北京市朝阳区2020-2021学年高二第一学期期末质量检测试题数学试题

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2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案

2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 圆的圆心C 的坐标为（） 22:210C x x y ++-=A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （－2，0）【答案】B2. 已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 直线l 与平面α（） A. 垂直 B. 平行C. 相交但不垂直D. 位置关系无法确定【答案】A3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（）22126x y -=C.D. 【答案】B4. 如图，已知直线l 与圆相交于A ，B 两点，若平面向量，满足22:4O x y +=OA OB，则和的夹角为（）2OA OB ⋅=-OA OBA. 45°B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（） A. 2倍 B. 4倍C. 8倍D. 16倍【答案】C6. 过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点24y x =()()003,0A y y >B 为，直线在轴下方交抛物线于点，则（） F BF x E FE =A. 1 C. 3D. 4【答案】D7. 下列有四个说法：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点： ②函数在定义域上单调递减； 1()f x x=③某质点沿直线运动，位移（单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式则y 256y t =+1t s =时的瞬时速度是10 m/s ； ④设x ＞0，，，则在（0，＋∞）上函数的图象比的图象()ln f x x =1()1g x x=-()f x ()g x 要“陡峭”.其中正确的序号是（） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ③④【答案】A8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D9. 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P C上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（） 120PF PF ⋅>A. B. C. D. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦⎛⎝12⎛⎝⎤⎥⎦【答案】B10. 如图，在三棱锥O -ABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c . M 为△ABC 内部及其边界上的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为a 0，b 0，c 0，则（） 000a b c a b c++=A.B.C. 1D. 21412【答案】C二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.11. 只知两条直线，平行，则m 的值为______. 1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈【答案】4解：两条直线，平行，则，得1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈122m ⨯=⨯，4m =12. 等差数列满足，，则_________. {}n a 1212a a +=344a a +=56a a +=【答案】4-解：等差数列满足，，设公差为，则{}n a 1212a a +=344a a +=d ，()134248a a d a a ++-==-则， 563444a a a a d +=++=-13. 已知函数（a ∈R ），且，则a 的值为_________. ()sin f x x ax =+12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭【答案】1解：对函数求导得，()cos f x x a '=+则，得. cos 122f a ππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭1a =14. 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.【答案】 ①. 垂直 ②解：设，，，由题意可得，CB a = CD b = 1CC c =1CA a b c =++ 则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅ ，，同理可证， cos 60cos 600c b c a =⋅-⋅=1CA BD ∴⊥11CA BC ⊥，故平面．1BD BC B ⋂= 1CA ⊥1C BD ∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，,11CD CB CC ∴===222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=,1CA →∴=即A 1C .故答案为：垂直；15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所F 示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为，探月卫星沿三(),,1,2,3i i i a c e i =个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：①；②；③；④.则以上112233a c a c a c -=-=-21a <31a =123e e e <<命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）【答案】①③④解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心为焦点， F ∴，故①正确，112233a c a c a c -=-=-，即，则且，故②错误，③3331232565762304a aa ==3331234936a a a ==211a >=31a =正确，∵若地球半径为，则， R 112233a c a c a c R -=-=-≈∴，，，故， 11c a R =-22c a R =-33c a R =-123123,11,1R R Re a a e e a =-=-=-由上知：，所以，故④正确. 321a a a >>123e e e <<故答案为：①③④16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n （n ∈N *）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.【答案】 ①. ②. 2465 21n -解：第1组有1个数，第2组有3个数，第3组有5个数， ……第n 组有个数.()12121n n +-=-前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个，设把正奇数列的前n 项和为，则第9组中的所有数之和：n S .()()81648181164641=81126412=246522S S ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：；2465. 21n -三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程. 17. 已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线在点（e ，）的切线方程； ()y f x =()f e （2）求函数的单调区间.()f x 【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增． 2y x e =-1(0,e1(,)e+∞解：（1）由得， ()ln f x x x =()()ln 10f x x x '=+>所以切线斜率为 ()ln 12f e e '=+=切点坐标为，(,)e e 所以切线方程为，即； 2()y e x e -=-2y x e =-（2）， ()()ln 10f x x x '=+>令，得． ()0f x '=1=x e当时，；∴1(0,∈x e()0f x '<当时，，1(,)∈+∞x e()0f x '>∴在单调递减，在单调递增． ()ln f x x x =1(0,)e1(,)e+∞18. 已知圆，若直线与圆C 相交于A ，B 两点，且222:(0)C x y r r +=>1:20l x y -+=.AB =（I ）求圆C 的方程.（II ）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P 的坐标，求过点P 与圆C 相切的直线l 2的方程.①（2，－3）；②（1）.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I ）；（II ）选①：或；选②：224x y +=512260x y ++=2x =.40x +-=解：（I ）设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222||2AB r d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭222d r =-又， d ==24r ∴=故圆C 的方程为；224x y +=（II ）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =当直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l 3(2)y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2=512k =-此时直线的方程为，即， 2l 53(2)12y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或； 2l 512260x y++=2x =选②，可得在圆上，即为切点，=所以直线的方程为，即. 2l 1)y x =-40x +-=19. 已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }的通项b n 满足，求{b n }的前n 项和S n 的最小值及取得最小值时92n b n a +=n 的值.【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为 4nn a =4n =n S 16-解：（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92n b n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为. 4n =n S 16-20. 在如图所示的多面体中，且，，且//AD BC 2AD BC =AD CD ⊥//EG AD ，且，平面ABCD ，，M ，N 分EG AD =//CD FG 2CD FG =DG ⊥2DA DC DG ===别为棱的中点.,FC EG（I ）求点F 到直线EC 的距离；（II ）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；（III ）在棱GF 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ //平而EDC ？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.【答案】（I ；（II ；（III ）不存在，证明见解析；解：（I ）由平面ABCD 知，，，又， DG ⊥DG DC ⊥DG DA ⊥AD CD ⊥则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，(0,0,0)D (2,0,0)A (0,2,0)C (0,0,2)G (2,0,2)E (0,1,2)F (1,2,0)B则，3(0,,1)2M (1,0,2)N ，，(2,2,2)CE →=-(2,1,0)EF →=-所以点F 到直线EC==（II ）由（I ）知，，， (1,2,0)DB →=(2,0,2)DE →=(0,2,0)DC →=设平面BED 的法向量为，(,,)m x y z →=则，令，则 20220m DB x y m DE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =(2,1,2)m →=-设平面EDC 的法向量为，n (x,y,z)→=则，令，则 22020n DE x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,0,1)n →=-故cos ,m nm n m n→→→→→→⋅<>===由图知，二面角B EDC --（III ）设GF 上存在一点Q ，设，(0,,2)Q λ[0,1]λ∈则，3(0,,1)2MQ λ→=-3(1,,1)2MN →=-设平面MNQ 的法向量为(,,)p x y z →=则，令，则 3023()02p MN x y z p MQ y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩1y =3(,1,)2p λλ→=-若平面平面，则，//MNQ EDC //n p →→故不存在，即不存在点Q 使得平面平面 λ//MNQ EDC21. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且xOy DE ())P 直线与的斜率之积等于. DP EP 13-（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别F C F l C A B A B 作直线的垂线与轴相交于，两点.若的斜率.l x M N MN =l 【答案】（1）；（2）. (2213x y x +=≠1k =±解：（1）设，则， (),P xy (13EP DP k k x =-≠所以可得动点P 的轨迹C 的方程为 (2213x y x +=≠（2）可得，设直线l 的方程为，()F (y k x =+()()1122,,,A x yB x y 联立可得 (2213y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()222231630k x xk +++-=所以 2121226331k x x x x k -+==+因为过A ，B 分别作直线l 的垂线与x 轴相交于M ，N 两点所以 1AM BN k k k==-所以直线的方程为，令可得，同理可得AM ()111y y x x k -=--0y =11M x x ky =+22N x x ky =+所以()()21122121MN x ky x ky k x x =+--=+-=所以(21k +==解得，所以21k =1k =±。

2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案

2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－　23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式；（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =，则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-，所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=，故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围．详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10，分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米【答案】A【解析】【分析】先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ，所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =，因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误；由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+，即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。

2020-2021学年北京市朝阳区高二下学期期末考试数学试题【含答案】

2020-2021学年北京市朝阳区高二下学期期末考试数学试题一、单选题（共10题；共50分）1.设，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.展开式中的系数为（）A. -20B. -10C. 10D. 203.函数在区间上的最大值为（）A. B. 1 C. 7 D.4.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用表示取到红球的个数，则（）A. B. C. D.5.设随机变量服从正态分布，若，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 46.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A. 50B. 70C. 80D. 1407.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（）A. B. C. D.8.为了研究某校男生的脚长(单位；)和身高(单位：)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于的经验回归方程为.已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（）A. B. C. D.9.已知.以下四个命题：①对任意实数，存在，使得；②对任意，存在实数，使得；③对任意实数，，均有成立；④对任意实数，，均有成立.其中所有正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④10.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（）A. 70B. 140C. 210D. 280二、填空题（共6题；共30分）11.判断对错，并在相应横线处划“√”或“×”.①样本相关系数时，称成对数据正相关，时，称成对数据负相关________.②样本相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越弱，越接近于0，线性相关程度越强________.12.某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》､《觉醒年代》､《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看人数只看过《光荣与梦想》12只看过《觉醒年代》11只看过《跨过鸭绿江》8只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》7只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》 4只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》 5同时看过《光荣与梦想》､《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》 21________人.13.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.则第10行共有________个奇数；第100行共有________个奇数.14.函数的定义域为________，极大值点的集合为________.15.已知，则的最小值为________.16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220 99 90 31女250 50 120 80合计 470 149 210 111假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是________.三、解答题（共5题；共70分）17.已知集合，.（1）若，全集，求；（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：若；条件②：若.如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分.18.设函数，，（1）求的单调递增区间；（2）当，时，求证：.19.根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的.我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况.（1）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率；（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率. （3）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片女性观众男性观众总计《八佰》 47a 53b100 《金刚川》 39c61d100 总计86 1142002()a P x x0.10.050.010.001a x2.7063.841 6.635 10.828附：20.某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品.（1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；（2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为，求的分布列和数学期望；（3）某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？21.已知函数.（1）求的极值；（2）已知，且对任意的恒成立，求的最大值；（3）设的零点为，当，，且时，证明：.答案解析部分一、单选题（共10题；共50分）1.设，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】Ý ，因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断，即可得出答案。

