数理方程
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29
2x y 4 y 3 y xe cos 3 x 的通解. 例7 求微分方程
解 对应齐次方程
2
y 4 y 3 y 0 r1 =1,r2 =3.
r 4r 3 0,
齐次方程的通解为 Y C1e x C 2e 3 x .
2, 3, i 2 3i不是特征方程的根.
d 2 a sin 0 单摆: = (t) 2 dt
u 2 u a 2 2 t x
2 2
弦振动: u=u(x,t )
12
本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程： (1)、波动方程定解问题：
utt a u f
2
(2)、热传导方程定解问题
ut a u f
n
y f ( x, y )
y f ( y , y )
21
dy 4 例 4 求方程 y x2 y 的通解. dx x
解
1 dy 4 y x2 , 两端除以 y，得 y dx x
令z
2
y,
dz 4 2 z x2 , dx x
4 x 即 y x C . 2
14
三、课程学习的基本要求
(1)、理解数学物理方程中出现的基本概念； (2) 、能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件； (3)、了解定解问题解的物理意义； (4) 、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题 的如下典型解法： 分离变量法；行波法；积分变换法；格林函 数法。 考试重点：定解问题求解(统考,考教分离)。
数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@126.com 数学科学学院
1
《数学物理方程》
作者: 李明奇、田太心 购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版 社，1998 [2] 沈施，《数学物理方法》，同济大学出版社， 2002 [3] 姚瑞正，梁家宝，《数学物理方法》，武汉大 学出版社，1992 [4] 谢鸿证，杨枫林，《数学物理方程》，科学出 版社，2001
通解为 ln | x |
g ( u) du C . u[ f ( u) g ( u)]
例2 求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在 y 轴 上的截距等于原点到点P的距离 y . 解 设点P的坐标为（x, y） 所求曲线为y=f(x),切线上的 动点为(X，Y )，则过点P 的切线方程为： P(x,y)
由y 1 1, 代入上式 C1 1.
2 1 dy 1 1 积分 ln x y ln x ln x C 2 2 dx x x 2 1 得方程特解 y ln x ln x . 2 y 1 0 C 2 0
25
线性微分方程
y ( n ) a1 ( x ) y ( n 1) a2 ( x ) y ( n 2) an 1 ( x ) y an ( x ) y f ( x )
y ( n ) a1 ( x ) y ( n 1) a2 ( x ) y ( n 2) an 1 ( x ) y an ( x ) y 0
xe
ln cos y
sin 2 y e
ln cos y
dy C
20
2 sin y cos y cos y dy C cos yC 2 cos y . cos y
4. 贝努里方程：
y p( x) y q( x) y
5. 可降阶的二阶微分方程：
8
3、傅立叶实验定律(热传导)：
dQ kun ( M , t )dSdt
其中,热流密度：
q kun ( M , t )
4、牛顿冷却定律： 热流密度：
q k u s u0
9
5、热量守恒定律
Q吸 Q放
6、Coulomb定律：
u
q 4 r
7、静电场中的高斯定律：
24
分离变量得 dy C1dx y y C 2e C1 x .
dy 当y 0, p 0时， 即 0 y C 也是原方 dx 程的解 .但在通解y C 2e 中,显然C1 0时，
C1 x
给出了y C 2 , 又再当C 2 0时， 包含了y 0. 因此， y 0和y C 都包含在了通解y C 2e C1 x中.
5
第一章 绪论
一、课程意义 二、物理定律与偏微分方程概念 三、课程学习的基本要求 四、常微分方程复习 五、积分公式 六、常用算子
6
一、课程意义
在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、 生物工程等众多领域中,不可避免的问题是需要研究 某物理量和其它物理量之间的函数关系。 要得到反映物理量之间的函数关系，将归结为所 谓微分方程的布列与求解。 数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典 型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。 所以，数学物理方程与特殊数函数就成为多数理 工科专业学生的一门重要基础性课程。
的特解形式为 利用欧拉公式：
(1) (2) y* x k e x [ Rm ( x )cos x Rm ( x )sin x ]
x
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m 次多项式， m maxl , n
0 i 不是根, k 1 i 是根.
