2020最新-《常微分方程》作业参考答案

《常微分方程》作业参考答案

一．求解下列方程 1．x c y cos =

2

3 4 5. 6789. 解为 .)3(3x x y -=

10. 通解为 .2

sin 2

22c y x y x =++ 11．方程为 .01

12

22=+-

y x dx dy x dx y d 12．通解为 ).tan(21c x c y +=

13. 通解为x Ce y =ln 14. 通解为 22x y Cy -=

15. 方程的通积分为C dy y xydx y

x

=-+⎰⎰)(20

20

,即C y y x =-323

16 . 通解为C e e x y +=

二．

1

2. 3.4. u

5.)(2

122

y x v +=

)

(*dt

dv )(22s x +-≤∠0 02

2≠+s x ∴（0.0）渐近稳定

6.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dt

dy y

x dt dx

32 特征方程为：012=++λλ

3-=∴∆＜0

P ＝1＞0 ∴

)Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定.

7.

01032=--λλ 5,221=-=λλ

x B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*

1

+++= 为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根

5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122

)(++=∴*

故其通解为： 215221y y e c e c y x x +++=-

8.

特征根为：2.1.1321==-=λλλ

11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=532α

12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=111β

13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=101

通解为：t

t t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

9.0:)0(=o y y 2121x y =

5

2220

121x x y -=

10.特征方程为：01072=++λλ 07>=p 010>=g 0>∆

故 (0.0)为稳定结点 11.

⎧dt x d

110⎥⎦⎢⎣

E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为

.101010101112321t

t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000

M y e M y ds e Me

y x y x x x

x s

x

+≤-+=+≤--⎰ []),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃

'C

5

分

7

5426430

20

21263

1152611)913232

21())((1)(x x x x x d d x x

x +-

-++=+--+=-+=⎰⎰ξξξξξξξξϕϕ

20.解:显然0=y 是方程的解.当0≠y 时,两端同除以5y ,得

x y dx dy y +=4511.令z y

=4

1

,

代入有x z dx

dz

+=-

4, 它的解为x Ce x z 44

1

-++

-=.于是原方程的解为 x Ce x y

44

411-++-=及0=y .

y =当

1λ取a 时