北京市朝阳区2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题

北京市朝阳区2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题一、选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则 ()D X =（） X0 2 4P141214A ．1B ．2C ．3D ．42．5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种3．()40x x x+>的最小值是（） A ．2B ．22C ．4D ．84．一元二次不等式2201920200x x -++>的解集是 ( ) A ．()1,2020-B ．()2020,1-C ．()(),12020,-∞-⋃+∞D ．()(),20201,-∞-⋃+∞5．曲线21xy xe x =+-在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．31y x =- B ．31y x =--C ．31yx D ．21y x =--6．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2B ．4C ．6D ．87．复平面内表示复数的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.29．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种D ．240种10．4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（）种不同的站法． A.1920 B.960C.1440D.72011．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.24223++B.22243++C.263+D.842+12．若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．8π B ．4π C ．38π D ．34π 二、填空题13．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)mm 检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为______．14．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________.15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .16．按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1：赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表2： 1：李 2：王 3：张 4：刘 5：陈 6：杨7：赵8：黄9：周10：吴从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________. 三、解答题 17．如图，在三棱柱中，，，平面ABC ．若，求直线与平面所成的角的大小；在的条件下，求二面角的大小；若，平面，G为垂足，令其中p、q、，求p、q、r的值．18．已知数列的前项和为，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，，记数列的前项和为，求．19．某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段，，…进行分组，得到的分别情况如图所示，求：（1）该班抽测成绩在之间的人数；（2）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比.20．已知向量，，函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)将函数的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数的图象,当时,求函数的最值及相应的值.21．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数的概率．22．如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C A A D D D B B A C二、填空题13．514．364 315．3:1:216．1 3三、解答题17．（1）；（2）；（3），，.【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为y，，则，即可得出，利用即可得出．在的条件下，平面的法向量为0，，取平面ABC的法向量0，，可得，即可得出二面角的平面角．作，M为垂足由平面可得，平面平面平面．作，垂足为G，则平面利用三角形面积计算公式、勾股定理及其其中p、q、，即可得出．【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，0，，0，，，0，，，0，，1，，设平面的法向量为y，，则，，取，则0，，．直线与平面所成的角为．在的条件下，平面的法向量为0，，取平面ABC的法向量0，，则，由图可知：二面角的平面角为钝角，二面角的平面角为．作，M为垂足．由平面，又，平面．平面平面．作，垂足为G，则平面．在，，．．．，可得0，，其中p、q、，0，，0，，，，．【点睛】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、数量积的运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．(1) a n=3n﹣1 (2)【解析】试题分析：（1）由，可得：a n+1=3a n，利用等比数列的通项公式即可得到结果；（2）利用（1）可得的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.试题解析：（1）∵a n+1=2S n+1，n∈N∗，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n﹣1．（2） c=log3a2n==2n﹣1．b n===，数列{b n}的前 n 项和T n=+++…++=19．（1）38（2）18%.【解析】试题分析：（1）从分布图可得10人；16人；12人；因此在之间的人数为10+16+12=38人（2）不低于85分的人数6+2+1=9人，百分比为试题解析：（1）从分布图可以看出抽测成绩各分数段的人数依次为：1人；2人；10人；16人；12人；6人；2人；1人.因此，该班抽测成绩在之间的人数为38人；（2）该班抽测成绩不低于85分的占总人数的18%.考点：分布图20．(1) ；(2) 当, .【解析】【分析】（1）根据两向量的坐标，求得函数的解析式，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间；（2）利用三角函数的图象变换可得的表达式，从而求得在区间上的最值及相应的值.【详解】，当，即，函数的单调递增区间为.（2）将函数的图象先向左平移个单位,可得，然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数,又，，当，即时，；当，即时，.【点睛】本题考查函数的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，属于中档题.21．（1）中位数，平均数；（2）.【解析】【分析】(1)频率直方图中，根据直方图左右两边面积相等处横坐标能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；(2)由题知严重拥堵中交通指数的有4个，记为，交通指数的有2个,记为，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，利用列举法能求出恰有一个路段的交通指数的概率. 【详解】（1)频率直方图中，对应的小矩形最高 ,据此直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；由频率直方图能估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为.(2)由题知严重拥堵中交通指数的有4个，记为，交通指数的有2个,记为，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有15个，分别为：，，选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数包含的基本事件有8个，分別为：，恰有一个路段的交通指数的概率.【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.22．(1) ;(2) 当时，投资费用最低，此时的最小值为.【解析】【分析】（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.【详解】（1）连接，在中，，故，据平面几何知识可知,在中，，故，所以，显然，所以函数的定义域为，即函数关系式为，且。

2020-2021学年北京某校高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京某校高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，那么|b →|＝（）A.3√6B.6C.9D.18 【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据题意，设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，则设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，则有k ＝−3，则x ＝−6，y ＝−3，则b →=(3, −6, −3)，故|b →|=√9+36+9=3√6；2. 点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离是( )A.45B.54C.425D.254 【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离：d =√32+(−4)2=45．故选A ．3. 圆心在直线x −y ＝0上且与y 轴相切于点(0, 1)的圆的方程是（）A.(x −1)2+(y −1)2＝1B.(x +1)2+(y +1)2＝1C.(x −1)2+(y −1)2＝2D.(x +1)2+(y +1)2＝2【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4. 设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）A.k>3B.3<k<5C.4<k<5D.3<k<4【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 直线y＝2x为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是（）A.√5B.√52C.√3 D.√32【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=±bax，则ba=2，即b＝2a，则c=2+b2=√5a，即有e=ca=√5．6. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A.12条B.15条C.18条D.72条【答案】C【考点】计数原理的应用【解析】先分类，再分步，即可求出答案．【解答】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种，第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种，根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种，故从甲地到丁地共有18条不同的路线．7. 在(x−2)5的展开式中，x2的系数是（）A.−80B.−10C.5D.40【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A.1 25B.340C.18D.35【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】利用椭圆的性质列出方程组，求出a ，c 然后求解椭圆的离心率即可．【解答】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，月球半径为R ，则a +c ＝400+1738 且a −c ＝1738+100，解得a ＝1988，c ＝150，所以e =1501988≈340，9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，则斜率k 的取值范围是（）A.(−∞, 1)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.[1, +∞) 【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，与抛物线方程联立，由△>0得kb <1，利用韦达定理结合已知条件得b =2−k 2k ，m =2k ，代入上式即可求出k 的取值范围．【解答】设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程{y =kx +b y 2=4x，消去y 得：k 2x 2+(2kb −4)x +b 2＝0， ∴ △＝(2kb −4)2−4k 2b 2>0，∴ kb <1，且x 1+x 2=4−2kbk 2，x 1x 2=b 2k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2b =4k， ∵ 线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，∴ x 1+x 2=4−2kb k 2=2，y 1+y 2=4k =2m ， ∴ b =2−k 2k ，m =2k ，∵ m >0，∴ k >0，把b =2−k 2k 代入kb <1，得2−k 2<1，∴ k 2>1，∴ k >1，10. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD 1的中点，AA 1＝2，AB ＝1，若点Q 在侧面BCC 1B 1（包括其边界）上运动，且总保持AQ ⊥BP ，则动点Q 的轨迹是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本大题共7小题，每题5分，共35分）已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直，那么l1与l2的交点坐标是________．【答案】(15, −35)【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系两条直线的交点坐标【解析】由两条直线垂直，建立关于a的方程并解之，得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2= 0．再将直线l1的方程和l2的方程联解，即可得到所求交点的坐标．【解答】解：∵直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直∴1×4+2a=0，解之得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2=0由{x+2y+1=04x−2y−2=0，联解得x=15，y=−35，得交点坐标为(15, −35)故答案为：(15, −35)直线x−√3y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为________．【答案】2√3【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心(0, 0)，r=2，∵圆心(0, 0)到直线x−√3y+2=0的距离d=22=1，∴直线被圆截得的弦长为2√r2−d2=2√3．故答案为：2√3已知点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，则点M到抛物线C焦点的距离是________．【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p＝2，求得焦点F(1, 0)，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．【解答】由点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，可得4＝2p，p＝2，抛物线C:y2＝4x，焦点坐标F(1, 0)，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有________个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有________个．【答案】60,36【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知圆C的方程是x2+y2−4x+F=0，且圆C与直线y=x+1相切，那么F=________．【答案】−1 2【考点】圆的切线方程【解析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，然后由圆心到直线的距离等于半径求得F的值．【解答】解：由x2+y2−4x+F=0，得(x−2)2+y2=4−F，∴圆心为(2, 0)，半径为√4−F，又圆C与直线y=x+1相切，则√12+(−1)2=√4−F，解得：F=−12．故答案为：−12．已知F1，F2为椭圆M：＝1和双曲线N：＝1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为________．【答案】1【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1, 0, 1)，动点P(x, y, 0)在xOy平面上运动，P到直线OA的距离为4，则点P坐标中x，y满足的方程为________．【答案】【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共65分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点．（1）求证：PB⊥EF；（2）求证：FG // 平面PCD；（3）求平面EFG与平面PAD所成二面角的余弦值；（4）求直线DE与平面EFG所成角的大小．【答案】证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，且底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD．以D为原点，DC、y轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，设DC＝1，则D(0, 3, 0)，0，7)，1，0)，，），F（，3，），1，4)．，1，−1)，，-，0)，•＝-．所以PB⊥EF．证明：由（1）知，PD⊥AD，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD．所以＝(−5，0．＝(0，6，-），因为•＝4，所以FG // 平面PCD．设平面EFG的法向量为＝(x，y，则，即，令x＝8，得，1，2)．平面PAD的法向量为＝(2, 0)．设平面EFG与平面PAD所成二面角（锐角）为α，则cosα＝＝．所以平面EFG与平面PAD所成二面D−FG−E角（锐角）的余弦值为．如图，连接DE，3＝(0，1，cos<，6＝＝．设直线DE与平面EFG所成角的大小为θ，则0≤θ≤，因此θ＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答直线l与抛物线C:y2＝4x有且仅有一个公共点A(1, 2)，与A处切线垂直的直线m称为抛物线C:y2＝4x在点A处的法线．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与x轴交于点B，求证：AF＝BF；（3）若直线l与x轴交于点B，设法线m交x轴于M点，求线段BM的中点坐标；（4）若经过点B(−1, 0)的直线n与抛物线C:y2＝4x相交于P、Q两个不同的点，是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝20，又是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝6，请说明理由．【答案】①当直线l⊥x轴时，此时直线l的方程为：x＝1，联立方程，解得，不符合题意，②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为：y＝2，此时直线l与抛物线只有一个公共点，③当直线l的斜率存在且不为3时，设直线l的方程为：y−2＝k(x−1)，联立方程，消去x整理可得：ky2−4y+5−4k＝0，由题意可得△＝16−3k(8−4k)＝2，解得k＝1，此时直线l的方程为：y−2＝x−6，即x−y+1＝0，综上，满足题意的直线l的方程为y＝2或x−y+1＝0；证明：由直线l与x轴交于点B，则直线l的方程为：y＝x+4，令y＝0，解得x＝−1，2)，0)，而抛物线的准线方程为：x＝−1，由抛物线的定义可得：AF＝8+1＝2，又BF＝|−6−1|＝2，因此AF＝BF；由（2）可知，直线l的方程为y＝x+2，所以直线m的斜率为−1，则直线m的方程为：y−2＝−(x−3)，令y＝0，解得x＝3，4)，因此，线段BM的中点坐标为(1；若直线n与x轴重合时，直线n与抛物线只有一个公共点，所以可设直线n的方程为：x＝ty−1，P(x2, y1)，Q(x2, y7)，联立方程，消去x整理可得：y2−4ty+6＝0，则△＝16t2−16>6，所以t2>1，且y3+y2＝4t，y7y2＝4，所以|BP||BQ|＝＝(4+t2)|y1y5|＝4(1+t2)，因为t2>1，所以|BP||BQ|>2，因此存在直线n使得|BP||BQ|＝20，不存在直线n使得|BP||BQ|＝6．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A(−2, 0)，离心率e＝，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两个不同的点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当|PQ|＝时，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设线段PQ的中点在直线x+y＝0上，求直线PQ的方程．【答案】（1）由已知得，解得c＝1，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由(Ⅰ)知，椭圆的右焦点F(2，设直线PQ的方程为x＝my+1，P(x1, y2)，Q(x2, y2)，联立得(5m2+4)y6+6my−9＝7，所以y1+y2＝-，y1y2＝-，所以|PQ|＝＝＝12＝12×，因为|PQ|＝，所以12×＝，解得m＝±1，所以直线PQ的方程为x＝±y+7，即x+y−1＝0或x−y−3＝0．(Ⅲ)设PQ中点为(x0, y7)，所以x0＝＝＝＝，y0＝＝，又因为线段PQ的中点在直线x+y＝2上，所以x0+y0＝7，即+＝5，所以直线PQ的方程为x＝y+1．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，A，B是抛物线C上不同两点，且AB // OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．(Ⅰ)求抛物线C的准线方程；(Ⅱ)求证：直线PQ与x轴平行．【答案】（1）抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，∴4＝6p，即p＝1，∴抛物线C的准线方程x＝-＝-，证明(Ⅱ)∵M(2, 3)，∴k AB＝k OM＝1，设直线AB的方程为y＝x+m，设A(x1, y5)，B(x2, y2)，由，消x可得y2−4y+2m＝0，∴△＝3−8m>0，即m<，∴y1+y2＝2，y1y7＝2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q＝(y1+y2)＝3，∵直线OA的方程为y＝•x＝，①直线BM的方程为y−2＝(x−2)＝(x−2)，②，由①②解得y＝＝＝1，∴y p＝8∴直线PQ的方程为y＝1，故直线PQ与x轴平行【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得 −4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题平面向量在解析几何中的应用直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】（1）由题意知a =2，b =c ，b 2=2，由此可知椭圆方程为x 24+y 22=1．（2）设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)，直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，然后利用根与系数的关系能够推导出OM →⋅OP →为定值．（3）设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ．MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)，再由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，由此可知存在Q(0, 0)满足条件．【解答】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件.。

