广东省肇庆市实验中学高中数学理选修2-2学案：1-3-3函

1.3.3函数的最大（小）值与导数（1）

一、学习要求

1．理解闭区间上的连续函数必有最大值、最小值；

2．掌握闭区间上连续、开区间上可导的函数的最大值、极小值的求法。

二、先学后讲

1．函数的最大值、最小值

如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称

为函数在定义域上的最大值。

如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称

为函数在定义域上的最小值。

【注意】函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的；

函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。

2．求函数在区间上的最大值与最小值

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：

（1）求函数在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

特别地：

若函数在区间上单调递增，则函数的最小值是，最大值是

；

若函数在区间上单调递减，则函数的最大值是，最小值是

。

三、问题探究

■合作探究

例1．求函数在上的最大值与最小值。

解：∵，∴；

由，解得或（舍去）。

当变化时，与的变化情况如下表：

∴函数在上的最大值是22；最小值是。

■自主探究

1．求函数在上的最大值与最小值。

解：∵，∴；

由，解得或。

当变化时，与的变化情况如下表：

∴函数在上的最大值是54，最小值。

四、总结提升

利用导数求函数在闭区间内最大值与最小值时，通常情况下不必具体确定函数的极大值与极小值，只要把所有极值点与端点处的函数值计算出来，然后比较它们的大小即可。

五、问题过关

1.求函数在区间上的最大值与最小值。

解：∵，∴；

由，解得，

又，，，

∴函数在上的最大值是，最小值。

2.函数在区间上的最大值是（）。

．．．．

解：∵，∴；令，解得，

又，，，，∵，∴。故选。

3.函数在上（）。（答案：）

．有最大值18，无最小值．有最大值18，有最小值

．有最大值0，有最小值．无最大值，无最小值

解：，令，解得

或；又，，，。