高等数学第八章第7节方向导数与梯度
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高等数学第八章第七节——方向导数与梯度
y
4
3.5
3
2.5
-grad f 2
1.5
grad f
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
BUCT
结论:
等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动
西
实点 例军 二校
地
形
图
BUCT
3. 梯度的基本运算公式
(1 g)r C a0d (2 g)r (C a u ) d C gruad (3 g( ) r u v a ) g du r g av d rad (4 g( ) u rv ) a u g dv r v a gd u rad (5 g)r f(u a ) d f(u )gr uad
BUCT
1. 定义
向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作gradf, 即
gradf
f , x
f , y
f z
xfiyf jzfk
同样可定义二元函数 f (x,y) 在点P(x, y) 处的梯度 grfa d x fi y f j x f, y f
2 xa042yb042zc042
2
x02 a4
y02 b4
z02 c4
BUCT
作业 P51 2，3，6，7，8，9，10
BUCT
备用题 1. 函数 ulnx2(y2z2)在点 M (1,2,2) 处的梯度 graudM92(1, 2, 2) (92考研)
解: gruaM d u x, u y, u z (1 ,2, 2)
向量场(矢性函数)
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
高等数学讲义课件 第7节 方向导数及梯度
u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在 这点的法线的一个方向相 同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这 个法线方向的方向导数．
江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度
,cos
2 b.
22 a2 b2
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12/29
又
z x
(
a
,
b
)
2x a2
x
a
2, a
22
2
z y
(
a, 2
b) 2
2y b2
y
b 2
2, b
z
z
cos z
cos
l ( a , b ) 22
x ( a , b ) 22
y ( a , b ) 22
2 a2 b2 . ab
设 el cos i cos
j 是方向l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f cos (f , f ) (cos ,cos )
l x
y
x y
gradf
( x,
y) el
|
gradf
( x,
y)
| cos ,
其中
( gradf
( x,
y) , el )
当 cos 1时 ， f 有最大值.
z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度，记为
gradf ( x0 , y0 ) fx ( x0 , y0 )i f y ( x0, y0 ) j .
【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量.
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17/29
若f
(
x,
y)在点 P0可微
f (x,
cos
y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿
,cos )的方向导数 ，可定义为
f lim f ( x t cos , y t cos , z t cos ) f ( x, y, z)
2019-D87方向导数与梯度高等数学-文档资料
x ( c x o ) 2 , s ( yy )2 c( o z )2 ,,szco s
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,
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u 162831 41 11
n P 14
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
fco sfco sfco so()
x
y
z
故
f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
第七节 方向导数与梯度课件
到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P
x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
第七节 方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。
但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。
例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。
因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。
设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。
射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。
如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离t PP =0的比值ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+→0t ）时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作),(00y x lf ∂∂，即lim0),(00+→=∂∂t y x lf ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα。
⑴注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。
而在偏导数中，x ∆与y ∆的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其值就是y x f f --,。
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
ky − 2 2 32 (x + y )
等值线方程为 x2 + y2 = (k / c)2. BUCT
结论: 结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点 蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
4 3.5 3 2.5 -grad f 2 1.5 1 0.5 0 grad f y
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
BUCT
一、问题的提出
一块长方形的金属板， 实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1) (5,1)，(1,3)，(5,3)． (1,1)， 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热． 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意 一点处的温度与该点到原点的距离成反比． 一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一只蚂蚁 处有一只蚂蚁， (3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬 行才能最快到达较凉快的地点？ 行才能最快到达较凉快的地点？
BUCT
示意图
3 2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质： 实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ BUCT
实例二
观 察 支 流 的 流 动 方 向
西点军校地形图
BUCT
一、方向导数 定义: 定义 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处 沿方向 l (方向角为 α , β , γ ) 存在下列极限:
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
方向导数与梯度ppt课件
lim φ( ρ) φ(0)
ρ0
ρ
φ (0).
本质上，方向导数计算可归结 为一元函数导数计算
例1 求f ( x, y) xy 在点 (1, 2) 处沿方向
el (cos m,cos n) 的方向导数. 解 ( x0, y0 ) (1,2), cosα cos m, cos β cos n,
P
o
x
f ( x ρcos π, y ρcos π ) f ( x, y)
lim
2
ρ0
ρ
– lim
ρ0
f (x
ρ, y) –ρ
f (x, y)
(
f x
)
f x
但
f 存在
x
f i
(el
i)
存在
f (
i
)
(el
i )
y
Pl
证 由函数
f ( x, y) 在点 可P微0 ,
f fx ( x0, y0) x f y( x0, y0)
得
y o( ρ)o P0
el y
x x
[
] o( ρ)
f [
故
f
lim f
l ( x0 , y0 ) ρ0 ρ
] o( ρ)
l ( x0 , y0 ) ρ0
ρ
注 1º方向导数的其他形式：
f l
( x0 , y0 )
lim
ρ0
f ( x0
ρcos α, y0 ρcos β) ρ
f ( x0, y0 )
lim f ( x Δx, y Δy) f ( x, y)
南京航空航天大学《高等数学》8.7方向导数与梯度
小结
1,方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)
2,梯度的概念
(注意梯度是一个向量)
3,方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
思考题
(分清方向导数与一般导数的区别)
梯度与等高线的关系:
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x , y ) = c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.
梯度的概念可以推广到三元函数
同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有
f f f f = cosα + cos β + cos γ . z l x y
n 是曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在点 例4 设 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 = (6 x 2 + 8 y 2 ) 2 在此处沿方向 n 的方向 u z
u u u u 11 故 = ( cosα + cos β + cos γ ) = . 7 n P x y z P
三,梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ,都可
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sin α ,
8.7方向导数与梯度
对于三元函数u=f(x, y, z), 它在空间一点P(x, y, z) 沿着方向L的方向导数, 可定义为:
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
其中
(x)2 (y)2 (z)2
设方向L的方向角为, , , 则 x cos, y cos , z cos ,
所得曲线
zz
f c
(
x,
y)
在xoy面上的投影曲线称为等高
线, 如图.
y f ( x, y) c2
等高线的方程为f(x, y)=c,
gradf ( x, y)
则其切线斜率为:
P
dy f f . dx x y 所以, 梯度为等高线上的 o 法向量.
f (x, y) c f ( x, y) c1 等高线
0,
解得
dy b2 x dx a2 y
故, 切线斜率为:
dy dx
(
a, 2
b) 2
b a
从而, 法线斜率为: tan a .
b
内法线方向的方向余弦为:
cos b
cos a
a2 b2
a2 b2
而由
z
1
(
x2 a2
y2 b2
)
得:
z x
2x a2
,
z y
2y b2
.
z x
( a,b ) 22
x
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u=f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续
偏导数, 则对于每一点P(x, y, z)G, 都可定义一个向量
(称为梯度): gradf
(
x,
y,
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备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
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2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
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l
函数沿 l os f y cos fz cos (1,1,1)
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
(势)
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
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解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证 证:
f (r)
x2
x y2
z2
f
(r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
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例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
2. P73 题 16
u
2x0
2x0 a2
2 y0
2 y0 b2
2z0
2z0 c2
n M0
2
x02 a4
y02 b4
z02 c4
2
x0 2 a4
y02 b4
z02 c4
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作业
P51 2，3，6，7，8，9，10
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
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三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
可微函数 f (P)
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
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一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
o
x
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时, 有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 f f
2
l x
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例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
f f cos f cos f cos
l x
y
z
l
P
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x
y
z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
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二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u
q
4 r
r
0
4
q
r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为, , ) 的方向导数为
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
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解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2xyz
2 14
x2y
3 14
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
l x