凯特摆测量重力加速度

凯特摆测量重力加速度

1818年凯特提出的倒摆，经雷普索里德作了改进后，成为当时测量重力加速度g 最精确的方法。波斯坦大地测量研究所曾用五个凯特摆用了8年时间（1896-1904），测得当地的重力加速度g=(981.274±0.003)cm/s 2，许多地区的g 值都曾以此为根据。凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有着重要的价值，而且在实验设计上亦有值得学习的技巧。

教学目的：

1. 学习凯特摆的实验设计思想和技巧。

2. 掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

教学重点及难点：

1. 复摆的原理

2. 凯特摆的结构及原理

3. 利用凯特摆测量重力加速度的方法

教学内容：

一．实验原理

图一是复摆的示意图，设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴Ｏ的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为

mgh

I T π2= （1） 式中g 为当地的重力加速度。

设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有

2

mh I I G += （2）

代入式（1）得 mgh mh I T G 2

2+=π （3） 对比单摆周期的公式g

l T π2=，可得

mh mh I

l G

2+= （4）

l 称为复摆的等效摆长。因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

复摆的周期我们能测得非常精确，但利用mh

mh I l G 2

+=来确定l 是很困难的。因为重心G 的位置不易测定，因而重心G 到悬点O 的距离h 也是难以精确测定的。同时由于复摆不可能做成理想的、规则的形状，其密度也难绝对均匀，想精确计算I G 也是不可能的。我们利用复摆上两点的共轭性可以精确求得l 。在复摆重心G 的两旁，总可找到两点O 和O ’，使得该摆以O 悬点的摆动周期T 1与以O ’为悬点的摆动周期T 2相同，那么可以证明'OO 就是我们要求的等效摆长l 。

图一 复摆示意图 图二 凯特摆摆杆示意图 图二是凯特摆摆杆的示意图，对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等，即T 1≈T 2。由公式（3）可得

12112mgh mh I T G +=π （5）

22222mgh mh I T G +=π （6）

其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴倒重心G 的距离。当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l 即为等效摆长。由式（5）和（6）消去I G ，可得

()b a l h T T l T T g +=--++=12221222122224π （7）

式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。由此可知，a 项可以精确求得，而b 项不易精确求得。但当T 1 ＝T 2以及l h -12的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

凯特摆由底座、压块、支架、V 形刀承和一根长一米的金属摆杆组成。金属摆杆上嵌有二个对称的刀口E 和F ，作悬挂之用，一对大小形状相同、但质量不同的大摆锤A 、B 分别位于摆杆的两端，另一对小摆锤D 、C 位于刀口E 和F 的内侧，摆锤A 、D 由金属制成，摆锤C 、B 由塑料制成。就摆杆的外形而言，摆杆各部分处于对称状态，其目的在于抵消实验时空气浮力的影响以及减小阻力的影响。调节刀口E 和F 可以改变等值单摆长l 。调节摆锤A 、B 、C 、D 的位置，可以改变摆杆系统的质量分布。h 1和h 2分别为悬点O 和O ’到摆杆体系重心的距离。当四个摆锤调节到某一合适的位置时，以O 为悬点和以O ’为悬点的摆动周期相等。当l 、h 1（或h 2）和四个摆锤的位置确定之后，只要测出摆动周期T （T ≈T 1≈T 2），便可求得重力加速度g 。

选定两刀口间的距离即该摆的等效摆长l ，固定刀口时要注意使两刀口相对摆杆基本对称，两刀口相互平行。用米尺测出l 的值，取参考g 值（g ≈9.80m/s 2），利用g

l

T π2=粗略估算T 值，作为调节T 1＝T 2时的参考值。将摆杆悬挂到支架上水平的V 形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒过来悬挂也是如此。

二．实验内容

1． 实验仪器

本实验装置包括凯特摆、光电探头、米尺和V AFN 多用数字测试仪。

实验中将光电探头放在摆杆下方，调整它的位置和高度，让摆针在摆动时经过光

电探测器。电信号由B 插口输入到数字测试仪中，数字测试仪的功能选择旋钮放在“振动计数”档，时标旋钮放在“0.1ms ”档，计停开关置于“停止”，然后接通电源。

让摆杆作小角度的摆动，待其摆动若干次稳定后，按下数字测试仪的“复位”按

钮。此时测试仪开始自动记录一个周期的时间。显示屏左边显示摆动的次数（即周期数），右边显示摆动数个周期的时间数值。

2． 测量摆动周期T 1和T 2

调节四个摆锤的位置，使T1与T2逐渐靠近，一般粗调用大摆锤，微调用小摆锤。

当T1和T2比较接近估算值T时，最好移动小塑锤，使T1与T2的差值小于0.001s。

当周期的调节达到要求后，将测试仪的计停开关拨到“计数”档，测量凯特摆正、倒摆动10个周期的时间，10T1和10T2各测量5次取平均值。

σ

3．计算重力加速度g及标准误差

g

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G的所在，测GO（l-h1）的值，代入公式（7）中计算g 值。自己推导误差传递公式，出GO（h1）或'

σ。

计算

g

思考题：

1．凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现？

2．结合误差计算，你认为影响凯特摆测g精度的主要因素是什么？将所得的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差，试分析之。3．摆的角振幅（即摆杆的偏转角）的大小，对实验结果有无影响？能否进行理论修正。