两个样本的差异显著性检验

1269
122
22
484
128
28
784
114
14
196
130
30
900
130
30
900
114
14
196
155
55
3025
123
23
529
116
16
256
134
34
1156
140
40
1600
128
28
784
160
60
3600
107
7
49
100
0
0
123
23
529
105
5
25
125
25
625
220
120
两个样本的差异显著性检验
LD130914
1. 检验的假设 2. 单侧检验与双侧检验 3. 两个方差的检验 — F 检验 4. 标准差（ σ i）已知时，两个平均数间差异显著性检
验 5. 标准差（σ i）未知但相等时，两个平均数间差异显
著性检验—成组数据 t 检验 6. 标准差（σ i）未知且可能不等时，两平均数间差异
t13,35，0.025 = t13+（t14 - t13）*（13.35 - 13）
=2.160+（2.145-2.160）*0.35
=2.160-0.00525
=2.155
t < t0.05 ( 双侧 )，即 P > 0.05。结论是催产素对大鼠血糖含量的影响 是不显著的
若经 F 检验发现 σ1 ≠ σ2，这时为了检验平均数之间的差异
显著性，可以用一种近似的方法做推断，称之为 Aspin—Welch
检验。该检验的临界值仍由 t 表查出，但自由度却由 df1 和 df2
以及������12 和 ������22 确定。
������1 ������2
1
df k 2 (1 k)2
3.两个方差的检验—F 检验
F— test 程序如下：
（1）假定从两个正态总体中独立抽取含量分别为 n1 和 n2 的 两个随机样本，计算出 s12 和 s22 ，做 F 检验时与总体平均数 µ1 和 µ2 无关，他们可以相等也可不等。
（2）零假设 H0： σ1= σ2. 备择假设可以是以下 3 种情况中的任何一种：
时拒绝 H0
例.2
测定了 20 位青年男子和 20 位老年男子的血压值（收缩压 mmHg）如下表，问老年人血压值个体间的波动是否显著 高于青年人？
青年男子
老年男子
X1
X'1=X1-100
X'12
X2
X'2=X2-100
X'22
98
-2
4
133
33
1089
160
60
3600
120
20
400
136
36
tn1n 22
27.92 25.11
2.168
69.384 9.215 ( 1 1 )
13
96
t0.05 (双侧）= 2.160，t > t0.05（双侧）, 即 P< 0.05, 结论是在 α=0.05 水平上两种药物 对肾组织切片氧消耗的影响刚刚达到显著。
6.标准差（σ i）未知且可能不等时，两平均数间差 异显著性检验
其中
s12
df1 df2
检验统计量
k

s12
n1 s22
n1 n2
t X1 X 2 s12 s22 n2 n2
例.5
两组类似的大鼠，一组作对照，另一组做药物处理，然后测 定血糖，结果如下（mg）：
对照组：n1=12， x1 = 109.17，s12=97.430 催产素组：n2=8，x2 =106.88，s22=7.268 问药物对大鼠血糖含量的影响是否显著？
显著性检验
假设检验（Hypothesis test）
对所估计的总体提出相应的假设，通过实验 或调查得到的样本数据，用统计方法对样本数据 分析，依据样本提供有限信息, 检验假设是否成 立，推断总体情况。
例.1
用实验动物做实验材料，要求动物平均体重 µ=10.00g，若 µ<10.00g 需再饲养，若 µ>10.00g 则应淘汰。动物体重是服从正 态分布 N（µ，σ2）的随机变量，已知总体标准差 σ = 0.40g
1.建立检验的假设
H0： µ=µ0 （零假设，总体平均数等于某一给定值，本例 µ0=10.00）
HA：µ≠µ0 （备择假设，在拒绝 H0 的情况下可供选择的假设， 例如，HA：µ>10.00; HA: µ<10.00; 及HA ≠10.00）
2.单侧检验与双侧检验
单侧检验：理论上只可能一个方向,如 µ<µ0 例：理论上某新药疗效应优于安慰剂药的效果


2 2
7.2 2
n1 n2
20
⑤建立 H0 的拒绝域：因 HA： µ1> µ2，故为上尾单侧 检验。当 u > u0.05 时拒绝 H0，由附表查出 u0.05 = 1.645.
⑥结论： 因 u < u 0.05，即 P > 0.05, 所以接受 H0 结论是 第一渔场的马面鲀体长并不比第二号渔场长。
在 H0：µ1=µ2 上式变为：
tn1n22
X1 X 2 (n1 1)s12 (n2 1)s22 ( 1 1 )
(n11) (n2 1) n1 n2
例.4
研究两种激素类药物对肾组织切片的氧消耗的影响，结果 是 (1) n1 = 9, x1= 27.92, s12=8.673. (2) n2=6, x2= 25.11, s22 = 1.843. 问两种药物对肾组织切片氧消耗的影响差异是否显 著？
S12
=
19354−526002 19
=
193.4,
s22
=
4516−724002 19
=
937.7
于是
193.4
F = 937.7 = 0.206
⑤ 建立 H0 的拒绝域：因 HA： σ1< σ2，故为下尾单侧检验， 当 F < FБайду номын сангаас.95 时拒绝 H0。 α=0.05 的下侧临界值可由下式求
出：F19,19,0.95
740
45196
解： ① 人类血压值是服从正态分布的随机变量，且上述两样本是独
立获得的
② 假设：H0：σ1= σ2； HA：σ1< σ2（已知老年人的血压值 在个体之间的波动只会大于青年人，绝不会小于青年人）
③ 显著性水平： α = 0.05
④ 统计量的值：
其中
Fdf1,df2
=
������12 ������22
5.标准差（σ i）未知但相等时，两个平均数间差异 显著性检验—成组数据 t 检验
成组数据 t 检验所用的检验统计量由下式给出：
tn1n22
( X1 X 2) (1 2)
(n1 1)s12 (n2 1)s22 ( 1 1 ) (n11) (n2 1) n1 n2
双侧检验: 理论上可能为两个方向 ,如 µ≠µ0 例：研究男性与女性β脂蛋白指标（总体水平）是
否不同？
单侧检验（上尾检验）
双侧检验
如果问题只要求判断 µ是否等于 µ0，并不需要知道究竟是大于 µ0 还是小于 µ0 时应该做双侧检验。如果实现可以断定 µ不可能 大于 µ0 或不可能小于 µ0，则可做单侧检验。
则有
H0：µ1 = µ2； HA： µ1 ≠ µ2； α=0.05
s12
97.430
k

