定积分的概念PPT优秀课件3

割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣。
刘徽： 魏晋山东
邹平人
•刘徽是世界上最早使用极限思想 计算圆周率（徽率）的大数学家。 •模拟“割圆术”，感受 “无穷数列的变化趋势”的极限思想。刘 徽（256-321）
刘徽的割圆术
探索无限宇宙 ------人类不懈地追求！
深邃的极限思想
近代数学之王 牛顿 1643—1727
刘徽—“中国的牛顿”
一沙一世界，一花一天国．
掌上有无穷，瞬时即永恒．
—勃莱克（英国诗人）
“割圆术”涵盖大学高等数学 有关数列极限的基本知识如 极限的定义、无穷小量概念等
提出问题
这些图形的面积 该怎样计算？
课程导读
以直代曲，近似代替
微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事 物，是发生在“0”时刻的事件；而数学家则 希望借此来“以暂定久”、“以常制变”、 “以局部驭整体”，这就需要用到定积分！
1.5定积分的概念
高二数学组 2010,3,25
教材地位
掌上有无穷，瞬时即永恒．
众所周知，微积分是数学发展史上 继欧氏几何后的又一个具有划时代意 义的伟大创造，被誉为数学史上的里 程碑--“人类精神的最高胜利” 。
我们前面通过学习导数，研究了函 数的单调性、极值及生活、生产中的 优化问题等，渗透了极限微分思想。
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的矩形面积来代替曲边梯形的面积，当 曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接 近曲边梯形的面积.
3等分：
y
y=x2
S3 13132 13232
1
4等分：
S41 41 421 44 221 404 32 5等分：
我们通过下表还 数可 值以 上从 看出这一 势.变化趋
区间 0,1的等分 n 数
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn 0 . 12500000 0 . 21875000 0 . 27343750 0 . 30273438 0 . 31787109 0 . 32556152 0 . 32943726 0 . 33138275 0 . 33235741
1 11 S第 2个 黄 色 矩 形nf(n)n3
f
( i-1 ) n
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
1 24 S第 3个 黄 色 矩 形nf(n)n3
i-1 i nn
…
S第 n个 黄 色 矩 形1 nf(nn -1)(nn -1 3)2
3、求和
S黄色部分 S 第 1 个 黄 色 矩 形 S 第 2 个 黄 色 矩 形 . . . S 第 n 个 黄 色 矩 形

n等分：
方寸之间，尽显无限
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 n3
1(n1)n(2n1) 6

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将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0,1][;1,2][;2,3];..[n . .1 .,1 .];
n nn nn
n
区间长度：
1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形1nf(in-1)
(i 1) 2 n3
10 S第 1个 黄 色 矩 形nf(n)0
本节是定积分概念的第一节课．我们通过 实例，如求曲边梯形的面积，从问题情境中了 解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积 分的基本思想，初步了解定积分的概念．
1.5.1曲边梯形的面积
一、导入新授
曲边梯形的概念：如图，我们把由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)
所围成的图形称为曲边梯形．
………
………
n等分：
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 nn12[1222 (n1)2]n1316(n1)n(2n1)
yy
ff((bb))
yy==ff((xx))
如何求曲边
ff((aa))
梯形的面积？
OO aa
bb xx
f (b)
y f(x)
f (a)
a
b
注意:曲边梯形的特点：
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
例1、求曲线y=x2与直线 y
y=x2
y=0, x=1围成平面图形 1
的面积S ．
0
1x
求曲边梯形的面积的方法：以直代曲，近似代替。 ①分割；②近似代替；③求和；④求极限。
1x
S51 5 1 5 21 5 5 2 21 5 5 3 21 5 5 4 2
n i2 1n(n1)(2n1)
i
6
y 1
y=x2
6等分
0
1x
S 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 2 1 6 6 3 2 1 6 4 6 2 1 6 5 6 2
1 (1 1)(2 1) 6n n
∴
S

lim
n
Sn
lim1(11)(21)
n6 n
n
1 (10)(20) 1
6
3
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
1、分割
lni m 1 6n1n1n312n11
0 n2 31 n 2 32 n2 3
i 1 2
n3
n 1 2
n3
12232 n12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S 黄 色 部 分
12232 n12

n3
S曲边梯形

lnim S黄色部分
12232
lim n
n3
n12