2020届全国大联考高三第一次大联考数学(理)试题(解析版)

2020届全国大联考高三第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A【解析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „ C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „ D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C【解析】套用命题的否定形式即可. 【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”. 故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 3．21232x dx x -+=+⎰（ ）A ．22ln +B ．32ln -C ．62ln -D ．64ln -【答案】D【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.【详解】由题，2211231d2d22xx xx x--+⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰21[2ln(2)]x x-=-+(4ln4)(2ln1)6ln4=----=-.故选：D【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.4．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A B⊆”是“UA B=∅Ið”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅UA B A Bð，同时⋂=∅⇒⊆UA B A Bð.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.5．已知函数2,0()4,0x xf xx x-⎧⎪=+>„，若()02f x<，则x的取值范围是（）A．(,1)-∞-B．(1,0]-C．(1,)-+∞D．(,0)-∞【答案】B【解析】对x分类讨论，代入解析式求出()f x，解不等式，即可求解.【详解】函数2,0()4,0x xf xx x-⎧⎪=+>„，由()02f x<得00220x x -⎧<⎪⎨⎪⎩„或02x <>⎪⎩ 解得010-<x „. 故选:B. 【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 6．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D【解析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f ′（x ）＝e x -１， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题 故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．7．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x „B ．{|112}<x x „C ．{|110}-<x x „D ．{|56}-<x x „【答案】C【解析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【详解】因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x „，所以*(*){|110}=-<B A B x x „. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.8．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 9．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2bx =，0(0)1<=<f a ， 1122<=<bx ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.10．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x …时，函数()f x =若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数.因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 11．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.12．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D【解析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x =在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，则(3)f '=________.【答案】12. 【解析】求出切线l 的斜率，即可求出结论. 【详解】由图可知直线l 过点3(3,3),0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求出直线l 的斜率3312302-==-k ， 由导数的几何意义可知，1(3)2f '=.故答案为:12.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.14．已知集合{|||4,},{1,}=<∈=A x x x Z B m ，若A B A ⋃=，且3m A -∈，则实数m 所有的可能取值构成的集合是________. 【答案】{0,2,3}.【解析】化简集合A ，由B A ⊆，以及3m A -∈，即可求出结论. 【详解】集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，若A B A ⋃=， 则m 的可能取值为3,2,1---，0，2，3， 又因为3m A -∈，所以实数m 所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}. 故答案为:{0,2,3}. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.15．设函数2()36f x x x =-+在区间[,]a b 上的值域是[9,3]-，则b a -的取值范围是__________.【答案】[2,4].【解析】2()36f x x x =-+配方求出顶点，作出图像，求出()9f x =-对应的自变量，结合函数图像，即可求解. 【详解】22()363(1)3f x x x x =-+=--+，顶点为(1,3)因为函数的值域是[9,3]-，令2369-+=-x x ，可得1x =-或3x =.又因为函数2()36f x x x =-+图象的对称轴为1x =， 且(1)3f =，所以b a -的取值范围为[2,4]. 故答案为:[2,4].【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.16．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA 、CB 围成一个三角形养殖区ACB .为了便于管理，在线段AB 之间有一观察站点M ，M 到直线BC ，CA 的距离分别为8百米、1百米，则观察点M 到点A 、B 距离之和的最小值为______________百米.【答案】55【解析】建系，将直线AB 用方程表示出来，再用参数表示出线段AB 的长度，最后利用导数来求函数最小值. 【详解】以C 为原点，CA,CB 所在直线分别作为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则(8,1)M .设直线18:()AB y k x -=-，即18y kx k =+-，则18,0,(0,18)k A B k k -⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以180180kkk -⎧->⎪⎨⎪->⎩，所以k 0<， 22218(18)()(0)k AB k f k k k -⎛⎫=-+-=< ⎪⎝⎭，则221()(18)1(0)f k k k k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 则22311()2(18)(8)1(18)(2)f k k k k k ⎛⎫'=-⨯-⨯++-⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ()()()33322(18)812(18)21421k k k k kk k k ---+--++==，当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 所以当12k =-时，AB最短，此时AB =故答案为：【点睛】本题考查导数的实际应用，属于中档题.三、解答题17．已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a 剟. （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|12}=<-或A x x x …；（2）(,3](3,)-∞-+∞U .【解析】（1）求出函数y =（2）化简集合B ，根据B A ⊆确定集合B 的端点位置，建立a 的不等量关系，即可求解. 【详解】 （1）由21101--+x x …，即201x x -+…得1x <-或2x ≥， 所以集合{|1A x x =<-或2}x …. （2）集合{|12}{|12}=-+=---B x x a x a x a 剟剟， 由B A ⊆得21-<-a 或12--a …，解得3a >或3a -„， 所以实数a 的取值范围为(,3](3,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.18．