辽宁省重点高中协作校2018届高三三模数学(理)试卷(附答案)

19.如图，在高为 4 的正三棱柱 ABC A1B1C 1 中， AB 3, M 为棱 AB 的中点，D, E, F 分别为棱 A1B1, BB1, AA1 上一点，且 A1D AF 1, ME BD . (1)证明： BD 平面 CEM ； (2)求直线 BD 与平面 CFM 所成角的正弦值.
Ak
(k
1,
2, 3,
4)
.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为
3 4
,摔倒的概率
均为 1 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用 X 表示该运动员在滑行 4
最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.
(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率；
(2)求 X 的分布列及数学期望 E X .
A． -2，-1 B． -2，-1C．-4，+ D． -4，+
2.若复数
z

1 5i 3 2i
，则
z

(
)
A．1B． 2 C． 3 D．2
3.已知 R 上的奇函数 f (x) 满足：当 x 0 时， f (x) log2 (1 x) ，则 f ( f (7)) ( )
2
6
伸长到原来的 2 倍，得到函数 y g(x) 的图象，则 g(3 ) ( ) 4
A． 3 2
B． 3 2
C. 1 2
D． 1 2
8.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.
已知正整数 n 被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，求 n 的最小值.执行程序框图，则输 出的 n ( )
22
2
设平面 CFM 的法向量为 n (x, y, z) ，
CF 则
n
33 2
x 3 2
yz
0,

CM n 3 3 x 0 2
取 z 3 ，则 n (0, 2, 3) .
BD (0, 2, 4) ，
直线 BD 与平面 CFM 所成角的正弦值为
|cos n, BD | | n BD |
3 4
)
2

1 4
9， 64
P( X
3) P( A1
A2
A3
A4 )

( 3 )3 4

1 4

27 256
，
P( X
4) P( A1
A2
A3
A4 )

( 3 )4 4

81 256
.
从而 X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
3
9
27
81
4
16
64
256
256
所以 E( X ) 0 1 1 3 2 9 3 27 4 81 525 . 4 16 64 256 256 256
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.） 17.在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 bsin AcosC c sin Acos B ac sin B . (1)证明： bc a ； (2)若 c 3, cos C 1 ，求 AC 边上的高.
8
4
65
.
| n || BD | 13 20 65
20.解：因为抛物线 C2 : y2 8x 的焦点为 2, 0 ，所以 8 b2 4 ，故 b 2 ，
所以椭圆 C : x2 y2 1 84
(1)设 M

x1,
y1

,
N

x2
,
y2

，则

x12 8 x22
(2) X 的所有可能值为 0,1, 2, 3, 4 .
则
wk.baidu.com
P( Ak
)

3 4
(k
1, 2,3, 4)
，且
A1,
A2 ,
A3 ,
A4
相互独立.
故 P(X
0)

P( A1)

1 4
，
P( X
1) P( A1
A2
)

3 4

1 4
3， 16
P( X
2) P( A1
A2
A3
)(
8

y12 4 y22 4
1, 1,
两式相减得
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，
8
4
又 MN 的中点为 1,1 ，所以 x1 x2 2, y1 y2 2 .
所以 y2 y1 1 . x2 x1 2
显然，点 1,1 在椭圆内部，所以直线 MN 的斜率为 1 .
2 (2)椭圆右焦点 F2 (2, 0) .
当直线 AB 的斜率不存在或者为 0 时， 1 1 1 1 3 2 . m n 42 22 8
当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y k (x 2) ,
(2)记函数 f (x) 的最大值为 m ，若 a 0,b 0, ea e4b e4abm ，求 ab 的最小值.
辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: CBDAD
6-10: BACBA 11、12：DC
二、填空题
13. 2, 6
三、解答题
A．1
B．3
C.5
D．7
x 4y 2 0 6.已知实数 x, y 满足 4x y 7 0 ，则 z 5x y 的最大值与最小值之和为( )
x y 2 0
A．-21
B．-1
C.-2
D．1
7.将函数 f (x) 1 cos 2x 的图象向右平移 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标
设
A

x1,
y1

,
B

x2
,
y2

，联立方程得

y k(x 2), x2 2 y2 8,
消去 y 并化简得 (1 2k 2)x2 8k 2 x 8k 2 8 0 ，
因为 (8k 2 )2 4(1 2k 2 )(8k 2 8) 32(k 2 1) 0 ，
x2
A．

