线性变换的特征值和特征向量ppt课件
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线性变换的特征值与特征向量.2021优秀PPT文档
0 F 。那么我们有 f ( ) 0 AX 0 X
由此可得
（1.8.1）
定理：0是 f 的特征值 0是 A的特征值。 是 f 的属于0 的特征向量 X 是 A的 属于 0 的特征向量。
设 a1,a2, an是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A在这组
基下的矩阵表示是 A.若设0是 A的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1,a2, an下的坐标是
( x1, x2 , xn )T ，即
=（a1,a2 ,
x1
an
）
x2
（1.8.2）
x4
把（1.8.2）代入式（1.8.1）得
A(a1 , a2 ,
x1
an
)
x2
=
0
(a1
,
a2
,
x4
x1
an
)
x2
x4
此即 (a1 , a2 ,
x1
an
)A
记及重数）。矩阵 A的所有特征值的全体称为
A的谱，并用 A表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。
推论 1 相似矩阵有相同的谱。
推论 2 设 是矩阵 A的特征值 所对应的特征 向量，则 P 1 是矩阵 B P 1 AP 的特征值 所
对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线
对于特征值-6，解齐次线性方程组
(6I A)X 0
得到一个基础解系：
1 2 2T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K
这里k 为数域 K 中任意非零数。
《线性代数(修订版)》教学课件 4.2 特征值与特征向量
λ1 + λ2 λn a11 a22 ann .
性质2 设 A为可逆方阵，λ 为 A 的特征值，则：
(1) λ 0;
(2) 1 是 A1 的特征值.
λ
证明 （1）由性质1，方阵的行列式为其全部特征值
的乘积. 又若 A为可逆方阵，则其行列式不等于零，
因此，其任何特征值都不能为零.
当 λ2 λ3 1 时，解方程组 ( A E)x 0, 即
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
1
得基础解系为 p2
2 ,
所以 kp2(k 0, k
)
1
是对应于 λ2 λ3 1 的全部特征向量.
例
求
A
2 0
1 2
1 0,
当 λ1 2 时，解方程组 ( A 2E)x 0, 即
32
1
1 32
x1 x2
0 0
,
解得
x1
x2 , 所以对应的特征向量可取为 p1
1 1 .
对应于λ1 2 的全部特征向量为kp1(k 0, k ).
当 λ2 4 时，解方程组 ( A 4E)x 0, 即
显然，特征值就是特征方程的解.
由代数基本定理，在复数范围内，一元 n 次代数 方程必有 n 个解（其中可能有重解和复数解）.
因此，A 的特征值有 n 个.
设 λ λi (i 1, 2, , n) 为方阵 A 的一个特征值， 若由方程 ( A λi E )x 0求得非零解 x pi , 则 pi 即为 A的对应于特征值 λi的特征向量.
求特征值及对应特征向量的步骤
（1）计算特征多项式 A λE ; （2）求出特征方程的全部解，即为 A的全部特征值； （3）对每一个特征值 λi , 求出对应的特征向量，即 先求出齐次线性方程组 ( A λi E )x 0的一个基础解 系ξ1, ξ2 , , ξt , 则对应 λi 的全部特征向量为
性质2 设 A为可逆方阵，λ 为 A 的特征值，则：
(1) λ 0;
(2) 1 是 A1 的特征值.
λ
证明 （1）由性质1，方阵的行列式为其全部特征值
的乘积. 又若 A为可逆方阵，则其行列式不等于零，
因此，其任何特征值都不能为零.
当 λ2 λ3 1 时，解方程组 ( A E)x 0, 即
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
1
得基础解系为 p2
2 ,
所以 kp2(k 0, k
)
1
是对应于 λ2 λ3 1 的全部特征向量.
例
求
A
2 0
1 2
1 0,
当 λ1 2 时，解方程组 ( A 2E)x 0, 即
32
1
1 32
x1 x2
0 0
,
解得
x1
x2 , 所以对应的特征向量可取为 p1
1 1 .
对应于λ1 2 的全部特征向量为kp1(k 0, k ).
当 λ2 4 时，解方程组 ( A 4E)x 0, 即
显然，特征值就是特征方程的解.
由代数基本定理，在复数范围内，一元 n 次代数 方程必有 n 个解（其中可能有重解和复数解）.
因此，A 的特征值有 n 个.
设 λ λi (i 1, 2, , n) 为方阵 A 的一个特征值， 若由方程 ( A λi E )x 0求得非零解 x pi , 则 pi 即为 A的对应于特征值 λi的特征向量.
求特征值及对应特征向量的步骤
（1）计算特征多项式 A λE ; （2）求出特征方程的全部解，即为 A的全部特征值； （3）对每一个特征值 λi , 求出对应的特征向量，即 先求出齐次线性方程组 ( A λi E )x 0的一个基础解 系ξ1, ξ2 , , ξt , 则对应 λi 的全部特征向量为
特征值与特征向量的概念(1).ppt
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
线性代数第六章特征值与特征向量课件
3）对于 (x) as xs a1x a0 ，()是( A) 的特征值，且 是 () 属于( A)的特征向量；
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
线性变换的特征值和特征向量 ppt课件
17.08.2020
1
例子: 线性变换的矩阵
17.08.2020
2
线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
17.08.2020
3
例子
17.08.2020
4
例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
17.08.2020
5
特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
如果存在非零列向量X使得
17.08.2020
6
变换的特征向量与矩阵的特征向量
17.08.2020
7
特征矩阵与特征多项式
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
17.08.2020
8
特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
17.08.2020
13
例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义.
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
17.08.202014§3 线性变换的特 Nhomakorabea值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。
线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法
➢ 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件
性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次
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➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
12.08.2020
9
.
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
12.08.2020
1
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例子: 线性变换的矩阵
12.08.2020向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
12.08.2020
3
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例子
12.08.2020
4
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例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
12.08.2020
5
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特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
12.08.2020
13
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例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义.
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
12.08.2020
14
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特征值与行列式, 迹
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15
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§3 线性变换的特征值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。
线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法
➢ 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
如果存在非零列向量X使得
12.08.2020
6
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变换的特征向量与矩阵的特征向量
12.08.2020
7
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特征矩阵与特征多项式
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
12.08.2020
8
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特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
12.08.2020
10
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例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
的基础解系.
…
12.08.2020
11
.
例3.5 续
的基础解系.
特征子空间:
12.08.2020
特征子空间
12 .
变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
12.08.2020
9
.
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
12.08.2020
1
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例子: 线性变换的矩阵
12.08.2020向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
12.08.2020
3
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例子
12.08.2020
4
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例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
12.08.2020
5
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特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
12.08.2020
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例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义.
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
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特征值与行列式, 迹
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§3 线性变换的特征值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。
线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法
➢ 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
如果存在非零列向量X使得
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变换的特征向量与矩阵的特征向量
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特征矩阵与特征多项式
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
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特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
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例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
的基础解系.
…
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例3.5 续
的基础解系.
特征子空间:
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特征子空间
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变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．