北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案

北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题共8小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1.复数z 11i i -=+，则|z |=( )A. 1B. 2 【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】 ,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A a-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin b B， ∵sin sin A b a B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. arctan2【答案】A【解析】【分析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小.【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,OF =,11cos 2OF FOA OA ∠==,所以1=30FOA ∠︒. 故选A【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5.已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A. 2216448x y -= B. 2214864x x += C. 2214864x y -= D. 2216448x y += 【答案】D【解析】【分析】设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切， 113MC r ∴=-，23MC r =+，12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ．【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A. 34B. 1C. 54D. 74【答案】C【解析】【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离. 【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（）A. 1+C. D. 【答案】B【解析】【详解】动点P 的轨迹为如图三角形MEF,3322322+=选B. 8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. （123]B. （1223，+∞） 2+∞）【答案】B【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1b a ≤,则双曲线的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≤ ⎪⎝⎭又1e >,则12e <≤故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式2222221c c a b b e a a a a +⎛⎫====+ ⎪⎝⎭考查了理解能力和转化能力. 二、填空题共6小题每小题5分共30分9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点pp ,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为: ①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____ 【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b -<<.222641616168011225525b b b AB --+=+⋅-=⋅，当0b =时，max 804102255AB =⋅=. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足5≤|A 1P |6≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】 (1).4π (2). 43【解析】【分析】结合题意先找到满足条件156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43 【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答共5小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证明过程15.已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式. （2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z|=得x 2+y 2=2; 又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（225. 【解析】【分析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =（0,1,0）,CD =（﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914 OBOB CDCD⋅===⋅⨯,∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为13.（2）OB=（0,1,0）,OC=（1,0,0）,OD=（0,12,1）,设平面COD的法向量n=（x,y,z）,则12n OC xn OD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2y=,得n=（0,2,﹣1）,设直线OB与平面COD所成角为θ,则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:sinθ255OB nOB n⋅==⋅=.【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC-（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P ABC-中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CP λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意2PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,31n OB n OB nOB ⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）. （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-= 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22 1.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8．【解析】（Ⅰ）因为314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,{20,y kx m x y =+-=可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k-++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8．考点：本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。

2020-2021学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：150（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标1.（单选题，5分）已知复数z=1+ii是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.63.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 234.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π66.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900 920 900 850 910 920乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ=（）e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμA.3B. 13C.-3D. −138.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：95 90 85 80 75 70 65 60 60以下成绩（分）人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A.65B.70C.75D.809.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 是棱AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足A 1M⊥C 1E ，则线段AM 的长的最小值为（） A. √55 B.2√55 C.1 D. √5210.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.511.（填空题，5分）已知平面向量 a ⃗ =（2，k ）， b ⃗⃗ =（3，2），且 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则实数k=___ ． 12.（填空题，5分）若复数z=a 2+a-2+（a 2-1）i 为纯虚数，则实数a 的值为 ___ ．13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍．其中所有正确结论的序号是 ___ ．17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）20.（问答题，14分）在锐角△ABC 中， A =π6，BC =√7 ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点．且DE=2．再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC 的值；（Ⅱ）∠BDE 的大小；（Ⅲ）四边形BCED 的面积．条件 ① ： AB =3√3 ；条件 ② ： cosB =√2114；条件 ③ ：EC=3．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z=1+ii（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）【正确答案】：B【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵ z=1+ii = (1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面内对应的点的坐标是（1，-1）．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.6【正确答案】：D【解析】：根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】：解：四棱锥P-ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD=AB•AD=3×2=6，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD=3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P-ABCD= 13 S矩形ABCD•PD= 13×6×3=6．故选：D．【点评】：本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．3.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 23【正确答案】：B【解析】：根据不放回抽取的规则以及古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，a，b，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有（1，2），（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（a，b），（2，1），（a，1），（b，1），（a，2），（b，2），（b，a）12种，则两个球颜色相同的情况共有（1，2），（2，1），（a，b），（b，a）4种，则两个球颜色相同的概率P= 412=13，故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到不放回抽取的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】：解：n⊂α，若n⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n || β或n与β相交，相交也不一定垂直，∴“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用正弦定理，可得tanA= √3，再结合A角的范围，即可求解．【解答】：解：∵ √3asinB=3bcosA，∴由正弦定理，可得√3sinAsinB=3sinBcosA，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，tanA= √3，又∵A∈（0，π），．∴A= π3故选：C．【点评】：本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定【正确答案】：D【解析】：根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．【解答】：解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：900+920+900+850+910+9206=900，乙种水稻产量的平均数为：890+960+950+850+860+8906=900，即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为900+9102= 905，乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890＜905，故B错误，选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70，乙种的水稻产量的极差为960-850=110＞70，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：16[(850−900)2+(910−900)2+(920−900)2+(920−900)2] = 17003，乙种的水稻产量的方差为：16[(890−900)2+(960−900)2+(950−900)2 +（850-900）2+（860-900）2+（890-900）2]= 52003＞17003，因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，故选：D．【点评】：本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμ=（）A.3B. 13C.-3D. −13【正确答案】：D【解析】：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，再利用向量的线性运算性质即可得出．【解答】：解：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，∴ a⃗−b⃗⃗ =（- e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗）-（-2 e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗）= e1⃗⃗⃗⃗−3e2⃗⃗⃗⃗，则λ=1，μ=-3，所以λμ =- 13．故选：D．【点评】：本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：A.65B.70C.75D.80【正确答案】：C【解析】：计算累计频数即可．【解答】：解：因为50×40%=20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75．故选：C．【点评】：本题考查频数表的理解，属于基础题．9.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E是棱AB的中点，点M 是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）A. √55B.2√55C.1D. √52【正确答案】：B【解析】：以点A 为原点建立空间直角坐标系，再由A 1M⊥C 1E 可得M 的轨迹方程，从而由平面知识得到AM 长的最小值．【解答】：解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1（0，0，1），C 1（1，1，1），E （ 12 ，0，0），M （x ，y ，0），所以 A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，y ，-1）， C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12，-1，-1），因为A 1M⊥C 1E ，所以- 12 x-y+1=0，即点M 的轨迹方程为x+2y-2=0，所以线段AM 的最小值为 2√12+22=2√55，故选：B ．【点评】：本题考查空间线面关系的应用，涉及空间向量的应用，点到直线距离的最小值求法，属于中档题．10.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.5【正确答案】：C【解析】：根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合λ1，λ2，λ3的取值范围，即可求解．【解答】：解：∵不共线的平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角相等，∴平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角都为120°，∵| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |=2，| c⃗ |=3，，b⃗⃗•c⃗=−3，∴ a⃗•b⃗⃗=−1，a⃗•c⃗=−32|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2 = λ12+4λ22+9λ32−2λ1λ2−6λ2λ3−3λ1λ3 = (λ1−λ2)2+(3λ3−λ2)2+2λ22−3λ1λ3，∵λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，∴当λ1=1，λ2=1，λ3=-1 时，|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2取得最大值为21，∴|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗ |的最大值为√21．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．11.（填空题，5分）已知平面向量a⃗ =（2，k），b⃗⃗ =（3，2），且a⃗⊥ b⃗⃗，则实数k=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗可得出a⃗•b⃗⃗=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=6+2k=0，解得k=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．【解答】：解：∵复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，∴ {a2+a−2=0，解得a=-2．a2−1≠0故答案为：-2．【点评】：本题考查了纯虚数的概念，属于基础题13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 16【解析】：设既选考物理又选考地理的学生有x人，然后根据已知条件求出x的值，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：设既选考物理又选考地理的学生有x人，则只选物理的人数为21-x人，只选地理的人数为14-x人，所以选考物理或地理的学生人数为21-x+14-x+x=28，解得x=7，故所求事件的概率为742=16，故答案为：16．【点评】：本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）【正确答案】：[1]不变; [2]变小【解析】：由平均数公式以及方差的计算公式分析即可．【解答】：解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，•••，x n，则有x1+x2+•••+x n=10n，方差s2=1n[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2]，所以（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2=ns2，加入一个新数10后，平均数为1n+1（x1+x2+•••+x n+10）= 10n+10n+1=10，故平均数不变；新的方差s2’= 1n+1[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2+（10-10）2]= 1n+1•ns2= nn+1•s2＜s2，故方差变小．故答案为：不变；变小．【点评】：本题考查了平均数与方差的运算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]3; [2]- 116【解析】：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．【解答】：解：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， ∵等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点， ∴A （-1，0），B （0， √3 ），C （1，0）， D (12，√32) ，设点M 的坐标为M （x ，0），-1≤x≤1，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−x ，0) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−x ，√32) ， ∴ MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1−x )(12−x)=x 2−32x +12，设f （x ）= x 2−32x +12，-1≤x≤1， ∵函数f （x ）的对称轴为 x =34 ，∴f （x ）在区间 [−1，34] 单调递减，在区间 [34，1] 单调递增，当x=-1时，f （x ）max =f （-1）=3，当x= 34 时， f (x )min =f (34)=−116 ．故答案为：3， −116．【点评】：本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍．其中所有正确结论的序号是 ___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据题意，由余弦定理和正弦定理分析四个结论，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，设△ABC 的三边长依次为n-1，n ，n+1，设最大角为A ，最小角得B ，对于 ① ，当n=4时，△ABC 的三边长依次为3，4，5，此时△ABC 为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和， ① 正确；对于 ② ，当n=3时，△ABC 的三边长依次为2，3，4，cosA= 4+9−162×2×3 ＜0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和， ② 正确；对于 ③ ，当n=5时，△ABC 的三边长依次为4，5，6，cosA= 16+25−362×4×5 = 18 ，cosB= 25+36−162×5×6 = 34 ，有cosA=2cos 2B-1=cos2B ，则有A=2B ， ③ 正确；对于 ④ ，假设存在符合题意的三角形，则A=3B ，则有 n+1sinA = nsinC = n−1sinB ，又由A=3B ，则sinA=sin3B=3sinB-4sin 3B ，sinC=sin （A+B ）=sin4B ，n+1sin3B = n sin4B = n−1sinB ，变形可得：n-1= n 8cos 3B−4cosB = n+14cos 2B−1，由n-1= n+14cos 2B−1 ，可得2cos 2B= nn−1 ，而n-1= n8cos 3B−4cosB ，联立可得：n 2-n-8=0，无整数解，即不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形， ④ 错误；故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，属于中档题． 17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（II）由已知条件cosA=√64，运用三角函数的同角公式，可得sinA= √104，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2=a2+√62bc，又∵由余弦定理，可得cosA=b 2+c2−a22bc，∴ cosA=√62bc2bc=√64．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜A＜π2，∴ sinA=√1−cos2A=√104．∵B=2A，∴ sinB=sin2A=2sinAcosA=2×√104×√64=√154又∵ b=√6，asinA =bsinB，∴ a=bsinAsinB =√6×√104√154=2．【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知利用正方体的性质可证BD || EF，根据线面平行的判定即可得解．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF || CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG || DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF || BG，利用正方体的性质可证BE || GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG || EC1，通过证明EC1 || AF，可得点C1在平面AEF内．【解答】：解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE || DF，BE=DF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD || EF，又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD || 平面AEF．（Ⅱ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，所以EF⊥AA1，EF⊥AC，又因为AC∩AA1=A，所以EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）点C1在平面AEF内，理由如下：取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DF || CG，DF=CG，所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG || DC，FG=DC，又因为AB || DC，AB=DC，所以AB || FG，AB=FG，所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF || BG，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，所以BE || GC1，BE=GC1，所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG || EC1，所以EC1 || AF，故点C1在平面AEF内．【点评】：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）【正确答案】：【解析】：（1）根据每组的小矩形的面积之和为1可解决此问题；（2）可先计算P（M⃗⃗⃗），然后计算P（M）=1-P（M⃗⃗⃗）；（3）先计算市民心理健康调查评分的平均值，再计算市民心理健康指数的平均值，可解决此问题．【解答】：解：（Ⅰ）由已知条件可得n=2000.02×10=1000，又因为每组的小矩形的面积之和为1．所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10=1，解得t=0.002；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t=0.002，所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P(M)=34×23×23=13，所以P(M)=1−P(M)=1−13=23，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为23；（Ⅲ）由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807＞0.75．所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．【点评】：本题考查频率分布直方图中某个矩形对应纵坐标算法、平均数算法、独立事件概率算法，考查数学运算能力，属于中档题．20.（问答题，14分）在锐角△ABC中，A=π6，BC=√7，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE=2．再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC的值；（Ⅱ）∠BDE的大小；（Ⅲ）四边形BCED的面积．条件① ：AB=3√3；条件② ：cosB=√2114；条件③ ：EC=3．【正确答案】：【解析】：选条件① ③ 时，（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用三角形的面积公式的应用求出结果．选条件② ③ 时，（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用作差法的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：选条件① ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，BC=√7，AB=3√3，又因为在△ABC中，ABsinC =BCsinA，所以sinC=AB⋅sinABC =3√3×12√7=3√2114．（II）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．在△ABC中，因为AB2=BC2+AC2-2BC⋅AC⋅cosC，所以27=7+AC2−2√7AC×√714，即AC2-AC-20=0，解得AC=5．又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6．故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为AB=3√3，A=π6，由（Ⅱ）知AC=5，所以S△ABC=12AB⋅AC•sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．选条件② ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，cosB=√2114，所以0＜B＜π2，sinB=√1−cos2B=5√714．所以sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA 5√714×√32×√2114×12=3√2114．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：ACsinB =BCsinA，得AC=BC⋅sinBsinA=√7×5√71412=5，又因为EC=3，所以AE=2，又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．由余弦定理得：AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅cosC=7+25−2×√7×5×√714=27，解得：AB=3√3．所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用T 点列的定义进行判断即可；（Ⅱ）利用{A n }为T 点列，得到对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ，分析得出 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ，∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角，然后由余弦定理判断即可；（Ⅲ）利用{A n }为T 点列，a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得a m+k -a l ＞a m -a l-k ，再由 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ，即可判断得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）{A n }为T 点列．理由如下：由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，1n+1−1n )，j =(0，1) ，所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =1n+1−1n ，f (n +1)−f (n )=1n+2−1n+1−(1n+1−1n )=2n (n+1)(n+2)＞0 ，即f （n+1）＞f （n ），n=1，2，…，所以 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 为T 点列；（Ⅱ）由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，a n+1−a n )，j =(0，1) ，所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a n+1−a n ，因为{A n }为T 点列，所以f （n+1）-f （n ）=a n+2-a n+1-（a n+1-a n ）＞0，n=1，2，⋅⋅⋅，又因为a 2＞a 1，所以a 2-a 1＞0，所以对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ，又 |A k A k+1|2=1+(a k+1−a k )2，|A k A k+2|2=4+(a k+2−a k )2，|A k+1A k+2|2=1+(a k+2−a k+1)2 ，所以 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ，所以∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角，由余弦定理可得， cos∠A k A k+1A k+2=|A k+1A k+2|2+|A k A k+1|2−|A k A k+2|22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|= 2a k+12−2a k+1a k −2a k+1a k+2+2a k+2a k −22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1| =2(a k+1−a k )(a k+1−a k+2)−22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|＜0 ，故∠A k A k+1A k+2为钝角，所以△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）由正整数k ，l ，m 满足k ＜l ＜m ，则m≥3，因为{A n }为T 点列，由（Ⅱ）知a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅，所以a m+k -a m+k-1＞a m+k-1-a m+k-2， a m+k-1-a m+k-2＞a m+k-2-a m+k-3， ••••••a m+1-a m ＞a m -a m-1，两边分别相加可得a m+k -a m ＞a m+k-1-a m-1，所以a m+k-1-a m-1＞a m+k-2-a m-2＞a l -a l-k ，则a m+k -a m ＞a l -a l-k ，所以a m+k -a l ＞a m -a l-k ，又 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m +k −l ，a m+k −a l )，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −l +k ，a m −a l−k ) ，所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ，所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ＞A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．。

