考研数学一真题及答案解析参考

2019年考研数学一真题

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k . . .

.

2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,

0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的

A.可导点，极值点.

B.不可导点，极值点.

C.可导点，非极值点.

D.不可导点，非极值点.

3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

A..1∑∞

=n n n

u B.n

n n

u 1)1(1∑∞

=-. C.∑∞

=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞

=+-1

2

21n n n u u . 4.设函数2

),(y x

y x Q =

，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+C

dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为

A.32

y x y -.

B.321y

x y -. C.y

x 11-. D.y

x 1-

. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为

A.232221y y y ++.

B.2

32221y y y -+. C.232221y y y --.

D.232221y y y ---.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则

A..3)(,2)(==A r A r

B..2)(,2)(==A r A r

C..2)(,1)(==A r A r

D..1)(,1)(==A r A r

7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =

8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则

y

z cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11=. 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .

11. 幂级数n

n n x n ∑∞

=-0

)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .

12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z

⎰⎰--2244=.

13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线

性方程组0=x A 的通解为.

14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，

02

0,2)(x x

x f ）

（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）

（. 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

设函数)(x y 是微分方程2

'2

x e xy y -

=+满足条件0)0(=y 的特解.

（1）求)(x y ；

（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分10分）

设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.

（1）求b a ,；

（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积. 17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x 与x 轴之间图形的面积. 18.设dx x x a n n ⎰-=1

021，n =（0，1，2…）

（1）证明数列{}n a 单调减少，且22

1

-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1

lim

-∞→n n

n a a .

19.设Ω是锥面())10()1(222

2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.

20.设向量组

T

T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3

R 的一个基，T

)1,1,1(=β在

这个基下的坐标为T

c b )1,,(.

（1）求c b a ,,.

（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.

21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022

122x A 与⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似 （1）求y x ,.

（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-

22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为

{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =

（1）求z 的概率密度.

（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?

23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为

其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，

，21来自总体X 的简单随机样本.

（1）求A ；

（2）求2σ的最大似然估计量

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题解析（数学一）

9.

y

x

x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.

3

32 13. ，T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14. 解：（1）)()()(2

2

22

c x e

c dx e e

e x y x xdx

x xdx

+=+⎰⎰

=-

-

-⎰，又0)0(=y ，