n1 s12 s22

12 97.430 7.268
0.899
n1 n2
12
8
1-k = 0.101
1
1
df k 2 (1 k)2 0.8992 0.1012 13.35
df1 df2
=
1=
������19,19,0.05
1 2.18
=
0.459
⑥ 结论：因 F < F0.95, 即 P < 0.05, 所以拒绝 H0，接受 HA。结
论是老年人的血压值在个体之间的波动显著高于年青人。
4. 标准差（ σ i）已知时，两个平均数间差异显著性检验
（1）假定从两个正态分布的总体中独立抽取含量分别为 n1 和 n2 的样本。
11
7
将以上数据带入 t 的计算公式，得：
X1 X 2 109.17 106.88
t

0.76
s12 s22
8.119 0.909
n2 n2
df = 13.15 时的 t 临界值需要用线性内插法求出，具体方法是，先分 别查出 t13,0.025 = 2.160 和 t14,0.025 = 2.145，则：
（5）建立 H0 的拒绝域： ① 相应于 HA： σ1> σ2， 应做上尾单侧检验，当 F > Fα 时拒绝 H0，
Fα 可查附表得到
② 相应于 HA： σ1< σ2， 应做下尾单侧检验，当 F > F1-α 时拒绝 H0， 下侧临界点 F1-α 的值可由下式求出：
Fdf1,df2,(1-α) =1 / Fdf2,df1,α ① 相应于 HA： σ1 ≠ σ2， 应做双侧检验，当 F > Fα/2 以及 F < F 1-α/2
14400
129
29
841
120
20
400
132
32
1024
182
82
6724
154
54
2916
130
30
900
115
15
225
139
39
1521
126
26
676
190
90
8100
132
32
1024
124
24
576
136
36
1296
110
10
100
130
30
900
130
30
900
和
560
19354
和
（4）检验统计量：
u ( X1 X 2) (1 2)

2 1


2 2
n1 n2
在 H0：µ1=µ2 的假设下，上式变为：
u X1 X 2

2 1


2 2
n1 n2
例.3 调查两个不同渔场的马面鲀体长，每一渔场调查20条，平均
体长分别为x1 =19.8cm, x2 =18.5. σ1 = σ2 = 7.2 cm。问在
① HA： σ1> σ2 (已知 σ1 不可能小于 σ2） ② HA： σ1< σ2 (已知 σ1 不可能大于 σ2） ③ HA： σ1 ≠ σ2 (包括以上两种情况）
（3）显著水平：常用 α=0.05 或 α=0.01 两个水平
（4）检验统计量：在 H0：σ1= σ2 下可用下式： Fdf1,df2 = s12/s22, df1 = n1-1, df2 = n2-1
解：第一步，做方差齐性检验：
H0： σ1= σ2； HA： σ1 ≠ σ2； α=0.05
8.673 F8,5 = 1.843 = 4.71, F8,5,0.025 = 6.757
F < F0.025，结论是可以接受 σ1= σ2 的假设。
第二步，做平均数之间差异的显著性检验：
H0：µ1=µ2； HA： µ1 ≠ µ2； α=0.05
α=0.05 水平上，一号渔场的马面鲀体长是否显著高于第二号
渔场的马面鲀体长？
解： ①马面鲀体长是服从正态分布的随机变量；两样本是独立获得的。
②假设：
H0：µ1=µ2
③显著水平：已规定 α=0.05
HA： µ1> µ2
④统计量的值：
u X1 X 2 19.8 18.5 0.57

2 1
（2）零假设 H0：µ1=µ2 备择假设可能是以下三种的任何一种：
① HA： µ1 > µ2 (已知 µ1 不可能小于 µ2） ② HA： µ1 < µ2 (已知 µ1 不可能大于 µ2） ③ HA： µ1 ≠ µ2 ( 包括以上两种情况） （3）显著水平：常用 α=0.05 或 α=0.01 两个水平
解：第一步，做方差齐性检验：
H0： σ1= σ2； HA： σ1 ≠ σ2；
α=0.05
97.430 F11,7 = 7.268 = 13.41, F11, 7, 0.025 = 4.714
F > F0.025，结论是方差不具齐性
第二步，做平均数间差异显著性检验。由于 σ1 ≠ σ2，应使用
Aspin—Welch 检验。