北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)

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12．已知��(8,0),��(0,6),��(0,0) ,则��的外接圆的方程是
.
【答案】(�� ‒ 4) + (�� ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(�� ‒ 4) + (�� ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
��1、��2为邻边作菱形，由��1��2与��1 + ��2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |��1��2| ≥ |��1 + ��2|,所以��1、��2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |��| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ �� ≤ 2，则实数��的最大值是 2 2
向量中与��1��相等的向量是
A. ‒ �� + �� + ��
1 2
1 2
B. �� + �� + �� ‒ �� + �� 2 2

2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件北京市朝阳区2020〜2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合4 =卜52-工一2<0}, B = {-1,0,123},则AA8 =【答案】B3sin( -- x)=」，贝ij sin2A-(2 5【答案】C4.如图，在aABC 中，。

是BC 的中点,若= = （【答案】c51加>11西'是“3°>3g 的（） B. {TO 』,2}C. {0,1,2}D. {0,123}12A.— 25n24 B.— 25c 24 D. 一一25【答案】B3.己知〃 =2-，b = log?!，c ~ a ，贝 Ij(J£ DA. a>b>cB. a>ohC. c>a>bD. c>b> aA- 3a-2bB. a-2bD.C.充分必要条件【答案】A6.已知函数/(x)=弓sin — (刃＞ 0)的图象与直线尸1的相邻两个交点间的距离等于冗,贝力/U) 的图象的一条对称轴是() 乃九冗A. x =---- B. x =—C. x =---12123【答案】D7.在aABC 中，AB=4, AC=3,且I 而+/1=19一正I,则CX =( A. -12B. -9C. 9【答案】B1 38.己知,ZU)是定义在R 上的偶函数，且当X £(-8, 0]时，/(工)=2'+ —，则/(1(^2二)=()3 2 1711 A. —B. 1C. -D.—27 11【答案】B9.己知函数/*•) =「+ 7'若存在实数叽使得/(〃?)= 2/一4。

2020.1北京市朝阳区高二数学(上)期末试卷答案

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ，所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥．又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以POAD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以PA PD==2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A，B ，(C -，(0,0,1)P ，(D -所以1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角，所以二面角--A PB C 的余弦值是3-．…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为……………………………………………………10分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，，设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离，所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -．所以2a =．又因为离心率2c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244.9m x x x x -+==由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分（ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++，两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+．解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-，所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。

