3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

下方的平面区域．若Ax＋By＋C＜0，与上述情况相反．
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1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域： (1)2x－y－6≥0；(2)y>2x. 解析： (1)如图，先画出直线2x－y－6＝0， 取原点O(0,0)代入2x－y－6中， ∵2×0－0－6＝－6<0， ∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x －y－6<0， 故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，
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x＋y>2， 4.画出不等式组 x－2y≥3
表示的平面区域．
解析：
x＋y>2， 如图所示，阴影部分为不等式组 x－2y≥3
所
表示的平面区域．
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画出下列不等式表示的平面区域： (1)x＋2y－4＞0；(2)y≥x＋3.
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3．二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x， y)代入Ax＋By＋C所得的符号都
相同 ．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以判定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋ By＋C＝0哪一侧的平面区域． 4．二元一次不等式组
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x<3， 2y≥x， 2.画出不等式组 3x＋2y≥6， 3y<x＋9.
表示的平面区域．
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解析：
的集合．
不等式x<3表示直线x＝3左侧点
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y ＝0上及左上方点的集合． 不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示 直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合． 不等式3y<x＋9，即x－3y＋9>0表示直线
因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．
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(2)画出直线y－2x＝0，取点(1,0)代入y－2x＝0
∵F(1,0)＝0－2×1＝－2<0， ∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所 求为如图所示的区域，不包括边界．
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(2)将y≥x＋3变形为x－y＋3≤0，先作出边界x－y＋3＝0， 因为这条直线上的点都满足x－y＋3≤0，所以画成实线． 取原点(0,0)，代入x－y＋3.因为0－0＋3＝3＞0，所以原点 (0,0)不在x－y＋3≤0表示的平面区域内，不等式x－y＋3≤0表示 的平面区域如图(2)所示(阴影部分)．
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1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域，并画出平
面区域是本课考查的热点． 2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点． 3.多与后面知识结合，以选择题、填空题形式考查．
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1．以二元一次方程Ax＋By＋C＝0的解为坐标的点 在直 线上 ，在直线上的所有点的坐标 适合方程 ． 在 线 外 的 点 的坐标与方程有何关系呢？ 2．点A(1,1)，B(2,1)，C(－1,0)与直线x－y＝0位置关系是什 么？
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[解题过程]
(1)先作出边界x＋2y－4＝0，因为这条直线上
的点都不满足x＋2y－4＞0，所以画出虚线． 取原点(0,0)代入x＋2y－4.因为0＋2×0－4＝－4＜0，所以 原点(0,0)，不在x＋2y－4＞0表示的平面区域内，不等式x＋2y－ 4＞0表示的平面区域如图(1)所示(阴影部分)．
中所有量均有实际意义的条件写出所有的不等式，把由这些不
等式组成的不等式组用平面区域表示出来即可．注意在实际问 题中列出不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏 任何一个．
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4.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A 种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t， B种矿石4 t，煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t，请列 出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得：不等式组表示的平面区域是 如图所示阴影部分．
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x＋2y－1≥0 (1)画出不等式组2x＋y－5≤0 y≤x＋2 并求其面积．
y≤2 (2)求不等式组 |x|≤y≤|x|＋1
所表示的平面区域，
所表示的平面区域的面积
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[题后感悟]
(1)y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即
y＞kx＋b表示直线上方的平面区域，y＜kx＋b表示直线下方的平 面区域，而直线y＝kx＋b是这两个区域的分界线． (2)一般地，若Ax＋By＋C＞0，则当B＞0时，表示直线Ax＋ By＋C＝0上方的平面区域；当B＜0时，表示直线Ax＋By＋C＝0
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x＋2y≤20 2x＋y－16≤0 3.求不等式组 x≥0 y≥0 积．
表示的平面区域的面
解析： 不等式x＋2y≤20表示直线x＋2y＝20上及左下方的
点的集合，不等式2x＋y－16≤0表示直线2x＋y－16＝0
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上及左下方的点的集合， x≥0 表示 y 轴及其右方的点的 集合，y≥0 表示 x 轴及其上方的点的集合，所以不等式组 x＋2y≤20 2x＋y－16≤0 x≥0 y≥0
右上方．故选A.