已知()2:,41p x R m x x ∀∈+>；2:[2,8],log 10q x m x ∃∈+…. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）-1m ＜或14m >【解析】（1）根据p 为真命题列出不等式，进而求得实数m 的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 【详解】（1）()241x m x x ∀∈⋅+>R Q ，0m ∴>且21160-<m ，解得14m >所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）由2[2,8],log 10x m x ∃∈+≥，可得21[2,8],log x m x∃∈≥-， 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦x ，∵当p q ⌝∨为真命题，且p q ⌝∧为假命题时， ∴p 与q 的真假性相同，当p 假q 假时，有141m m ⎧≤⎪⎨⎪<-⎩，解得1m <-；当p 真q 真时，有141m m ⎧>⎪⎨⎪≥-⎩，解得14m >；故当p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题时，可得1m <-或14m >. 【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =. （1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c =或4c =.【解析】（1）求出()f x '，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解. 【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩. （2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞- 3-(3,1)--1-(1,)-+∞()f x '+-+()f xZ极大值]极小值Z由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c =或4c =.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20．已知函数2()2,()2==+x f x g x x ax .（1）当1a =-时，求函数(())(23)=-y f g x x 剟的值域. （2）设函数(),()(),f x x b h x g x x b⎧=⎨<⎩…，若0ab >，且()h x 的最小值为22，求实数a 的取【答案】（1）1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1,4⎛--∞ ⎝⎦. 【解析】（1）令22,2μμ=-=x x y ，求出u 的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；（2）对a 分类讨论，分别求出()f x 以及()g x 的最小值或范围，与()h x 的最小值2建立方程关系，求出b 的值，进而求出a 的取值关系. 【详解】（1）当1a =-时，22(())2(23)-=-xxf g x x 剟，令22,2μμ=-=x x y ，∵[2,3]x ∈-∴[1,8]μ∈-，而2μ=y 是增函数，∴12562y 剟， ∴函数的值域是1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）当0a >时，则0,()>b g x 在(,)a -∞-上单调递减，在(,)a b -上单调递增，所以()g x 的最小值为2()0-=-<g a a ，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，最小值为0221>=b ，而()h x 的最小值为2，所以这种情况不可能. 当0a <时，则0,()<b g x 在(,)b -∞上单调递减且没有最小值， ()f x 在[,)+∞b 上单调递增最小值为2b ，所以()h x 的最小值为2=b 12b =-（满足题意），所以111()2422⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g b g a f …14-a „.所以实数a 的取值范围是1,4⎛--∞ ⎝⎦.本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.21．已知函数2()()2ln f x x a x x =--，其导函数为()f x '， （1）若0a =，求不等式()1f x >的解集；（2）证明：对任意的02s t <<<，恒有()()1f s f t s t''-<-.【答案】（1）{}|1x x > （2）证明见解析【解析】（1）求出()f x 的导数，根据导函数的性质判断函数()f x 的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；（2）构造函数()()x f x x ϕ'=-，利用导数判断()x ϕ在区间(0,2)上单调递减，结合02s t <<<可得结果.【详解】（1）若0a =，则2()2ln ,()22(1ln )f x x x x f x x x '=-=-+.设()22(1ln )h x x x =-+，则2()2h x x'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.又当0x →时，()h x →+∞；当1x =时，()0h x =；当x →+∞时，()h x →+∞， 所以()0h x ≥所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)1f =，所以不等式()1f x >的解集为{}|1x x >.（2）设()()g x f x '=，再令()()22ln 2x g x x x x a ϕ=-=---，2222()1x x x xϕ'-∴=-=， ()x ϕ在(0,2)上单调递减，又02s t <<<Q ，()()s t ϕϕ∴<， ()()g s s g t t ∴->-，0s t ∴-<，()()1g s g t s t-∴<-.即()()1f s f t s t''-<-【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.22．已知函数2()(1)1(,)x g x e a x bx a b R =----∈，其中e 为自然对数的底数. （1）若函数()()f x g x '=在区间[0,1]上是单调函数，试求a 的取值范围； （2）若函数()g x 在区间[0,1]上恰有3个零点，且(1)0g =，求a 的取值范围. 【答案】（1）3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e ；（2）(1,2)e -.【解析】（1）求出()()g x f x '=，再求()0,[0,1]f x x '≥∈恒成立，以及()0,[0,1]f x x '≤∈恒成立时，a 的取值范围；（2）由已知(1)(0)0g g ==，()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f x g x '=在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a 分类讨论，根据()f x 单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论. 【详解】（1）由题意得()2(1)=---xf x e a x b ，则()2(1)x f x e a '=--，当函数()f x 在区间[0,1]上单调递增时，()2(1)0'=--x f x e a …在区间[0,1]上恒成立.∴()min2(1)1-=xa e„（其中[0,1]x ∈），解得32a „. 当函数()f x 在区间[0,1]上单调递减时，()2(1)0'=--x f x e a „在区间[0,1]上恒成立，∴()max2(1)-=xa ee …（其中[0,1]x ∈），解得12+ea ….综上所述，实数a 的取值范围是3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e . （2）()2(1)()'=---=xg x e a x b f x .由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调. ∴()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x . ∴()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点. 由（1）易知，当32a „时，()f x 在区间(0,1)上单调递增， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意.当12+e a …时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意，∴3122<<+ea .令()0f x '=，得ln(22)(0,1)x a =-∈， ∴函数()f x 在区间(0,ln(22)]-a 上单凋递减， 在区间(ln(22),1)-a 上单调递增. 记()f x 的两个零点为()1212,x x x x <，∴12(0,ln(22)],(ln(22),1)∈-∈-x a x a ，必有(0)10,(1)220=->=-+->f b f e a b .由(1)0g =，得+=a b e .∴11()102f a b e ⎛⎫=-+=-<⎪⎝⎭又∵(0)10,(1)20=-+>=->f a e f a ， ∴12-<<e a .综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.。