定积分的概念PPT优秀课件3
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《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念 课件
的速度为 v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在 0≤t≤2(单
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
-定积分的概念-43页PPT资料
定积分符号：
b
n
af(x)dx| |lx|i | 0 m i1f(i)xi.
b —定积分号；a—积分下限；b—积分上限； a
f (x)dx—被积表达式； f (x)—被积函数；
dx中的x—积分变量；[a,b]—积分区. 间 ( 积分变量的取值范围)
关于定积分定义的几点说明
(1) 定积b分 f(x)dx是一个极 (具限 体值 的 ), 数 a 它与分 T及 法点 i的选择, 无 只关 与 f(x)及 区间 [a, b]有关 .
该过程告诉了 杂我 平们 面求 图复 形面 ，积 同时，也告知了 形平 面面 积图 的.定义
解决曲边梯形面想 积方 的法 思是： 分— 划 代— 替 求— 和 取极 . 限
通常人们把这 处类 理方 的法 问所 题的结 这种极限值， f(x)在 称区 为 [a,间 b函 ]上数 的定 . 积
二. 定积分的定义
得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.
y yf(x)
设 f(x)0, f(x ) C (a [ ,b ].)
O ax1
xi1 x i
b
x
第一步：分划 任意引入分点 称为区间的一个分法 T
a x 0 x 1 x i 1 x i x n 1 x n b , 将 [ a ,b ] 分 成 n 个[ x 小 i 1 ,x i]( i 1 区 ,2 , ,n )间 .
第七章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
《定积分的概念》名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2
3
2
O X -1 O
X
O
X
S=______; S=______; S=______;
b
即
f(x)dx
a
S1 S2
S3
y
S1 O S3
S2
X
定积分旳几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积旳代数和 (即x轴上方旳面积减去x轴下方旳面积).
计算定积分
5
(2x 4)dx
0
5
n
S f (xi )x i1
y=f(x)
(4)逼近:所求曲边梯形旳面积S为
n
x 0, f (xi )x S i 1
(n )
Oa
xi-1 xi xi
x
bx
从求曲边梯形面积S旳过程中能够看出,经过“四 个环节”:
分割---以直代曲----求和------逼近.
小矩形面积和Sn
n i 1
它们都归结为:分割 、近似求和、取逼
近值
我们把这些问题从详细旳问题中抽象出来，作为一种 数学概念提出来就是今日要讲旳定积分。由此我们能 够给定积分旳定义
定积分旳定义 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等 提成n个小区间,每个小区旳长度为 x(x b a ),在每
n 个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
f(x)=(x-1)2-1
y
0a
①
x -1 0 2
②
xa0
b x -1 0
2x
③
④
解：（2）在图②中，被积函数f (x) x2在[1，2]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
《定积分的概念》课件
微积分基本定理是定积分计算的核心 ，它建立了定积分与不定积分之间的 联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
4.1 定积分的概念 课件3 (北师大选修2-2)
h(t ) (40 10 x )dx 40t 5t
t 0 2
变式题 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为 v 40 10t (单位: m s ),问多少秒后物体达到最 高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;
C
变式题 1: 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线 运动,它在第 2 秒内的路程为( )m (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
D
在第 2 秒内的路程为
2 S 3t 2t 3 dt (3t 2 2t 3)dt (t 3 t 2 3t ) |1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7 m 2 2 2 1 1
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
10 40 60 0 10 40
答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.
练习: 1.物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,需做功（ ） A A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设
k 100
F kx 则由题可得
。
所以做功就是求定积分
0.06
0
100xdx 0.18
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到 b x= b点，则变力F(x) 所做的功为: W＝ F ( x)dx
t 0 2
变式题 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为 v 40 10t (单位: m s ),问多少秒后物体达到最 高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;
C
变式题 1: 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线 运动,它在第 2 秒内的路程为( )m (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
D
在第 2 秒内的路程为
2 S 3t 2t 3 dt (3t 2 2t 3)dt (t 3 t 2 3t ) |1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7 m 2 2 2 1 1
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
10 40 60 0 10 40
答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.
练习: 1.物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,需做功（ ） A A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设
k 100
F kx 则由题可得
。
所以做功就是求定积分
0.06
0
100xdx 0.18
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到 b x= b点，则变力F(x) 所做的功为: W＝ F ( x)dx
定积分的概念 课件
定积分的概念
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…， n)，作和 sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…f(xn)Δ x，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时， 要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分 值的符号．
4．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝_k_∫__ba_f(_x_)_d_x_ (k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_∫__baf_1_(x_)_d_x_±__∫__ba_f2_(_x_)d_x__； (3)∫baf(x)dx＝∫__caf_(_x_)d__x_＋__∫__bcf_(_x_)d_x_，其中 a＜c＜b.