答案： A
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2． 已知点
1 P1(0,0)， 2(1,1)， 33，0， P P 则在
3x＋2y－1≥0
表示的平面区域内的点是( A．P1、P2 C．P2、P3
)
B．P1、P3 D．P2
解析：
分别将P1 、P2 、P3点坐标代入3x＋2y－1，比较发
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[题后感悟]
(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，
应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可， 其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示． (2)作图时，每条直线要画准确，尤其要交代清楚两条直线 的相对位置关系，如在坐标轴上的点、倾斜角的大小等．
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3．3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
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1.了解二元一次不等式的几何意义． 2.会画二元一次不等式表示的平面区域． 3.能用平面区域表示二元一次不等式组．
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先将已知数据列成表，如下所示：
消耗量
产品 A产品(百吨)
资金(百万元) 2
场地(百平方米) 2
B产品(百米)
3
1
然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可．
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[解题过程] 设生产 A 产品 x 百吨， 生产 B 产品 y 百米， 2x＋3y≤14 2x＋y≤9 则 x≥0 y≥0
8分
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成 1 1 的面积 S＝ ×4×2－ ×2×1＝3.12 分 2 2
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[题后感悟] 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平 面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直 接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方 法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．
由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次不等
式组．
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5．二元一次不等式组表示平面区域 每一个二元一次不等式所表示的平面区域的 公共部分 ， 就是不等式组所表示的区域．
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1．不等式2x＋y－5＞0表示的平面区域在直线2x＋y－5＝0 的( )
由题目可获取以下主要信息： ①有一个不等式不含等号； ②所求区域为三个平面区域的公共部分． 解答本题可分别画出三个不等式所表示的平面区域，再
找它们的公共部分．
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[解题过程]
区域，
不等式x＋y≤5表示直线x＋y＝5及其左下方的
不等式x－2y＞3表示直线x－2y＝3右下方区域， 不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及其右上方区域， 故不等式组表示的平面区域如图所示．
现只有3×0＋2×0－1＝－1<0，故P1点不在此平面区域内，P2、
P3均在此平面区域内． 答案： C
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3．已知点(a,2a－1)，既在直线y＝3x－6的左上方，又在y轴 的右侧，则a的取值范围为______________． 解析： ∵(a,2a－1)在y＝3x－6的上方， ∴ 3a － 6 － (2a － 1)<0 ， 即 a<5 ， 又 (a,2a － 1) 在 y 轴 右 侧 ， ∴a>0，故0<a<5. 答案： (0,5)
所表示的平面区域如图所示．
可求得两直线 x＋2y＝20 与 2x＋y＝16 交于点(4,8)． 10＋8 1 ∴S＝ 2 ×4＋2×8×(8－4)＝52.
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投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场 地200平方米；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万 元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地 900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
A．右上方
C．左上方
B．右下方
D．左下方
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解析：
先作出边界2x＋y－5＝0，因为这条直线上的点都
不满足2x＋y－5＞0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入2x＋y－ 5.因为2×0＋0－5＝－5＜0，所以原点 (0,0)不在2x＋y－5＞0表示的平面区域内，不等式2x＋y－5 ＞0表示的区域如右图所示(阴影部分)，即在直线2x＋y－5＝0的
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画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为：第 一步：“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，要 注意是虚线还是实线；
第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为
测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以确定出所给不等式表 示的平面区域．
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同理得 B(－1,1)，C(3，－1)． ∴AC＝ 22＋42＝2 5， |－2＋1－5| 而点 B 到直线 2x＋y－5＝0 的距离为 d＝ ＝ 5 6 ，4 分 5 1 1 6 ∴S△ABC＝2AC· 2×2 5× ＝6.6 分 d＝ 5
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(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组： x≥0， y≥x， ① y≤x＋1， y≤2， x≤0， y≥－x， 或② y≤－x＋1， y≤2.
.
用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所 示(阴影部分)．
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[题后感悟] 用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范 围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用并与其他 量关联较多的两个量，用字母表示，进而把问题中所有的量都 用这两个字母表示出来，再由实际问题中的限制条件以及问题
大小．
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本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界 直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区
域．
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[规范作答] 的平面区域.2 分
(1)如图所示，其中的阴影部分便是欲表示
x－y＋2＝0， 由 2x＋y－5＝0，
得 A(1,3)．
3．我们知道x＋y－1＝0表示直线，而x2＋(y－1)2＝3表示圆， 试考虑一下，x＋y－1＞0表示何种图形？
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1．二元一次不等式的概念
含有 两个 未知数，并且未知数的次数是 一次 的 不 等 式
叫做二元一次不等式．
2．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画 出 虚线 以表示区域不包括边界． 不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画 成 实线 ．