热传导方程的建立、数值解法及应用

有限差分法使得到热传导数值解成为可能
有限差分法就是将带求解的区域划分为无数多个微小的网格(或称为元 胞)，网格上承载着位置和温度信息，用网格上的温度近似代替物体所在 位置真实的温度.网格是一个为了便于分析和理解的数据结构，在求解的 过程中并不存在.有限差分法不仅可以用在求解热传导方程中，在所有的 (偏)微分方程都可以用它来求解，包括复杂的电磁场矢量方程.
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的
Fourier定律：
热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两
u 侧的温度变化率 n 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所
以等式右边有个负号d.即q： k
u n
en
d
s
d
t
ku
d
s
d
t
k 又叫导热系数(单位:W/ m2)，en为该面元的外法向单位向量.
对于一个封闭的体积元 ,在d t时间内其内部的热量的变化为为d Q.通过
对体积元的闭合面d积Q分，得d到q ：d s=
ku
d
s
d
t
进一步对时间积分，我们可以得到从 t1到 t2 时刻流入体积元内部的热
2u y2 xix
ui, j1
2ui, j y2
ui, j1
O(y2 )
y jy
上式误差之所以为x2的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
u ui1, j =ui, j + x
xix
x
1 2!
2u x2
xix
x2 O(x2 )
y jy
y jy
同理：ui1, j =ui, j
为了简单起见，我们建立二维矩形网格，将温度在二维平面对空间和时
间进行差分.
u
将u 对时间进行向后差分，得：t
=
lim
t 0
u n1 ij
t
uinj
u n1 ij
uinj
t
将 u 对空间进行中心差分，得：
2u x2 xix
ui1, j 2ui, j ui1, j x2
O(x2 )
(*)
y jy
u x
xix
(x)
1 2u 2! x2
xix
(x)2
பைடு நூலகம்
O(x2 )
y jy
y jy
两项相加：便得
ui1,
j
+ui1,
j
=2ui, j
2u x2
x2
O(x2 )
稍微整理一下便得（*）式
最后结合热传导方程，就可以得到差分形式，即下一时刻位于(i,j)号网格
中，所有位置的温度
un1 i, j
与上一时刻周围网格温度的关系为：
无热源条件下得到Laplace 方程：
2u=0
有热源条件下得到Poisson 方程：
2u=f
但是，在绝热的边界条件下，而内部有不灭热源是无法达到热平衡的。 这样，我们的热传导方程便全部建立起来了.
通过热传导方程的推导过程，我们还可以得到一个有意思 的结论： 对于体积相同形状不同的同种物体，球形是最能减少热量 损失的。 因为对于体积相同的同种物体，用内部热源将其从室温升高到相同 的某一温度，其所需的热量是一致的，但是根据傅里叶积分公式，如果 物体表面积的增加，那么它的面积分量也会增加，从而导致其散热更快， 在相同时间内，其热量损失越多。这可以解释自然界的许多现象。
uin, j,k (1 2rx
2ry
2rz ) rx (uin1, j,k
un i 1,
j,k
)
ry
(uin,
j 1,k
uin, j1,k ) rz (uin, j,k 1 uin, ) j,k 1
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。 • 第一种最简单，只要设定一个初始温度ui0, j ，之后的每一次迭代过程
中，都保持边界温度只随时间有关(已知)，与网格无关，但是边界内 部的网格温度需要根据边界上的温度而求得。
• 对于第二种边界条件，需要将边界的每一个网格与其周围网格的平均 值近似的代替该点由于网格内部热传导所形成的变化温度，如果考虑 边界绝热，那么只需要考虑这一项就可以了；如果边界非绝热，我们 还需要加上一项从外界流入某边界网格的热量除以物体比热和密度的 乘积。
• 对于第三种边界条件，则处理方法是：在一次迭代过程中，依次执行 第一种边界条件的处理方法和第二种边界条件的处理方法。
Q2 cmu= c[u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)]d x d y d z
其中： 为物体的密度.
对Q2进一步变形，可以得到：
Q2
t2 t1
c u d x d y d z d t
t
根据热量守恒，
Q1 Q2
即：
t2 ku d x d y d z d t= t2 c u d x d y d z d t
量 Q1 ，即：
Q1
t2 ( d Q) d t
t1
t2 t1
ku d s d t
又由高斯公式：
Q1
t2 t1
ku
d
s
d
t
t2 t1
(ku) d v d t
t2 t1
k2u d x d y d z d t
根据初中所学的热力学公式：物体吸收的热量等于该物体的比热容、质
量与温度增量的乘积.我们得到:
热传导方程的数值 解法及应用
主讲人: 陈鹏
主要内容
1.热传导方程的建立 2.用有限差分法建立热差分模型 3.双层玻璃中的一维热传导 4.利用PDE工具箱设计面包烤盘 5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律
问题引入
思考这样一个问题： 对于体积相同形状不同的同种物体，什么形状
最能减少热量损失的？
热传导方程的建立
u n1 i, j
un i, j
(1
2rx
2ry
)
rx (uin1, j
un i 1,
j)
ry
(uin, j1
uin, j1)
式中的未知参数是为了书写方便和便于编程所设计的，其中：
rx a2t / x2, ry a2t / y2
显然，对于三维空间的的网格，我们也可以类似的得到：
u n1 i, j,k
t1
t1
t
我们得到：
ku=c u
t
即：
u t
=
k
c
2u x2
2u y 2
2u z 2
简写为：
u a2u
若物体内部有热源，d t 时间内，在(x, y, z) 处的体积元内所产生的热量
为 F (x, y, z,t) ，同样容易得到含热源的热传导方程：
其中：f
=
F
c
.
u a2u+f
如果时间足够长，温度不再变化，此时 u=0 ,得到稳定场方程.