(2)∫21xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面 积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21xdx＝32.
(3)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形 为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，如图 ③所示，其面积 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义，知∫3－3 9－x2dx＝92π.
温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫
baf(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a，x＝ b 之间的各部分面积的代数和，在 x 轴上方的取正号，在 x 轴下方的取负号．
定积分的概念 课件
1n3·n1＋2n3·1n＋…＋nn3·n1.＝i＝n1 ni 3·n1.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
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1.5定积分的概念
高二数学组 2010,3,25
教材地位
掌上有无穷，瞬时即永恒．
众所周知，微积分是数学发展史上 继欧氏几何后的又一个具有划时代意 义的伟大创造，被誉为数学史上的里 程碑--“人类精神的最高胜利” 。
我们前面通过学习导数，研究了函 数的单调性、极值及生活、生产中的 优化问题等，渗透了极限微分思想。
yy
ff((bb))
yy==ff((xx))
如何求曲边
ff((aa))
梯形的面积？
OO aa
bb xx
f (b)
y f(x)
f (a)
a
b
注意:曲边梯形的特点：
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
例1、求曲线y=x2与直线 y
y=x2
y=0, x=1围成平面图形 1
的面积S ．
0
1x
求曲边梯形的面积的方法：以直代曲，近似代替。 ①分割；②近似代替；③求和；④求极限。
1x
S51 5 1 5 21 5 5 2 21 5 5 3 21 5 5 4 2
n i2 1n(n1)(2n1)
i
6
y 1
y=x2
6等分
0
1x
S 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 2 1 6 6 3 2 1 6 4 6 2 1 6 5 6 2
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的矩形面积来代替曲边梯形的面积，当 曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接 近曲边梯形的面积.
3等分：
y
y=x2
S3 13132 13232
1
4等分：
S41 41 421 44 221 404 32 5等分：
1 11 S第 2个 黄 色 矩 形nf(n)n3
f
( i-1 ) n
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
1 24 S第 3个 黄 色 矩 形nf(n)n3
i-1 i nn
…
S第 n个 黄 色 矩 形1 nf(nn -1)(nn -1 3)2
3、求和
S黄色部分 S 第 1 个 黄 色 矩 形 S 第 2 个 黄 色 矩 形 . . . S 第 n 个 黄 色 矩 形
lni m 1 6n1n1n312n11
n等分：
方寸之间，尽显无限
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 n3
1(n1)n(2n1) 6
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0,1][;1,2][;2,3];..[n . .1 .,1 .];
n nn nn
n
区间长度：
1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形1nf(in-1)
(i 1) 2 n3
10 S第 1个 黄 色 矩 形nf(n)0
本节是定积分概念的第一节课．我们通过 实例，如求曲边梯形的面积，从问题情境中了 解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积 分的基本思想，初步了解定积分的概念．
1.5.1曲边梯形的面积
一、导入新授
曲边梯形的概念：如图，我们把由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)
所围成的图形称为曲边梯形．
我们通过下表还 数可 值以 上从 看出这一 势.变化趋
区间 0,1的等分 n 数
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn 0 . 12500000 0 . 21875000 0 . 27343750 0 . 30273438 0 . 31787109 0 . 32556152 0 . 32943726 0 . 33138275 0 . 33235741
0 n2 31 n 2 32 n2 3
i 1 2
n3
n 1 2
n3
12232 n12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S 黄 色 部 分
12232 n12来自n3S曲边梯形
lnim S黄色部分
12232
lim n
n3
n12
近代数学之王 牛顿 1643—1727
刘徽—“中国的牛顿”
一沙一世界，一花一天国．
掌上有无穷，瞬时即永恒．
—勃莱克（英国诗人）
“割圆术”涵盖大学高等数学 有关数列极限的基本知识如 极限的定义、无穷小量概念等
提出问题
这些图形的面积 该怎样计算？
课程导读
以直代曲，近似代替
微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事 物，是发生在“0”时刻的事件；而数学家则 希望借此来“以暂定久”、“以常制变”、 “以局部驭整体”，这就需要用到定积分！
割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣。
刘徽： 魏晋山东
邹平人
