2二次函数图象的几何变换

知识点拨
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成
的形式，确定其顶点，然后做出二次函2
()y a x h k =-+(,)h k 数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如图所示：
2y ax =2
y ax =(,)h
k （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
x 关于轴对称后，得到的解析式是；
2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2
y a x h k =-+x ()2
y a x h k =--- 2. 关于轴对称
y
关于轴对称后，得到的解析式是；
2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2
y a x h k =-+y ()2y a x h k =++ 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；
2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-
关于原点对称后，得到的解析式是；()2
y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
2
y ax bx c =++2
2
2b y ax bx c a
=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．
()2
y a x h k =-+()2
y a x h k =--+ 5. 关于点对称
()m n 、关于点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+()m n 、()2
22y a x h m n k
=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求
a 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的几何变换
例题精讲
一、二次函数图象的平移变换
【例1】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
23(2)1y x =+-23y x = 右移两个单位，下移一个单位 右移两个单位，上移一个单位A. B. 左移两个单位，下移一个单位 左移两个单位，上移一个单位
C. D.【例2】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤
22(1)1y x =---22(2)3y x =-++是（ ）
右移三个单位，下移四个单位 右移三个单位，上移四个单位A. B. 左移三个单位，下移四个单位 左移四个单位，上移四个单位
C. D.【例3】二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）
2241y x x =-++2
2y x =- 向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位.A.13 B.13 向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位.
C.13
D.13【例4】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为
2y x x =+()0a a >232y x x =-+a （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1234【例5】把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析
2y ax bx c =++32式是，则________________．
235y x x =-+a b c ++=【例6】对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示n ()()
2211
11n y x x n n n n +=-+
++x n n A B 、n n A B 这两点间的距离，则的值是（ ）
112220092009A B A B A B +++…A ．B ．C ． D ．
2009200820082009201020092009
2010
【例7】把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为
2y x =-13A ．B ．()2
13y x =---()2
13
y x =-+-C ．
D ．
()2
13
y x =--+()2
13
y x =-++【例8】将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线是（ ）
22y x =1A ．B ．C ．D ．()
2
21y x =+()
2
21y x =-221
y x =+221
y x =-【例9】将抛物线向上平移个单位，得到抛物线的解析式是（
）
2
3y x =2 A.232y x =- B.2
3y x = C.2
3(2)y x =+ D.232
y x =+【例10】一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线
32224y x x =-+的解析式为________________．【例11】已知二次函数5632
+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：　
（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称
【例12】如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线
ABCD A 4AB =D (08)C
经过轴上的点，．2y ax bx c =++x A B ⑴ 求点，，的坐标．
A B C ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
D 【例13】抛物线与轴相交于点，且过点．
254y ax x a =-+x A B 、()54C 、⑴ 求的值和该抛物线顶点的坐标．
a P ⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
二、二次函数图象的对称变换
【例14】函数与的图象关于______________对称，也可以认为
2y x =2
y x =-是函数的图象绕__________旋转得到．
2y x =2y x =-【例15】已知二次函数，求：⑴关于轴对称的二次函数解析式；⑵关于轴对称的二次
221y x x =--x y 函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关
22y x x =+-x 于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为y A ． B ．22y x x =--+22
y x x =-+-C ．　
　D ．22y x x =-++22
y x x =++【例17】已知二次函数的图象是．
2441y ax ax a =++-1c ⑴ 求关于成中心对称的图象的函数解析式；
1c ()10R 、2c ⑵ 设曲线与轴的交点分别为，当时，求的值．
12c c 、y A B 、18AB =a 【例18】已知抛物线，求
265y x x =-+⑴ 关于轴对称的抛物线的表达式；y ⑵ 关于轴对称的抛物线的表达式；x ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【例19】设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，
C ()20y ax bx c a =++≠C y 1C 1C
关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为________________．
x
2
C
2
C
【例20】对于任意两个二次函数：，当时，
()
22
1111222212
y a x b x c y a x b x c a a
=++=++≠
、
12
a a
=
我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有，，记过三点的
ABM
∆()()
1010
A B
-、、、
二次函数抛物线为“”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．
C
AAA
⑴若已知，（图
1），请通过计算判断与是否为全等抛物线；
()
01
M、ABM ABN
∆∆
≌
ABM
C
ABN
C
⑵在图2中，以三点为顶点，画出平行四边形．
A B M
、、
①若已知，求抛物线的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且
()
M n
、
ABM
C
能与全等的抛物线解析式．
ABM
C
②若已知，当满足什么条件时，存在抛物线？根据以上的探究结果，
()
M m n
、m n
、
ABM
C
判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线．若存在，请写出所有
ABM
C
满足条件的抛物线“”；若不存在，请说明理由．
C
AAA
【例21】已知：抛物线．　试写出把抛物线向左平行移动个单位后，所得的新抛
2
:(2)5
f y x
=--+f2
物线的解析式；以及关于轴对称的曲线的解析式．画出和的略图，
1
f f x
2
f
1
f
2
f
并求：
⑴的值什么范围，抛物线和都是下降的；
x
1
f
2
f
⑵的值在什么范围，曲线和围成一个封闭图形；
x
1
f
2
f
⑶求在和围成封闭图形上，平行于轴的线段的长度的最大值．
1
f
2
f y。