2020年高考数学复习题：函数模型及应用

函数模型及应用

1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()

答案：A解析：由切线的几何意义知，对路程s求导，切线的斜率表示的是速度．由题意，一开始加速行驶，也就是切线斜率越来越大，然后是匀速行驶，此时切线斜率保持不变；最后是减速行驶到停车，对应的切线斜率越来越小，直到斜率为0，因此对应的图象应该为A.

2．[2019济南模拟]李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售车辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )

A．11 000元B．22 000元

C．33 000元D．40 000元

答案：C解析：设甲连锁店销售了x辆，则乙连锁店销售了(110－x)辆，

∴利润L＝L1＋L2＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，

∴当x＝60时，最大利润为33 000元．故选C.

3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润

为8元，每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，用同样工时可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

答案：C 解析：设生产的产品提高x 个档次后可获利y 元，则y ＝(8＋2x )(60－3x )＝－6x 2＋96x ＋480＝－6(x －8)2＋864，

所以当x ＝8时，y 有最大值，即所求档次为第9档次．

4．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水

量相等，又过了m 分钟甲桶中的水只有a 8升，则m 的值为( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

答案：D 解析：令18a ＝a e nt ，则18＝e nt ，

由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，

∴t ＝15，m ＝15－5＝10.

5．[2019北京石景山联考]小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

( )

图1

图2

A．点M B．点N C．点P D．点Q

答案：D解析：A项，假设这个位置在点M，则从A至B 这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；

B项，假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；

C项，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从B到C 的过程中，小明与教练间的距离一直在减小，与函数图象不符，故本选项错误；

D项，经判断点Q符合函数图象，故本选项正确．

故选D.

6．[2019河北邯郸联考]某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)

之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2

(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为 ( )

A ．30.5万元

B ．31.5万元

C ．32.5万元

D ．33.5万元

答案：B 解析：由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，

销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y ×50%，

故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .

∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2

(万元)．

∴当广告费为1万元时，即x ＝1，

该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12

＝31.5(万元)． 故选B.

7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.

答案：20 解析：由题中图形关系可知矩形上方的三角形与

大三角形相似，

设矩形中与长为x m 的边相邻边的长为y m ，

则x 40＝40－y 40，

所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y 时等号成立，则x ＝40－x ，即x ＝20.

故矩形面积最大时x 的值为20.

8．[2019广东珠海统考]某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为________．

答案：4 050元 解析：设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为

f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，

整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000

＝－150(x －4 050)2＋307 050，

所以当x ＝4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)＝307 050， 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．

9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x

万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．