2020-2021学年北京市朝阳区初二数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市朝阳区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235a a a ⋅= B ．325()a a = C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷=3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．（3分）下列因式分解变形正确的是( ) A ．22242(2)a a a a -=- B ．2221(1)a a a -+=- C ．24(2)(2)a a a -+=+- D ．256(2)(3)a a a a --=--5．（3分）把分式方程11122xx x--=--化为整式方程正确的是( ) A ．1(1)1x --=B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=-6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 之间的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上两点C ，D ，使BC CD =，再画出BF 的垂线DE ，使点E 与A ，C 在同一条直线上，这时，可得ABC EDC ∆≅∆，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定ABC EDC ∆≅∆最直接的依据是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．（3分）如图，在33⨯的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的ABC ∆为格点三角形，在图中与ABC ∆成轴对称的格点三角形可以画出( )A．6个B．5个C．4个D．3个8．（3分）nm，1m n+，1n都有意义，下列等式①22n nm m=；②111m n m n=++；③22n nm m=；④22n nm m+=+中一定不成立的是()A．②④B．①④C．①②③④D．②二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）分解因式：328x x-=．10．（3分）若分式21a+有意义，则a的取值范围是．11．（3分）若20a b-=，且0b≠，则分式a ba b+-的值为．12．（3分）如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为．13．（3分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC CD DE==，点D，E可在槽中滑动．若75BDE∠=︒，则CDE∠=︒．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,0)，若点A在第一象限内，且AB OB=，60A∠=︒，则点A到y轴的距离为．15．（3分）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中， ①可以四个角都是锐角； ②至少有两个角是锐角； ③至少有一个角是钝角； ④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是．16．（3分）一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为．三、解答题（本题共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分） 17．（5分）计算：3232()a a a a ⋅+-÷． 18．（5分）计算：21211xx x ---． 19．（5分）解方程：31(1)(2)1xx x x +=-+-． 20．（5分）已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．（5分）如图，在ABC ∆中，AB AC BC >>，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得AMN ∆与PMN ∆全等，以下是甲，乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线投AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作//PM AC ，交AB 于点M ，过点P 作//PN AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．（5分）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．（5分）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？ 24．（5分）已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且0m n >>．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．（5分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求MAN ∠和MBC ∠的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时， ①依题意补全图2； ②探究是否存在点P ，使得3BMBN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不存在，说明理由．26．（7分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB AC >时，C B ∠>∠．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线． ①如图1，若AB AC =，则BAD CAD ∠=∠；②如图2，若AB AC ≠，当AB AC >时，BAD ∠ CAD ∠．（填“>”，“ <”，“ =” ) 证明：AD 是BC 边上的高线，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．90BAD B ∴∠=︒-∠，90CAD C ∠=︒-∠． AB AC >，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．BAD ∴∠ CAD ∠．（2）在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线． ①如图1，若AB AC =，则BAD CAD ∠=∠；②如图3，若AB AC ≠，当AB AC >时，BAD ∠ CAD ∠．（填“>”，“ <”，“ =” ) 证明：参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：第一个图形可以看作轴对称图形；第二个图形不可以看作轴对称图形；第三个图形可以看作轴对称图形；第四个图形不可以看作轴对称图形；故选：B ．2．【解答】解：A 、235a a a ⋅=，故此选项正确；B 、326()a a =，故此选项错误；C 、2336(2)8ab a b =，故此选项错误；D 、223344a a ÷=，故此选项错误；故选：A ．3．【解答】解：设多边形的边数为n ，由题意得，(2)1802360n -⋅︒=⨯︒，解得6n =，所以，这个多边形是六边形．故选：D ．4．【解答】解：选项A 提取公因式不彻底，2242(2)a a a a -=-，故A 错误；2221(1)a a a -+=-，故选项B 正确；224(4)(2)(2)(2)(2)a a a a a a -+=--=-+-≠+-，故选项C 错误； 256(6)(1)(2)(3)a a a a a a --=-+≠--，故选项D 错误．故选：B ．5．【解答】解：方程变形得：11122xx x -+=--，去分母得：1(1)2x x +-=-，故选：D ．6．【解答】解：因为证明在ABC EDC ∆≅∆用到的条件是：BC CD =，90ABC EDC ∠=∠=︒，ACB ECD∠=∠（对顶角相等），所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．7．【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与ABC∆成轴对称．故选：A．8．【解答】解：由nm，1m n+，1n都有意义，可得0m≠，0m n+≠，0n≠，当0m n=≠时，①221n nm m==，④212n nm m+==+，因此①④可能成立，故①④不符合题意；根据分式的基本性质可得22n nm m=，因此③不符合题意；若111m n m n=++成立，则有2()m n mn+=，即220m mn n++=，关于m的一元二次方程220m mn n++=的根的判别式△2224130n n n=-⨯⨯=-<，因此不存在这样的m、n的值使原式成立，故②一定不成立，因此，一定不成立的只有②，故选：D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【解答】解：328x x-，22(4)x x=-，2(2)(2)x x x=+-．10．【解答】解：分式21a+有意义，10a∴+≠，解得1a≠-．故答案为：1a ≠-．11．【解答】解：20a b -=，且0b ≠， 2b a ∴=，则分式2332a b a a aa b a a a++===----．故答案为：3-．12．【解答】解：①两个阴影部分正方形的面积和为：22a b +， ②两个阴影部分正方形的面积和为：2()2a b ab +-，∴可以得到等式222()2a b a b ab +=+-，故答案为：222()2a b a b ab +=+-． 13．【解答】解：OC CD DE ==， O CDO ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠， 2DCE O CDO O ∠=∠+∠=∠， 2DEC O ∴∠=∠，2375BDE O DEC O ∴∠=∠+∠=∠=︒， 25O ∴∠=︒，50DCE DEC ∴∠=∠=︒， 80CDE ∴∠=︒，故答案为：80．14．【解答】解：如图，过A 作AC OB ⊥于C ．点B 的坐标为(2,0)， 2OB ∴=．AB OB =，60OAB ∠=︒， AOB ∴∆是等边三角形， AC OB ⊥，112OC CB OB ∴===，∴点A 到y 轴的距离为1．故答案为：1．15．【解答】解：①一个四边形的四个内角，不可以四个角都是锐角，原来的结论错误； ②一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误； ③一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误； ④一个四边形的四个内角，最多有三个角是钝角是正确的．故答案为：④．16．【解答】解：设三角形三边分别为a ，b ，c ，第三条高为h ，面积为S ，则24S a =，212S b =，2Sc h=， a b c a b -<<+，∴22222412412S S S S Sh -<<+，解得：36h <<，故4h =或5，故答案为：4或5．三、解答题（本题共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分） 17．【解答】解：原式462()a a a =+-÷ 462a a a =-÷ 44a a =- 0=．18．【解答】解：原式12(1)(1)(1)(1)x xx x x x +=-+--+ 12(1)(1)x xx x +-=+-1(1)(1)xx x -=+-11x =-+． 19．【解答】解：方程两边同乘(1)(2)x x -+，得3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，解得：1x =，检验：当1x =时，(1)(2)0x x -+=，故1x =不是原分式方程的解，则原分式方程无解．20．【解答】解：2(23)(3)(21)x x x ---+ 224129263x x x x x =-+--++ 22712x x =-+，当2277x x -=时，原式71219=+=． 21．【解答】解：（1）两人都正确，故选A ．（2）甲：如图1中，MN 垂直平分线段PA ，MA MP ∴=，NA NP =，在AMN ∆和PMN ∆中， MA MP NA NP NM NM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()AMN PMN SSS ∴∆≅∆．乙：如图2中，//PM AC ，//PN AB ，∴四边形AMPN 是平行四边形，AM PN ∴=，PM AN =，在AMN ∆和PMN ∆中，AM PN MN NM AN PM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AMN PNM SSS ∴∆≅∆．22．【解答】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，//DE AC ，CAD ADE ∴∠=∠， BAD ADE ∴∠=∠，AE DE ∴=，AD DB ⊥，90ADB ∴∠=︒，90EAD ABD ∴∠+∠=︒，90ADE BDE ADB ∠+∠=∠=︒， ABD BDE ∴∠=∠，DE BE ∴=，E ∴为AB 的中点．23．【解答】解：设某列高铁全速行驶速度为每秒x 千米，则第二宇宙速度是每秒112x 千米，由题意得：5601050112x x=-，解得：0.1x =，经检验，0.1x =是原方程的解，则11211.2x =，答：第二宇宙速度是每秒11.2千米．24．【解答】解：（1）22a m n =+，2b m =，c mn =，且0m n >>， 222m n m mn ∴+>>，a b c ∴>>；（2）0m n >>，2mn n ∴>，222m mn m n ∴+>+，a ∴，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．【解答】解：（1）如图，连接AP ．90C ∠=︒，CA CB =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒， M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，PAC NAC ∴∠=∠，PAB MAB ∠=∠，45ABP ABM ∠=∠=︒， 2()90MAN PAC PAB ∴∠=∠+∠=︒，454590MBC ∠=︒+︒=︒．（2）①图形如图2所示．②存在．设CP CN x ==，则2BN x =-或2x -，2BM PB x ==+， 3BMBN =， ∴232x x +=-或232x x +=-， 1x ∴=或4．1PC ∴=或4．26．【解答】（1）①证明：AD 是BC 边上的高线，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．90BAD B ∴∠=︒-∠，90CAD C ∠=︒-∠．AB AC =，C B ∴∠=∠，BAD CAD ∴∠=∠． ②解：AD 是BC 边上的高线，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．90BAD B ∴∠=︒-∠，90CAD C ∠=︒-∠．AB AC >，C B ∴∠>∠（在同一个三角形中，大边对大角）． BAD CAD ∴∠>∠．故答案为：C B ∠>∠，>；（2）①证明：延长AD 至E ，使ED AD =，连接CE ，如图1所示：AD是BC边上的中线，∴=，BD CD又ADB EDC∠=∠，∴∆≅∆，ABD ECD SAS()∴∠=∠，AB ECBAD E=，=，AB AC∴=，EC ACCAD E∴∠=∠，∴∠=∠；BAD CAD②解：延长AD至E，使ED AD=，连接CE，如图3所示：同①得：()∆≅∆，ABD ECD SAS∴∠=∠，AB ECBAD E=，>，AB AC∴>，EC AC∴∠>∠，CAD E∴∠<∠，BAD CAD故答案为：<．。

北京市朝阳区2022-2022学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)

【分析】
根据等比数列定义可证得，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果.
【详解】假设数列为等比数列，公比为，那么
为等比数列，充分性成立
设数列的通项公式为为等比数列，公比
假设数列为：，满足，但不是等比数列
必要性不成立
“数列为等比数列〞是“数列为等比数列〞的充分而不必要条件
〔3〕取的中点为，根据垂直关系可以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】〔1〕四边形为矩形
平面，平面平面
〔2〕平面平面，平面平面，平面，
平面
平面
〔3〕取的中点为，取的中点为，连接，那么
平面
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如以下列图所示
【详解】设等比数列公比为，那么，解得：
故答案为：
【点睛】此题考查等比数列通项公式根本量计算，属于根底题.
14.某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积为_________.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
由三视图复原几何体得到四棱锥的直观图，从而确定几何体的高和最大侧面；利用棱锥体积公式和三角形面积公式求解即可得到结果.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以由得，令，那么，由得时取最小值，又，所以的最大值为
考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立
三、解答题:本大题共4小题,共70分.解容许写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17.数列是递增的等差数列，，且成等比数列.
〔1〕求数列的通项公式；

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为（用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是（只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为，线段AE 的长为，图中阴影部分面积为．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）．（1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒．求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上．作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x 人数班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面解析几何