15
四、常微分方程复习
1. 可分离变量的一阶微分方程。
f ( x ) dx g ( y ) dy
2. 齐次方程基本形式为：
dy y f( ) dx x
3. 一阶线性微分方程基本形式为：
y p( x) y q( x)
16
例1 求方程 f ( xy ) ydx g ( xy ) xdy 0 通解.
2
x 解得 z x C , 2
22
2 x y xy 1 满足初始条件 例5 求微分方程
y 1 0, y 1 1 的特解. 解 此方程不显含 y , 作代换 y p, x 2 p xp 1 其通解为 p e
1 dx x dx 1 1 C1 1 x ln x . dx C1 2 e x x x
3
[5] 南京工学院数学教研组，《数学物理方程与特殊 函数》，人民教育出版社，1983 [6] 孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社， 2004 [7] 胡嗣柱，倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学 出版社，1989 [8] 姜尚礼，陈亚浙，《数学物理方程讲义》，高等 教育出版社，1996
4
[9] F.W.拜伦，R.w.富勒，《物理中的数学方 法》，科学出版社，1982 [10] 陈恕行，洪家兴，《偏微分方程近代方法》， 复旦大学出版社，1989 [11] 王元明，管平，《线性偏微分方程引论》，东 南大学出版社，2002
Y y y X x , 令X=0得
o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
y xy
x2 y2
18
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2 u2 C . 2 x 1 u y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
23
2 求方程 y y y 0 的通解 . 例6
解
设 y p( y ),
dp 则 y p , dy
代入原方程得
dp y p p 2 0, dy
当y 0, p 0时,约去p并分离变量得 dp dy = , p y dy 两边积分并化简得p C1 y , 即 =C1 y, dx
2
(3)、稳态场方程定解问题
u f ( M )
13
本课程重点讨论如下两类典型常微分方程： (1)、贝塞尔方程：
2 d y dy 2 2 2 x x ( x n )y 0 2 dx dx
(2)、勒让德方程：
1 x
2
d2y dy 2x n ( n 1) y 0 2 dx dx
1 a 10a 1, 10 10b bc 0, b 0, 解得 比较系数可得 10c 0, c 0, 3 6a 10d 0. d . 50 x 3 * 2x y e cos 3 x sin 3 x . 50 10 3 x 通解 :y Y y C1e C2e e cos3 x sin3 x . 50 10
E dS
S
1
dV
V
10
8、焦耳—楞次定律：
Q I Rt
2
9、克希荷夫定律： (1)、节点电流定律：
I
k 1
n
kຫໍສະໝຸດ Baidu
0
n
(2)、回路电压定律：
I
k 1
n
k
Rk
k 1
k
11
(二)、常微分方程与偏微分方程
如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 这 种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相 应的方程称为偏微分方程。
解 令u xy ,
则 du xdy ydx ,
du ydx f ( u) ydx g ( u) x 0, x u [ f ( u) g ( u)] dx g ( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g ( u)]
y* e 2 x ax b cos 3 x cx d sin 3 x 将y* , y* , y* 代入原方程并消去e 2 x可得:
30
10ax 10b bccos3x 10cx 6a 10d sin3x xcos3x.
y
(n)
a1 y
( n 1)
a2 y
( n 2)
an 1 y an y 0
26
7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
y py qy f ( x )
f (x)的两种类型：
f ( x ) e Pm ( x )
x
f ( x ) e [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ]
若x<0,方程为
2
y y y 1 , 其通解为 -y x 2 y 2 Cx 2 . x x 19
2
cos y 例3 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
解
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y , dy cos y dx tan y x sin 2 y , dy
x
27
1、y py qy e x Pm ( x )
0 不是根 * k x 设 y x e Qm ( x ) , k 1 是单根 , 2 是重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 注意微分方程（k是重根次数）.