•刘徽是世界上最早使用极限思想 计算圆周率（徽率）的大数学家。 •模拟“割圆术”，感受 “无穷数列的变化趋势”的极限思想。刘 徽（256-321）
刘徽的割圆术
探索无限宇宙 ------人类不懈地追求！
深邃的极限思想
1 (1 1)(2 1) 6n n
∴
S
lim
n
Sn
lim1(11)(21)
n6 n
n
1 (10)(20) 1
6
3
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
1、分割
………
………
n等分：
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 nn12[1222 (n1)2]n1316(n1)n(2n1)
高二数学组 2010,3,25
教材地位
掌上有无穷，瞬时即永恒．
众所周知，微积分是数学发展史上 继欧氏几何后的又一个具有划时代意 义的伟大创造，被誉为数学史上的里 程碑--“人类精神的最高胜利” 。
我们前面通过学习导数，研究了函 数的单调性、极值及生活、生产中的 优化问题等，渗透了极限微分思想。
yy
ff((bb))
yy==ff((xx))
如何求曲边
ff((aa))
梯形的面积？
OO aa
bb xx
f (b)
y f(x)
f (a)
a
b
注意:曲边梯形的特点：
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
例1、求曲线y=x2与直线 y
y=x2
y=0, x=1围成平面图形 1
的面积S ．
0
1x
求曲边梯形的面积的方法：以直代曲，近似代替。 ①分割；②近似代替；③求和；④求极限。
1x
S51 5 1 5 21 5 5 2 21 5 5 3 21 5 5 4 2
n i2 1n(n1)(2n1)
i
6
y 1
y=x2
6等分
0
1x
S 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 2 1 6 6 3 2 1 6 4 6 2 1 6 5 6 2
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的矩形面积来代替曲边梯形的面积，当 曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接 近曲边梯形的面积.
3等分：
y
y=x2
S3 13132 13232
1
4等分：
S41 41 421 44 221 404 32 5等分：
1 11 S第 2个 黄 色 矩 形nf(n)n3
f
( i-1 ) n
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
1 24 S第 3个 黄 色 矩 形nf(n)n3
i-1 i nn
…
S第 n个 黄 色 矩 形1 nf(nn -1)(nn -1 3)2
3、求和
S黄色部分 S 第 1 个 黄 色 矩 形 S 第 2 个 黄 色 矩 形 . . . S 第 n 个 黄 色 矩 形
lni m 1 6n1n1n312n11
n等分：
方寸之间，尽显无限
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 n3
1(n1)n(2n1) 6
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0,1][;1,2][;2,3];..[n . .1 .,1 .];
n nn nn
n
区间长度：
1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形1nf(in-1)
(i 1) 2 n3
10 S第 1个 黄 色 矩 形nf(n)0
本节是定积分概念的第一节课．我们通过 实例，如求曲边梯形的面积，从问题情境中了 解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积 分的基本思想，初步了解定积分的概念．
1.5.1曲边梯形的面积
一、导入新授
曲边梯形的概念：如图，我们把由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)
所围成的图形称为曲边梯形．
我们通过下表还 数可 值以 上从 看出这一 势.变化趋
区间 0,1的等分 n 数
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn 0 . 12500000 0 . 21875000 0 . 27343750 0 . 30273438 0 . 31787109 0 . 32556152 0 . 32943726 0 . 33138275 0 . 33235741
0 n2 31 n 2 32 n2 3
i 1 2
n3
n 1 2
n3
12232 n12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S 黄 色 部 分
12232 n12来自n3S曲边梯形
lnim S黄色部分
12232
lim n
n3
n12
近代数学之王 牛顿 1643—1727
刘徽—“中国的牛顿”
一沙一世界，一花一天国．
掌上有无穷，瞬时即永恒．
—勃莱克（英国诗人）
“割圆术”涵盖大学高等数学 有关数列极限的基本知识如 极限的定义、无穷小量概念等
提出问题
这些图形的面积 该怎样计算？
课程导读
以直代曲，近似代替
微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事 物，是发生在“0”时刻的事件；而数学家则 希望借此来“以暂定久”、“以常制变”、 “以局部驭整体”，这就需要用到定积分！
割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣。
刘徽： 魏晋山东
邹平人
•刘徽是世界上最早使用极限思想 计算圆周率（徽率）的大数学家。 •模拟“割圆术”，感受 “无穷数列的变化趋势”的极限思想。刘 徽（256-321）
刘徽的割圆术
探索无限宇宙 ------人类不懈地追求！
深邃的极限思想
1 (1 1)(2 1) 6n n
∴
S
lim
n
Sn
lim1(11)(21)
n6 n
n
1 (10)(20) 1
6
3
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
1、分割
………
………
n等分：
S n 1 n 1 n 2 1 n n 2 2 1 n i n 1 2 1 n n n 1 2
1 nn12[1222 (n1)2]n1316(n1)n(2n1)