2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何一．选择题（共18小题）1．（2020秋•倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为( )A ．B ．2C D3．（2020秋•丰台区期末）若关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解，则(a = )A ．2BC ．1D ．24．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，那么点P 到y 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020秋•东城区期末）与圆22(1)5x y +-=相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．26．（2020秋•石景山区期末）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020秋•海淀区期末）抛物线2y x =的准线方程是( ) A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-8．（2020秋•通州区期末）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x =9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =．若水面下降5m ，则水面宽是( )（结果精确到0.1)m 1.41≈ 2.24 2.65)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（2020秋•西城区期末）已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为( )A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12y x =±12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||(PM = )A B ．5C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则点A 到y 轴的距离为( )A ．5B ．4C ．3D ．215．（2020秋•海淀区期末）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-16．（2020秋•昌平区期末）已知直线1y kx =+与圆2240x x y -+=相交于M ，N 两点，且||23MN ，那么实数k 的取值范围是( ) A ．143k --B ．403kC ．0k 或43k -D ．403k -17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,[22,)-∞-+∞18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．二．填空题（共10小题）19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>，ABC ∆为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，则双曲线M 的离心率为．20．（2020秋•海淀区校级期末）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，A ．①若点P 在双曲线右支上，则||||AP PF +的最小值为； ②若点P 在双曲线左支上，则||||AP PF +的最小值为．21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是．22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m = ；若点A 在抛物线上，且||3AF =，则点A 的坐标为．23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为45︒，则OAB ∆的面积为．24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是，则C 的标准方程为；C 的焦点到其渐近线的距离是．25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线2212y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为；12||||MF MF -= ．26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为．27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△12AF F 为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF ∆的周长最大．其中，所有真命题的序号为．28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，那么该双曲线的离心率为．三．解答题（共9小题）29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB ∆的面积． 30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且||4AB =，椭圆C 离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l ．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅰ）直线AB 与x 轴交于点(,0)M m ，过点M 作不垂直于坐标轴且与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别交直线x m =于P ，Q 两点，求证：||||PM MQ 为定值．33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，且经过点(0,1)D ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点(G E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ．求证：||||||||TA GA TB GB =．35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，且经过点C ．（Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅰ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ．若ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大D 的坐标．36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为13的直线l 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，线段CD 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 交于E ，F ，证明：||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断||||AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何参考答案一．选择题（共18小题）1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在y 轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a =，2b =，c =所以双曲线的标准方程为22144y x -=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．2．【分析】过点D 作DC AF ⊥于点C ，易知C 为AF 的中点，从而有||2a cCF +=，由点到直线的距离公式可知||DF b =，再由||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∠==，代入相关数据，进行运算即可．【解答】解：过点D 作DC AF ⊥于点C ，||||DF DA =，∴点C 为AF 的中点，1||||22a cCF AF +∴==，而点(,0)F c -到渐近线b y x a =-的距离为||||bc DF b ==， ||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∴∠==，即2a cbc b +=，222()22()c a c b c a ∴+==-，即2220c ac a --=，2c a ∴=或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．【分析】由方程组无解得到直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行，再由直线与直线平行的性质能求出a ．【解答】解：关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解， ∴直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行， ∴21421a =≠，解得1a =．故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】由抛物线的方程即可求出p 的值，再由抛物线的定义即可求解．【解答】解：由抛物线的方程可得：2p =，又由抛物线的定义可知点P 到F 的距离等于点P 到抛物线的准线的距离，则点P 到y 轴的距离为||5142pPF -=-=，故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，求出PC 的斜率，由切线的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22(1)5x y +-=，其圆心为(0,1)，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，则211202PC K -==-，则切线的斜率2k =-，故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题． 6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，可得9A x =，则A 到y 轴的距离是：9．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．【分析】抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，由此可得抛物线2y x =的准线方程．【解答】解：抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，∴124p =， ∴抛物线2y x =的准线方程为14x =-．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键． 8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程是1x =-，故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，写出点A 的坐标，并将其代入方程，求得t 的值，再令30y =-，解出x 的值即可．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =，∴点A 为(15,5)-，将其代入22y x t -=得，22(5)(15)t --=，解得400t =， 22400y x ∴-=，设水面下降5m 后，水面宽为CD ，此时点C 和D 的纵坐标均为30-，把30y =-代入22400y x -=，有2900400x -=，解得x =±44.8CD m ∴=≈．故选：B ．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】求出(1,0)到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可．【解答】解：点(1,0)到直线34120x y -+=3=，因为半径为2的圆经过点(1,0)，所以圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为：321-=．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题． 11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，b =，其渐近线的方程为：y =．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 12．【分析】根据条件求出P 的纵坐标，进而求解结论．【解答】解：P 是C 上一点．且||4PF =，413P PD x x ∴==+⇒=代入24y x =得212Py =，PM ∴===故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．13．【分析】由直线l 过定点圆C 的圆心，可知直线与圆相交．【解答】解：直线:1l y kx =+过点(0,1)P ，而(0,1)P 是圆22:(1)4C x y +-=的圆心，∴直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是相交．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．14．【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4AD =，即可得到答案．【解答】解：焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，则BCE ACD ∆∆∽，所以13BC BE BF AC AD AF ===，记BC x =，则3AC x =，因为||3||AF FB =，所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==，因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点，所以24AD FG ==，即点A 到y 轴的距离为432p-=．故选：C ．【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值．【解答】解：直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，∴直线AB 的斜率为21121+=+，若//l AB ，则11a-=，求得1a =-，故选：B ．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．16．【分析】当弦长||MN =利用弦长公式求得弦心距1d =，故当||23MN ，则1d ，由此求得k 的范围．【解答】解：当弦长||MN =1d = 若||23MN ，则1d ，即圆心(2,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，求得4[3k ∈-，0]，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．17．【分析】根据奇函数对称性得出A ，C 关于原点对称，于是||1PB =，从而直线l 与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k 的范围．【解答】解：3()f x x =和y mx =都是奇函数，B ∴为原点，且A ，C 两点关于原点对称．∴原点O 为线段AC 的中点， ∴2PA PC PB +=，直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=， |||2|2||2PA PC PB PB ∴+===，||1PB ∴=．即P 为单位圆221x y +=上的点．∴直线:3l y kx =+与单位圆有交点， ∴1，解得22k 或22k -．故选：D ．【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．【分析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，利用△1O PF ≅△1O PQ 全等，得到1PF PQ =，当点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和最小时，即当P 为直线VM 与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在△1O PF 与△1O PQ 中，111O Q O F r ==，其中1r 为球1O 半径， 1190O QP O FP ∠=∠=︒，1O P 为公共边，所以△11O PF ≅△1O PQ ，所以1PF PQ =，设P 沿圆锥表面到达M 的路径长为d ，则1PF d PQ d PQ PR QR +=++=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，21416tan 30tan 30O R O Q QR VR VQ -=-=-===︒︒，故从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是6．故选：A ．【点评】本题以Dandelin 双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P 为直线VM 与椭圆的交点时取得最值．二．填空题（共10小题）19．【分析】易知，等边ABC ∆的边长为4a ，不妨取点B 为(2)a ，将其代入双曲线的方程可得a b =，再由e =【解答】解：双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，∴等边ABC ∆的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2)a ，将其代入双曲线M 的方程有，2222431a a a b-=，∴1ab =，离心率e ==．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．20．【分析】由题意知，(3,0)F ，①当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值；②设双曲线的左焦点为F '，由双曲线的定义可知，||||2PF PF '=+，当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值．【解答】解：由题意知，(3,0)F ，①||||||9AP PF AF +=，当且仅当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为9；②设双曲线的左焦点为(3,0)F '-，由双曲线的定义知，||||22PF PF a'-==，所以||||||||2||2211AP PF AP PF AF ''+=+++==，当且仅当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为11．故答案为：9；11．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 21．【分析】求出OA 的中点即为圆心，求出||OA 即为圆的半径，得到圆的方程与直线2y x =联立，求出点B 的坐标，即可得到直线AB 的方程．【解答】解：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，所以OA 的中点坐标为(2,0)，且||4OA =，所以以线段OA 为直径的圆的圆心为(2,0)，半径2r =，所以圆的方程为22(2)4x y -+=，联立方程22(2)42x y y x ⎧-+=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点B 在第一象限，所以48(,)55B ，又(4,0)A ，所以直线AB 的方程为8050(4)445y x --=--，即240x y +-=．故答案为：240x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题． 22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标．【解答】解：抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，可得14m=，解得4m =；点A 在抛物线24y x =上，且||3AF =，设点A 的横坐标为x ，则13x +=，2x =，把2x =代入抛物线方程，可得A的纵坐标为：±所以(2,A ±．故答案为：4；(2,±．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长||AB 的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =- 由题意设直线l 的斜率1y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：2610x x -+=，可得126x x +=，所以弦长12||628AB x x p =++=+=，原点O 到直线l的距离d =，所以11||822AOB S AB d ∆=⋅==故答案为：【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．24．【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2a =，3c =，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．【解答】解：双曲线C 的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是0)，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且a ，3c =，2963b ∴=-=，C ∴的方程为：22163x y -=．故其渐近线为y =，即0x ±=，C ∴的焦点到其渐近线的距离为：d ==故答案为：22163x y -=【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到12||||MF MF -．【解答】解：双曲线2212y x -=的渐近线方程为：y =，双曲线的焦点坐标(，0)，M 在双曲线上，所以12||||22MF MF a -=-=-，故答案为：y =；2-．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题． 26．【分析】利用离心率求出a ，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，54=，解得4a =，则5c =，所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)．故答案为：(5,0)．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．27．【分析】当0m =时，12F AF ∠最大，求出△12AF F 为等腰直角三角形即可判断①；求出1ABF ∆为等腰直角三角形时，m 的值，即可判断②；利用椭圆定义可得1ABF 的周长最大值，结合m 的取值范围即可判断③．【解答】解：由方程知4a =，b =c ，当0m =时，12F AF ∠最大，此时122145AF F AF F ∠=∠=︒，所以12F AF ∠的最大值为90︒，又12AF AF =，所以△12AF F 为等腰直角三角形，即存在唯一一个0m =，使得△12AF F 为等腰直角三角形，故①正确；当0m =时，1245AF F ∠=︒，由椭圆的对称性可得121245BF F AF F ∠=∠=︒，11AF BF =，所以190AF B ∠=︒，此时1ABF ∆为等腰直角三角形，当0m ≠时，若1ABF ∆为等腰直角三角形，则4m -<<-，此时点A 的坐标为(,m m --，代椭圆方程，解得(4,m =--，故当0m =或1ABF ∆为等腰直角三角形，故②错误；由椭圆的定义得，1ABF ∆的周长11||||||AB AF BF =++ 2222||(2||)(2|)4||||||AB a AF a BEF a AB AF BF =+-+-=+--，因为22||||||AF BF AB +，所以22||||||0AB AF BF --，当AB 过点2F 时取等号，所以1122||||||4||||||4AB AF BF a AB AF BF a ++=+--，即直线x m =过椭圆的右焦点2F 时，1ABF ∆的周长最大，此时直线AB 的方程为x m c ===44m -<<，所以存在m ，使1ABF ∆的周长最大，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．28．【分析】由题意可得12b a =，即224a b =，结合222a b c +=，可得2254c a =，开方可得c e a=的值．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，故可得12b a =，即224a b =，又222a bc +=，故2224a a c +=，2254c a =，解得c e a ==【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．三．解答题（共9小题） 29．【分析】（Ⅰ，且经过点，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，得224()4x kx m ++=，由△0>，得2241k m +>，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由0OA AB ⋅=，推出OA AB ⊥，进而设直线OA 的方程为1y x k=-，联立直线AB 的方程得1y ，1x ，代入椭圆的方程可得22224(1)4k m k +=+，再计算222222144(1)||(41)(4)k k AB k k +=++，2224(1)||4k OA k +=+，进而可得22222||369||(41)4AB k OA k ==+，解得214k =，进而可得OAB ∆的面积213||||||24S OA AB OA ==，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =，∴椭圆方程为2214x y +=．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立y kx m =+与2244x y +=，得224()4x kx m ++=， 222(41)8440k x kmx m ∴+++-=，∴△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，即2241k m +>，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，因为0OA AB ⋅=，所以OA AB ⊥，设直线OA 的方程为1y x k =-，联立直线AB 的方程得121m y k =+，1121kmx ky k -=-=+，代入221144x y +=，所以222()4()411km m k k -+=++，化简得22224(1)4k m k +=+，所以2222222222224(1)(41)(4)4(1)94141444k k k k k k m k k k k +++-++-=+-==+++，所以||AB =，所以2222222222216(1)(41)144(1)||(41)(41)(4)k k m k k AB k k k ++-+==+++，所以2222222112224(1)||()(1)()114m m k OA ky y k k k k +=-+=+==+++，所以22222||369||(41)4AB k OA k ==+，得22216(41)k k =+，解得214k =，此时222224(1)2541417k m k k +==<++，满足△0>，由22214(1)4(1)204||141744k OA k ++===++，所以OAB ∆的面积2113315||||||||||222417S OA AB OA OA OA ==⨯==．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得a ，b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）分两种情况①若直线l 的斜率不存在时，②若直线l 的斜率存在时，直线AM ，BN 的交于点Q ，是否早定直线4x =上．【解答】解：（Ⅰ）因为||4AB =，椭圆C 离心率为12，所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（Ⅰ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为(1,0)，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是3(1,)2，点N 的坐标是3(1,)2-．所以直线AM 的方程是1(2)2y x =+，直线BN 的方程是3(2)2y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是(4,3)．所以点(4,3)在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为(1)y k x =-．联立方程组22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，显然△0>．不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+．所以直线AM 的方程是11(2)2y y x x =++．令4x =，得1162y y x =+．直线BN 的方程是22(2)2y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以12121212121212626(1)2(1)6(1)(2)2(2)(1)2222(2)(2)y y k x k x k x x k x x x x x x x x -----+--=-=+-+-+- 1212122112126(1)(2)2(2)(1)2[3(22)(22)]k x x k x x k x x x x x x x x ---+-=--+--+- 12122[25()8]k x x x x =-++22222(412)582[8]3434k k k k k -⨯=-+++22228244024322()034k k k k k --++==+．所以点Q 在直线4x =上．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以1b =，22311a b +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l的距离d ==，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =，又因为椭圆经过点1)2，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=，（Ⅰ）证明：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由题意，△22222(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l，所以d ==即2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 32．【分析】（Ⅰ）把点A ，B 的坐标代入椭圆方程，求出a ，b 的值，即可得到椭圆W 的方程；（Ⅰ）先求出m 的值，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，与椭圆方程联立，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理得到22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，再求出点P ，Q 的纵坐标，得到||||PM MQ 的表达式，把上式代入化简，即可得到||||PM MQ 为定值1．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点，得2b =，29114a +=，所以212a =．所以椭圆W 的方程为221124x y +=．（Ⅰ）(0,2)A ，(3,1)B --，∴直线AB 的方程为：2y x =+，令0y =得：2m =-，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，由22(2),1124y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)1212120k x k x k +++-=，且△0>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，记直线AC 的方程为1122y y x x --=，令2x =-，得P 点的纵坐标11(22)(2)P k x y x -+=，记直线BD 的方程为2211(3)3y y x x ++=++，令2x =-，得Q 点的纵坐标22(1)(2)3Q k x y x -+=+，112122122212212121212112221221(22)(2)2(3)(2)||||||||(1)(2)||(2)31212122412224()1221313||||1212221312122(13)|| 1.12122(13)PQ k x y x x x PM k x MQ y x x x k k x x x x x x k k k x x x x k k k x k k x -+++===-+++--⨯+⨯++++++++==-+++-++==-++ 所以||||PM MQ 为定值1．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题． 33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，求出M ，N 的坐标，然后求解AM AN k k +．的表达式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知1b =，c e a = 又222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则△216(112)0k =->，解得k <．(*) 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =，k =(*)式矛盾，所以11x ≠-．同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ．因为121211AM AN y yk k x x +=+++ 121212(4)(4)3321111k x k x k kk x x x x ++=+=++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++ 222222323(2)1426443211414k k k k k k k k -++=+--++++ 223(242)20363k k k k -+=+=-，所以AM AN k k =-．所以BAM OAN ∠=∠．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．34．【分析】（Ⅰ）由题意及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅰ）由题意开始直线l 的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G ，E 的坐标，由题意可得G ，E 用直线的参数表示的坐标，进而求出||||TA TB 与||||GA GB 的表示，可证得||||||||TA GA TB GB =．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222212a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=，由题意可得△0=，即22226416(34)(3)0k m k m -+-=，解得：2234m k =+ 设1(G x ，0)，0(E x ，0)y 则1m x k =-，024434km kx k m-==-+，因为ET x ⊥轴，所以4(kT m-，0)， 4|2||||42||2|4|||24||2||2()|k TA k m m k m k TB m k m k m -+-+-===++--，又因为|2||||2||||2||2|m GA m k k m GB m k k-+-==++，所以可证：||||||||TA GA TB GB =．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题． 35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；（Ⅰ）根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =，c =故椭圆的方程为：221164x y +=，且长轴长为28a =；（Ⅰ）因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB （不包括端点）上，由（Ⅰ）可知(4,0)A -，(4,0)B ，所以AOC ∆的面积为142⨯=因为ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ ∆的面积等于BDQ ∆的面积，所以OCB ∆的面积等于BCD ∆的面积，所以//OD BC ，设(,)D m n ，0n <，则n m ==，因为点D 在椭圆W 上，所以221164m n +=，解得2m =，n = 所以点D的坐标为(2,．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 36．【分析】()I利用离心率为3，且过(0,1)点，列出方程组求解a ，b ，得到椭圆方程． ()II 设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠，由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=，通过△0>，推出m 的范围，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理，求直线OM 的方程，与椭圆联立，求解E 、F ，利用弦长公式，计算证明即可．【解答】()I解：根据题意：2222311c a a b a c b b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎪⎩（4分）所以椭圆G 的方程为2219x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()II 证明：设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）即2226990x mx m ++-=，需△22368(99)0m m =-->即202m <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，CD 中点0(M x ，0)y ，则123x x m +=-，2129(1)2x x m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）12000311,2232x x x m y x m m +==-=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）那么直线OM 的方程为：00y y x x =即13y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）由22191232x x y y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，不妨令(E F ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）那么221212111||||||(1)[()4]449MC MD CD x x x x ⋅==++-2259[(3)4(1)]182m m =--⋅-25(2)2m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）||||ME MF ⋅=25(2)2m -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）所以||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为12．求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． ()II 直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出||AB ，求出AB 中点坐标，通过（1）当0k =时，所以||4||AB DF =．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到||DF ，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意24a =，2a =，离心率为12，1c =，则23b =，（4分）故椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） ||()||AB II DF 是定值．（6分）理由如下：由已知得直线:(1)l y k x =-，（7分）代入椭圆方程22143x y +=，消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，（8分）所以△22222(8)4(43)(412)1441440k k k k =--+-=+>，（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，（10分）所以2222221211212||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++-。

