二次函数图象的平移和对称变换

y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - b x + c -

；

二次函数图象的几何变换

中考要求

内容

基本要求

略高要求

1.能通过对实际问题中的情境分

析确定二次函数的表达式；

较高要求

1. 能 用 二 次 函 数

1.能根据实际情境了解二次函数

二次函数

的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的

图像；

2.能从函数图像上认识函数的性

质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二

次方程的近似解；

解决简单的实际

问题；

2. 能 解 决 二 次 函 数与其他知识结

合的有关问题；

一、二次函数图象的平移变换

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成 y = a( x - h)2 + k 的形式，确定其顶点 (h , k ) ，然后做出二次函数

y = ax 2 的图像，将抛物线 y = ax 2 平移，使其顶点平移到 (h , k ) .具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于 x 轴对称

y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；

y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 - k ；

2. 关于 y 轴对称

y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；

y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2 + k ；

3. 关于原点对称

y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；

y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2 - k ；

4. 关于顶点对称

b 2 2a

y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ．

5. 关于点 (m ，n ) 对称

y = a (x - h )2 + k 关于点 (m ，n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛

3、二次函数 y = -2x + 4x + 1 的图象如何移动就得到 y = -2x 的图象（ ） 6、对于每个非零自然数 n ，抛物线 y = x 2 - 2n + 1

n (n + 1) n (n + 1)

A ．

B ．

C ．

D ．

物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出 其对称抛物线的表达式．

二次函数图象的平移变换练习

1、函数 y = 3(x + 2)2 -1 的图象可由函数 y = 3x 2 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（

）

A. 右移两个单位，下移一个单位

B. 右移两个单位，上移一个单位

C. 左移两个单位，下移一个单位

D. 左移两个单位，上移一个单位

2、函数 y = -2( x - 1)2 -1 的图象可由函数 y = -2( x + 2)2 + 3 的图象平移得到，那么平移的步骤

是（ ）

A. 右移三个单位，下移四个单位

B. 右移三个单位，上移四个单位

C. 左移三个单位，下移四个单位

D. 左移四个单位，上移四个单位

2 2

A. 向左移动1 个单位，向上移动 3 个单位.

B. 向右移动1 个单位，向上移动 3 个单位.

C. 向左移动1 个单位，向下移动 3 个单位.

D. 向右移动1 个单位，向下移动 3 个单位.

4、将函数 y = x 2 + x 的图象向右平移 a (a > 0)个单位，得到函数 y = x 2 - 3x + 2 的图象，则 a 的值为（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

5 、把抛物线 y = ax 2 + b x + c 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式是 y = x 2 - 3x + 5 ，则 a + b + c = ________________．

x + 1 与 x 轴交于 A 、B 两点，以 A B 表示这两点间

n n n n

的距离，则 A B + A B +…+ A

B

的值是（ ）

1 1

2 2

2009 2009

2009 2008 2010 2009

2008

2009 2009

2010

7、把抛物线 y = - x 2 向左平移1个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为

A ． y = - (x - 1)2 - 3

C ． y = - (x - 1)2 + 3

B ． y = - (x + 1)2 - 3

D ． y = - (x + 1)2 + 3

8、将抛物线 y = 2x 2 向下平移1个单位，得到的抛物线是（

）

A ．

y = 2 (x + 1)2 B ． y = 2 (x - 1)2

C ． y = 2x 2 + 1

D ． y = 2x 2 - 1

9、将抛物线 y = 3x 2向上平移 2 个单位，得到抛物线的解析式是（

）

A. y = 3x 2 - 2

B. y = 3x 2

C. y = 3(x + 2)2

D. y = 3x 2 + 2