28
2、f ( x ) e [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ] 型
7
二、物理定律与偏微分方程概念
(一)、物理定律
某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的 是同一类物理现象的共同规律。 物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础， 学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。 1、牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 2、虎克定律： (1) 弹簧：f = - k x (2) 弹性体：p = Yu x
2x y 4 y 3 y xe cos 3 x 的通解. 例7 求微分方程
解 对应齐次方程
2
y 4 y 3 y 0 r1 =1,r2 =3.
r 4r 3 0,
齐次方程的通解为 Y C1e x C 2e 3 x .
2, 3, i 2 3i不是特征方程的根.
d 2 a sin 0 单摆: = (t) 2 dt
u 2 u a 2 2 t x
2 2
弦振动: u=u(x,t )
12
本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程： (1)、波动方程定解问题：
utt a u f
2
(2)、热传导方程定解问题
ut a u f
n
y f ( x, y )
y f ( y , y )
21
dy 4 例 4 求方程 y x2 y 的通解. dx x
解
1 dy 4 y x2 , 两端除以 y，得 y dx x
令z
2
y,
dz 4 2 z x2 , dx x
4 x 即 y x C . 2
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三、课程学习的基本要求
(1)、理解数学物理方程中出现的基本概念； (2) 、能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件； (3)、了解定解问题解的物理意义； (4) 、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题 的如下典型解法： 分离变量法；行波法；积分变换法；格林函 数法。 考试重点：定解问题求解(统考,考教分离)。
数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@126.com 数学科学学院
1
《数学物理方程》
作者: 李明奇、田太心 购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版 社，1998 [2] 沈施，《数学物理方法》，同济大学出版社， 2002 [3] 姚瑞正，梁家宝，《数学物理方法》，武汉大 学出版社，1992 [4] 谢鸿证，杨枫林，《数学物理方程》，科学出 版社，2001
通解为 ln | x |
g ( u) du C . u[ f ( u) g ( u)]
例2 求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在 y 轴 上的截距等于原点到点P的距离 y . 解 设点P的坐标为（x, y） 所求曲线为y=f(x),切线上的 动点为(X，Y )，则过点P 的切线方程为： P(x,y)
由y 1 1, 代入上式 C1 1.
2 1 dy 1 1 积分 ln x y ln x ln x C 2 2 dx x x 2 1 得方程特解 y ln x ln x . 2 y 1 0 C 2 0
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线性微分方程
y ( n ) a1 ( x ) y ( n 1) a2 ( x ) y ( n 2) an 1 ( x ) y an ( x ) y f ( x )
y ( n ) a1 ( x ) y ( n 1) a2 ( x ) y ( n 2) an 1 ( x ) y an ( x ) y 0
xe
ln cos y
sin 2 y e
ln cos y
dy C
20
2 sin y cos y cos y dy C cos yC 2 cos y . cos y
4. 贝努里方程：
y p( x) y q( x) y
5. 可降阶的二阶微分方程：
8
3、傅立叶实验定律(热传导)：
dQ kun ( M , t )dSdt
其中,热流密度：
q kun ( M , t )
4、牛顿冷却定律： 热流密度：
q k u s u0
9
5、热量守恒定律
Q吸 Q放
6、Coulomb定律：
u
q 4 r
7、静电场中的高斯定律：
24
分离变量得 dy C1dx y y C 2e C1 x .
dy 当y 0, p 0时， 即 0 y C 也是原方 dx 程的解 .但在通解y C 2e 中,显然C1 0时，
C1 x
给出了y C 2 , 又再当C 2 0时， 包含了y 0. 因此， y 0和y C 都包含在了通解y C 2e C1 x中.
5
第一章 绪论
一、课程意义 二、物理定律与偏微分方程概念 三、课程学习的基本要求 四、常微分方程复习 五、积分公式 六、常用算子
6
一、课程意义
在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、 生物工程等众多领域中,不可避免的问题是需要研究 某物理量和其它物理量之间的函数关系。 要得到反映物理量之间的函数关系，将归结为所 谓微分方程的布列与求解。 数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典 型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。 所以，数学物理方程与特殊数函数就成为多数理 工科专业学生的一门重要基础性课程。
的特解形式为 利用欧拉公式：
(1) (2) y* x k e x [ Rm ( x )cos x Rm ( x )sin x ]
x
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m 次多项式， m maxl , n
0 i 不是根, k 1 i 是根.