北京市朝阳区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

北京市朝阳区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷(共10题；共20分)1．（2分）（2021高二上·朝阳期末）点（ 1 ， 1 ）到直线x −y −1=0的距离是（）A ．12B ．√22C ．1D ．√2【答案】B【解析】【解答】由点到直线距离公式得d =|1−1−1|√12+(−1)2=1√2=√22。

故答案为：B【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式，从而求出点（ 1 ， 1 ）到直线x −y −1=0的距离。

2．（2分）（2021高二上·朝阳期末）-2与-8的等差中项是（）A ．-5B ．-4C ．4D ．5【答案】A【解析】【解答】-2与-8的等差中项是−2−82=−5。

故答案为：A【分析】利用已知条件结合等差中项公式，从而求出-2与-8的等差中项。

3．（2分）（2021高二上·朝阳期末）已知直线l 过点（ 0 ， 1 ），且与直线x −2y +2=0垂直，则直线l 的方程是（） A ．x +2y +1=0B ．2x +y +1=0C ．x +2y −1=0D ．2x +y −1=0【答案】D【解析】【解答】因为直线l 与直线x −2y +2=0垂直，所以设直线l 方程为2x +y +m =0，因为直线l 过点（ 0 ， 1 ），所以1+m =0，得出m =−1，所以直线l 方程为2x +y −1=0。

故答案为：D【分析】利用直线l与直线x−2y+2=0垂直，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而设出直线l 的方程为2x+y+m=0，再利用直线l过点（ 0 ， 1 ），从而结合代入法得出m的值，进而求出直线l的方程。

4．（2分）（2021高二上·朝阳期末）已知函数f(x)=lnx x，则f′(x)=（）A．1−lnxx2B．1+lnxx2C．lnx+1x D．lnx−1x【答案】A【解析】【解答】因为f(x)=lnx x，所以f′(x)=1x⋅x−1⋅lnxx2=1−lnxx2，即f′(x)=1−lnxx2。

北京市朝阳区2020-2021学年高三上学期期末地理试题(解析版)

北京市朝阳区2020—2021学年度第一学期期末质量检测高三年级地理试卷（考试时间90分钟满分100分）本试卷共7页。

考生务必将答案答在答题卡上。

一、选择题（共15小题，每小题3分，共计45分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）2020年11月24日4时30分，嫦娥五号在海南文昌成功发射。

12月1日23时11分，嫦娥五号成功着陆月球风暴洋。

12月17日1时59分, 载有1731克月球土壤样品的返回器在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆。

据此完成下面小题。

1. 嫦娥五号（）A. 发射时海参崴（131°53′E,43°07′N）已日出B. 返回器着陆之日，文昌较四子王旗的白昼时间短C. 发射至着陆月球的时段，北京正午太阳高度变小D. 发射至返回器着陆四子王旗期间经过了两个节气2. 月球土壤样品可（）A. 直接用于栽种优质作物B. 用于分析月球矿产资源C. 用于研究月球海洋水文D. 用于分析月球圈层结构【答案】1. C 2. B【解析】【分析】【1题详解】由题可知，嫦娥五号发射是为北京时间11月24日4时30分，为东八区的区时。

根据时间计算东加西减、一度差4分钟原则，海参崴（131°53′E,43°07′N）的时间约为11月24日5时18分，而此时太阳直射南半球，北半球日出时间应在6点之后，A错误。

返回器着陆时间为12月17日，此时太阳直射南半球，北半球越往北昼越短，文昌纬度比四王子旗低，昼较长，B错误。

发射至着陆月球的时段为11月24日至12月1日，此时间段太阳直射点直射南半球并向南运动，北京正午太阳高度一直在减小，C正确。

发射至返回器着陆期间，经过了大概7天左右，而每个节气大概15天，D错误。

故选C。

【2题详解】由题可知，月球土壤样品仅1731克，不可能直接用于载种作物，A错误。

月壤样品可用于分析月球的矿产资源，而无法分析月球的圈层结构和海洋水文，B正确，C、D错误。

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y x =、2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数. 故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=，则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（）A ．ACB ．CAC ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（）A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=，解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2，故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可．【详解】若1a >，则0a >成立，若0a >，无法推出1a >，故1a >是0a >的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（） A ．22B ．23C ．6D ．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin 226sin sin sin 2a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣C ．{0x x <∣或1}x >D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1，则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2C ．a ＜b ＜2D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（）A ．3B ．32C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则2··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =，所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1；故选：C二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）．【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________．【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α．其中所有真命题的序号是________．【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确；对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误，故答案为：①②三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________．【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2.四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为．【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π．（2）因为02x π，所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-；当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．④ A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0 ⑤ A ．1 B ．3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点．（1）求证：DE ∕∕平面AOB ；（2）求证：AB ⊥平面OCF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）D ，E 分别为AC ，BC 的中点，得DE AB ∕∕，从而证明DE ∕∕平面AOB ；（2）OA ，OB ，OC 两两互相垂直，得：OC ⊥平面AOB ，从而得出OC AB ⊥，由题易知AB OF ⊥从而证明AB ⊥平面OCF ．【详解】解：（1）在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点，所以DE ∥AB ．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．【答案】（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n 的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