y2
1
36 12
x2
B．

y2
1
3
C. x2 y2 1 12 4
x2
D．

y2
1
93
m
12.设实数 m 0 ，若对任意的 x e ，不等式 x2 ln x me x 0 恒成立，则 m 的最大值
是( )
A． 1 e
B． e 3
C. e
D． 2e
第Ⅱ卷（共 90 分）
14.-2
15. 1
16.2
6
17.（1）证明：因为 sin B sin A cos C sin C sin A cos B c sin Asin B ， 所以 sin B cosC sin C cos B c sin B ， 所以 sin A c sin B ， 故 a bc .
(2)解：因为 c 3, a bc ，
所以
a

3b,
cos
C

10b2 6b2
9
.
又
cos C

1 6
10b2 9
，所以
6b2

1 6
，解得 b
1，
所以 a c 3, b 1 ，
所以 AC 边上的高为
9 (1)2
35
.
22
18.解：(1)由题意可知： P ( 3)3 1 27 . 4 4 256
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量 a (t, 0),b (1,3) ，若 a b 4 ，则 a 2b
．
14.若 (3x2 a)(2x 1 )5 的展开式中 x3 的系数为 80，则 a
．
x
15.已知等比数列
an
的前 n 项和为 Sn ，且
A． 208 4 3
B． 216 4 3
C. 208 32 3
D． 216 32 3
11.已知双曲线 C
:
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
0)
的离心率 e

23 3
，对称中心为 O
，右焦
点为 F ，点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，
AOF OAF , OAF 的面积为 3 3 ，则双曲线 C 的方程为( )
(2)解：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ，
则 C(0, 0, 0), M (3 3 , 0, 0), F (3 3 , 3 ,1), B(3 3 , 3 , 0), D(3 3 , 1 , 4) .
2
22
22
22
易得 CF (3 3 , 3 ,1),CM (3 3 , 0, 0) ,
A．1B．-1C．-2D．2
4.某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比列如下图所示，为了解学
生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中
生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是( )
A．12
B．15
C. 20
D．21
5.已知等差数列 an 中， a1010 3, S2017 2017 ，则 a1012 ( )
y

2

5t 5
cos2 8sin .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M , N ，求 MN .
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | x 5 | | x 3 | .
(1)解关于 x 的不等式 f (x) x 1 ；
mn 21.已知函数 f (x) x3 6x2 ax b(a,b R) 的图象在与 x 轴的交点的切线方程为 y 9x 18 .
(1)求 f (x) 的解析式； (2)若 1 kx(x 2)2 f (x) 9x k 对 x (2, 5) 恒成立，求 k 的取值范围.
20.已知椭圆 C1 :
x2 8

y2 b2
1(b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，点 F2 也为抛物线
C2 : y2 8x 的
焦点.
(1)若 M , N 为椭圆 C1 上两点,且线段 MN 的中点为 1,1 ,求直线 MN 的斜率；
(2)若过椭圆 C1 的右焦点 F2 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A, B 和 C, D ,设线段 AB, CD 的长分别为 m, n ，证明 1 1 是定值.
10 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，

已知直线
l
的参数方程为

x

25 5
t,
（ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为

辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A x |1 x 2 , B x | x 2 ，则 A B ( )
6
18.2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中,中国选手武大靖以
连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国
男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则,运动员
自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过 4 个直道与弯道的交接口
A．62
B．59
C.53
D．50
9.已知三棱锥 P ABC 中， AB 平面 APC , AB 4 2, PA PC 2 ， AC 2 ，
则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为( )
A． 28
B． 36
C. 48
D． 72
10.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为 1，则该几何体的体积为( )
19.(1)证明：在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，
AA 1 平面 ABC ，则 AA1 CM ，
AC BC, M 为 AB 的中点，CM AB .
又 AA1 AB A,CM 平面 ABB1A1 ，CM BD . ME BD, ME CM M , BD 平面 CEM .
S3 S6

27 28
，则
a5 a4 a3

．
16.已知抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F , O 为坐标原点，点
M (4, p ), N (1, p ) ，射线 MO, NO 分别交抛物线 C 于异于点 O 的点 A, B ，若
2
2
A, B, F 三点共线，则 p