15
四、常微分方程复习
1. 可分离变量的一阶微分方程。
f ( x ) dx g ( y ) dy
2. 齐次方程基本形式为：
dy y f( ) dx x
3. 一阶线性微分方程基本形式为：
y p( x) y q( x)
16
例1 求方程 f ( xy ) ydx g ( xy ) xdy 0 通解.
2
x 解得 z x C , 2
22
2 x y xy 1 满足初始条件 例5 求微分方程
y 1 0, y 1 1 的特解. 解 此方程不显含 y , 作代换 y p, x 2 p xp 1 其通解为 p e
1 dx x dx 1 1 C1 1 x ln x . dx C1 2 e x x x
3
[5] 南京工学院数学教研组，《数学物理方程与特殊 函数》，人民教育出版社，1983 [6] 孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社， 2004 [7] 胡嗣柱，倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学 出版社，1989 [8] 姜尚礼，陈亚浙，《数学物理方程讲义》，高等 教育出版社，1996
4
[9] F.W.拜伦，R.w.富勒，《物理中的数学方 法》，科学出版社，1982 [10] 陈恕行，洪家兴，《偏微分方程近代方法》， 复旦大学出版社，1989 [11] 王元明，管平，《线性偏微分方程引论》，东 南大学出版社，2002
Y y y X x , 令X=0得
o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
y xy
x2 y2
18
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2 u2 C . 2 x 1 u y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
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2 求方程 y y y 0 的通解 . 例6
解
设 y p( y ),
dp 则 y p , dy
代入原方程得
dp y p p 2 0, dy
当y 0, p 0时,约去p并分离变量得 dp dy = , p y dy 两边积分并化简得p C1 y , 即 =C1 y, dx
2
(3)、稳态场方程定解问题
u f ( M )
13
本课程重点讨论如下两类典型常微分方程： (1)、贝塞尔方程：
2 d y dy 2 2 2 x x ( x n )y 0 2 dx dx
(2)、勒让德方程：
1 x
2
d2y dy 2x n ( n 1) y 0 2 dx dx
1 a 10a 1, 10 10b bc 0, b 0, 解得 比较系数可得 10c 0, c 0, 3 6a 10d 0. d . 50 x 3 * 2x y e cos 3 x sin 3 x . 50 10 3 x 通解 :y Y y C1e C2e e cos3 x sin3 x . 50 10
E dS
S
1
dV
V
10
8、焦耳—楞次定律：
Q I Rt
2
9、克希荷夫定律： (1)、节点电流定律：
I
k 1
n
kຫໍສະໝຸດ Baidu
0
n
(2)、回路电压定律：
I
k 1
n
k
Rk
k 1
k
11
(二)、常微分方程与偏微分方程
如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 这 种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相 应的方程称为偏微分方程。
解 令u xy ,
则 du xdy ydx ,
du ydx f ( u) ydx g ( u) x 0, x u [ f ( u) g ( u)] dx g ( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g ( u)]
y* e 2 x ax b cos 3 x cx d sin 3 x 将y* , y* , y* 代入原方程并消去e 2 x可得:
30
10ax 10b bccos3x 10cx 6a 10d sin3x xcos3x.
y
(n)
a1 y
( n 1)
a2 y
( n 2)
an 1 y an y 0
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7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
y py qy f ( x )
f (x)的两种类型：
f ( x ) e Pm ( x )
x
f ( x ) e [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ]
若x<0,方程为
2
y y y 1 , 其通解为 -y x 2 y 2 Cx 2 . x x 19
2
cos y 例3 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
解
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y , dy cos y dx tan y x sin 2 y , dy
x
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1、y py qy e x Pm ( x )
0 不是根 * k x 设 y x e Qm ( x ) , k 1 是单根 , 2 是重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 注意微分方程（k是重根次数）.
28
2、f ( x ) e [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ] 型
7
二、物理定律与偏微分方程概念
(一)、物理定律
某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的 是同一类物理现象的共同规律。 物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础， 学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。 1、牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 2、虎克定律： (1) 弹簧：f = - k x (2) 弹性体：p = Yu x