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北京市朝阳区2020-2021学年高二第一学期期末质量检测试题数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式(2)0x x -<的解集是( ) A ．{}02x x << B ．{}0x x >C ．{}2x x < D ．{|0x x <或}2x <2．已知1≥x ，则当4x x+取得最小值时，x 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为( )A ．9B ．6C ．5D ．34．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22184x y +=B ．221164x y +=C ．221816x y +=D ．221168x y +=5．若a ，b ，c 向量不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．b c -，b ，b c + B ．a b +，c ，a b c ++ C ．a b +，-a c ，cD ．a b -，a b +，a6．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m l ⊥的所有序号是( )①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ；②,//,//m l αβαβ⊥；③,,//m l αβαβ⊂⊥；④,//,m l αβαβ⊂⊥A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．③④7．已知0mn >，21+=m n ，则12+m n的最小值是( ) A ．4B ．6C ．8D ．168．已知数列{}n a 和{}n b 满足n n b a =，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．[2018·亳州一模]经过双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为60︒的直线l ，若l 交双曲线M 的左支于,A B ，则双曲线M 离心率的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．(D ．)+∞10．已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123S S S 的最大值是( )A ．14B ．92C ．9D ．18二、填空题11．双曲线2214x y -=的渐近线方程________．12．抛物线y 2=2x 的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 13．已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4a =_________. 14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.15．若不等式222()x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．三、双空题16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积为_________.四、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若12n n n c a a +=，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .已知PA PD AB ==，90APD ∠=.（1）证明：//AD 平面PBC ；（2）证明：AB PD ⊥；（3）求二面角A PB C --的余弦值.19．已知抛物线22(0)y px p =>经过点(1,2). （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点. （ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求AOB ∆的面积；（ⅱ）当3FA FB =时，求直线l 的方程.20．已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b 的离心率为2，直线20x y ++=经过椭圆C 的左顶点A .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+（0k ≠）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k =MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.参考答案1．A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解得到结果. 【详解】根据一元二次不等式的解法可知不等式()20x x -<的解集为{}02x x << 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解问题，属于基础题. 2．B 【分析】根据基本不等式的取等条件可求得结果. 【详解】44x x +≥=（当且仅当4x x =，即2x =时取等号）∴当4x x+取得最小值时，2x =故选：B 【点睛】本题考查基本不等式取等条件的确定问题，关键是明确可利用基本不等式求解函数最值. 3．D 【分析】根据双曲线中222+=a b c 可构造方程求得结果. 【详解】双曲线焦点为()5,0 21625a ∴+=，解得：3a = 故选：D 【点睛】本题考查根据焦点坐标求解双曲线方程的问题，关键是明确双曲线,,a b c 之间的关系.4．D 【分析】结合椭圆定义可知2ABF ∆的周长为4a ，由此求得a ；利用离心率可求得c ；根据椭圆222b a c =-可求得2b ，进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知：12122AF AF BF BF a +=+= 2ABF ∴∆的周长为4a 即416a =，解得：4a =c e a ==c ∴= 2221688b a c ∴=-=-= ∴椭圆C 的方程为221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题. 5．C 【分析】根据空间向量基本定理，结合向量共面的充要条件，依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】A 中，()2b c b b c -=-+ b c ∴-，b ，b c +三个向量共面，A 错误；B 中，()a b c a b c ++=++ a b ∴+，c ，a b c ++三个向量共面，B 错误；C 中，不存在实数,λμ，使得()a b a c c λμ+=-+成立a b ∴+，-a c ，c 三个向量不共面，C 正确； D 中，()()12a ab a b ⎡⎤=-++⎣⎦ a b ∴-，a b +，a 三个向量共面，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查向量共面的判断，涉及到空间向量基本定理的应用，关键是明确三个向量,,a b c 共面，则必然满足(),a b c R λμλμ=+∈. 6．A 【分析】根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又l β⊥ m l ∴⊥，①正确； m α⊥，//αβ m β∴⊥，又//l β m l ∴⊥，②正确；l β⊥，//αβ l α∴⊥，又m α⊂ m l ∴⊥，③正确；在如图所示的正方体中：11//A D 平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11ADD A ，此时1AD 与11A D 不垂直，④错误. 故选：A 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理. 7．C 【分析】利用()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()12124244448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号）12m n∴+的最小值为8 故选：C 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活应用“1”，配凑出符合基本不等式的形式. 8．A 【分析】根据等比数列定义可证得11n n n na b q b a ++==，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则11n n n na b q b a ++== {}n b ∴为等比数列，充分性成立设数列{}n b 的通项公式为2nn b = {}n b ∴为等比数列，公比2q若数列{}n a 为：2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅，满足12n na a +=，但{}n a 不是等比数列必要性不成立∴“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的充分而不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用；关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件. 9．B 【解析】由题意b a <，得22223bc a a =-<，所以2c a<，即离心率的范围是()1,2，故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．B 【分析】根据向量数量积为零可确定,,AC AB AD 两两互相垂直，从而将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，根据长方体外接球直径为体对角线长可得2229a b c ++=，利用基本不等式可求得9ab bc ac ++≤，进而求得面积之和的最值. 【详解】0,0,0AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅= ,,AC AB AD ∴两两互相垂直 ∴三棱锥A BCD -的外接球即为如下图所示的长方体的外接球设AD a =，AC b =，AB c = 3=，即2229a b c ++=22222218222a b c ab bc ac ∴++=≥++（当且仅当a b c ==时取等号）9ab bc ac ∴++≤ ()1231922S S S ab bc ac ∴++≤++= 即123S S S 的最大值为92故选：B 【点睛】本题考查几何体外接球相关问题的求解，关键是能够利用平面向量数量积等于零得到垂直关系，进而将问题转化为长方体外接球的问题，涉及到利用基本不等式求解最值；需明确长方体外接球的半径为体对角线长度的一半. 11．12y x =± 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为y=±b x a∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 12．(12,0)，x =−12.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是(12,0)，准线方程是x =−12，故填：(12,0)，x =−12. 考点：抛物线的标准方程及其性质. 13．16- 【分析】利用1a 和q 表示出234+=a a ，从而构造方程求得q ，利用等比数列通项公式可求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为()1q q ≠，则222311224a a a q a q q q +=+=+=，解得：2q =-34116a a q ∴==-故答案为：16- 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，属于基础题. 14．556【分析】利用1a 和d 表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果. 【详解】设5个数从小到大排列所成的等差数列为{}n a ，公差为d则()3451217a a a a a ++=+，5100S = ()111139275451002a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得：153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：556【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系. 15．4 【解析】试题分析：因为0x y >>，所以由222()x y cx y x -≤-得222()22()(1)x x y y c x x x y x y y --≤=--，令1x t y =>，则22()22()(1)(1)xt y g t x x t t y y--==--，由22242()0,1(1)t t g t t t t =-'+-=>得2t =()g t取最小值4，又min c ()g t ≤，所以c的最大值为4 考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立 16．16 10【分析】由三视图还原几何体得到四棱锥的直观图，从而确定几何体的高和最大侧面；利用棱锥体积公式和三角形面积公式求解即可得到结果. 【详解】由三视图可得四棱锥直观图如下图所示：其中四边形ABCD 为矩形，4AB PE ==，3AD =，PE ⊥平面ABCD∴四棱锥P ABCD -的体积113441633P ABCD ABCDV SPE -=⋅=⨯⨯⨯=由直观图可知侧面中最大的为PAB ∆，又PAB ∆中AB 5=145102PAB S ∆∴=⨯⨯=故答案为：16；10 【点睛】本题考查由三视图还原几何体、棱锥体积和侧面面积的求解问题；关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而确定几何体的高和最大侧面.17．（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）2122n n S n +=+-；（3）13.【分析】（1）利用1a 和d 表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得1a 和d ，根据等差数列通项公式得到结果；（2）由（1）可得n b ，采用分组求和的方式，分别对两组利用等差数列和等比数列求和公式，合并得到最终结果；（3）由（1）可得n c ，采用裂项相消的方法求得n T ，从而构造出关于n 的不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >由222153a a a a =⎧⎨=⎩得：()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩ ()1121n a a n d n ∴=+-=-（2）由（1）得：2212n nn n b a n =+=-+则123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+()23135212222nn =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()1211212222212n n n n n +++--=+=+--2122n n S n +=+-∴（3）由（1）得：()()1222121n n n c a a n n +==-+112121n n =--+1111121335212121n nT n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-++由2242125n n >+得：12n > n N *∈ ∴满足2425>n T 的n 的最小值为13 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算、分组求和法和裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列和等比数列前n 项和公式的应用；数列求和的关键是能够根据通项公式的具体形式，针对性的选择对应的方法. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）根据//AD BC 及线面平行判定定理可证得结论；（2）由面面垂直性质可证得AB ⊥平面PAD ，由线面垂直性质可证得结论；（3）取,AD BC 的中点为,O E ，根据垂直关系可以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）四边形ABCD 为矩形 //AD BC ∴BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC //AD ∴平面PBC（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， AB平面ABCD ，AB AD ⊥AB ∴⊥平面PADPD ⊂平面PAD AB PD ∴⊥（3）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥PA PD = PO AD ∴⊥ PO ∴⊥平面ABCD以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠= PA PD ∴==2AD =，1OP =()1,0,0A ∴，()B ，()C -，()0,0,1P ，()1,0,0D -则()1,1PB =-，()2,0,0BC =-，()1,0,1PD =-- 由（2）可知：AB PD ⊥90APD ∠= PA PD ∴⊥,AB PA ⊂平面PAB ，AB PA A ⋂= PD ∴⊥平面PAB PD ∴为平面PAB 的一个法向量设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =则020n PB x z n BC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，解得：0x =，z = (0,1,2n ∴=cos ,32PD n PD n PD n⋅∴<>===-⋅二面角A PB C --为钝角 ∴二面角A PB C --的余弦值是3-【点睛】本题考查立体几何中线面平行和线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19．（1）24y x =，1x =-；（2）（ⅰ）（ⅱ）)1y x =-.【分析】（1）将点()1,2代入抛物线方程可求得p ，进而得到结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y（i ）设直线:1l y x =-，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由OB OFA A OFB S S S ∆∆∆=+，整理得到AOB S ∆=（ii ）设直线():1l y k x =-，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由3FA FB =，结合抛物线定义得到1232x x =+，与韦达定理的结论联立后可求得k ，进而得到结果. 【详解】（1）抛物线22y px =过点()1,2 24p ∴=，解得：2p =∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-（2）由（1）知：()1,0F 设()11,A x y ，()22,B x y（i ）由题意得：直线l 的方程为1y x =-联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩得：2440y y --= 121244y y y y +=⎧∴⎨=-⎩1OF =，1212y y y y +=- ()1212111222OB OFA OFB A OF y OF y OF S y y S S ∆∆∆=⋅+⋅=⋅++∴=121122OF y y =⋅-===AOB ∴∆的面积为.（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0 设直线():1l y k x =-联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：()2222240k x k x k -++= 12212421x x kx x ⎧+=+⋅⋅⋅⎪∴⎨⎪=⋅⋅⋅⎩①②3FA FB = ()12131x x ∴+=+，即1232x x =+…③联立②③，解得：12313x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入①得：23k = k ∴=∴直线l 的方程为)1y x =-【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、抛物线中三角形面积的求解、焦点分弦成比例问题的求解；求解焦点分弦成比例问题的关键是能够根据向量共线的关系得到横坐标之间的关系，进而与韦达定理构造方程组求得结果.20．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）将点()0,0A x 代入直线方程可求得a ，结合离心率和椭圆,,a b c 关系可求得2b ，进而得到椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y（i ）将直线l 与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式表示出MN ，由二次函数最大值可求得MN 的最大值；（ii ）设直线0:DE y k x =，直线()11:22y AM y x x =++，两式联立可求得D x ，同理可得E x ，根据=OD OE 得到0D E x x +=，整理得()00120122120k mk y y k y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将直线l 与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入上式得()()02220k m k k k m ---=，从而得到0220k k m --=，将直线l 与直线DE 联立可求得2P x =，进而得到结果. 【详解】（1）设()0,0A x点A 在直线20x y ++=上 020x ∴+=，解得：02x =- ()2,0A ∴- 2a ∴=离心率c e a ==c ∴=2223b a c =-= ∴椭圆C 的方程为2214x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y（i ）2k = ∴由2214y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得：)2214xm++=即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得：29m <129x x ∴+=-，212449m x x -=MN ∴===216144144m -+≤MN ∴=≤=当且仅当0m =时，MN（ii ）若=OD OE ，则O 为DE 的中点 0D E x x ∴+= 设直线0:DE y k x =，直线()11:22y AM y x x =++ 两个方程联立可得：()10122y x k x x +=+，解得：()101122Dy x k x y =+- 同理可得：()202222E y x k x y =+-()()1201102222022D E y y x x k x y k x y ∴+=+=+-+-即()()0121202112220k y x y y k y x y y +-++-=()21010201212220y m y mk y k y k y y y y k k--∴⋅+⋅++-= 化简得：()00120122120k mk y y k y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…①由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222244y m k y k -+=，即()222214240k y my m k +-+-= 由()()2222441440m kmk ∆=-+->得：2214m k <+122214m y y k ∴+=+，22122414m k y y k-=+ 代入①得：22000224221201414k mk m k m k k k k k -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2200420k k m k mk m k ∴----=，即()()02220k m k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合又0k ≠ 0220k k m ∴--=又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+消去y 得：02P mx k k==-∴点P在定直线2x=上【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、弦长公式的应用和椭圆中的定直线问题的求解；求解点在定直线问题的关键是能够通过已知等量关系得到变量之间的关系，从而将所求点的横坐标进行化简整理为定值，从而确定定直线.。