求点P 的轨迹方程．
（2）已知点M （x ，y ）与两个定点O （0，0），A （3,0）的距离之比为12
，求点M 的轨迹方程为．
规律方法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【训练3】（1）圆224240
：中经过原点O的弦的中点M的轨迹方程是
C x y x y
++--=
________．
（2）已知圆22
+=和点(2,0)
:1
O x y
b≠-和常数λ满足：对圆O
B b(2)
A-，若定点(,0)
上任意一点M，都有||||
b=λ=
MB MA
=λ，则（Ⅰ）；（Ⅱ）. 反思与感悟
[思维升华]
1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．
2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．
[易错防范]
1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．
2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．。