第七章 求矩阵特征值的数值方法和习题

也是属于 的特征向量．
证明： A a1 x1 a2 x2 a1 Ax1 a2 Ax2 a1 x1 a2 x2 ，
所以． a1 x1 a2 x2 是属于 的特征向量．
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2．幂法
幂法是计算实矩阵按模最大的特征值及其对应特征 向量的一种迭代方法， 主要适用于中小型矩阵和大型稀疏 矩阵。
Ax x ，即齐次线性方程组 I A x 0 有非零解．所以
系数行列式
I A 0 ．同时可知，属于 的特征向量是
4
I A x 0 的非零解．
定理 4． 为方阵 A 的特征值，P t 是一个多项式， 则 P 是
P A 的一个特征值．
其中 max( yk ) 是 yk 中绝对值最大的分量（注意，不是绝对值！ ） ．
例如， y 2, 3,1 ，则 max y 3 ． y 2, 3, 1 ，则
max y 3 。
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Azk 1 A2 zk 2 Ak z0 Ak z0 于是， zk ， ...... k k mk mk mk 1 max( A z0 ) mj
1
AT 。
（3）若 A 为正交矩阵，则 A 也是正交矩阵。 （4）若 A 为正交矩阵，则 A 1 或 A 1 。 （5）若 A, B 为同阶正交矩阵，则 AB 与 BA 也是正交矩阵。
3
T
定理 3． 为方阵 A 的特征值，则 是方程
I A 0
的根．
注．显然，若 为方阵 A 的特征值，则存在向量 x 0 ，使得：
1、预备知识
定义 1 设 A (aij ) nn , 如果 AT A ，则称 A 为对称矩阵。
定义 2 设 A (aij ) R nn 是对称矩阵，且对 x Rn , x 0 ， 都有
xT Ax aij xi x j 0 ，
i , j 1
n
则称 A 为正定矩阵。
1
定理 1． 设 A (aij ) R nn ，则下列条件等价 （1） A 为正定矩阵。 （2） A 的所有特征值都是正数。 （3） A 的各阶顺序主子式均大于零。
T
定义 3． 设 A (aij ) C nn ，且 A A I ，则称 A 为正交矩阵。
2
定理 2．关于正交矩阵有如下结论 （1）单位矩阵是正交矩阵。 （2）若 A 为正交矩阵，则 A
证明： 设 P t am t m am1t m1 ...... a1t a0 ，x 是属于 的 特征向量．则：
P A am Am am1 Am1 ...... a1 A a0 I ，
P A x am Am x am1 Am1 x ...... a1 Ax a0 x
所以, zk 渐近于特征方向,但是
zk 可能无限增长或收敛于零． 8
2 0 1 例如，矩阵 A 1 1 0 ，取 z0 (1, 0,1)T ，利用上述方法 1 0 2
计算如下
k
0 1 0 1
1 3 1 1
2 7 4 -1
3 13 11 -9
4 17 24 -31
am m x am1 m1 x ...... a1 x a0 x P x
即， P 是 P A 的一个特征值
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定理 5． 为方阵 A 的特征值， 若 x1 , x2 都是属于 的特征向量， 则：
a1 x1 a2 x2 a1 a2 0
设 n 阶矩阵 A= (aij ) 有 n 个线性无关的特征向量 x1 , x2 ,..., xn ， 对 应 的 特 征 值 分 别 是
1 , 2 ,...,n ， 按 模 排 列 为
1 2 ... n ，称 1 为矩阵 A 的主特征值。
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对于任何初始向量 z0 ，构造迭代序列：
j （1） 当 1 2 ... n 时，由于 1， 1
j 0k ． 1
故有
k 1 n j A a1 x1 a j x j 1 j 2 mk max( Azk 1 ) max ， k 1 n j max a1 x1 a j x j j 2 1
zk Azk 1 A2 zk 2 ... Ak z0 ，
又设 z0 a1 x1 a2 x2 ... an xn ，


Ax j j x j ( j 1, 2,..., n) ，
n j k k 因此有： zk 1 a1 x1 a j ( ) x j 。 1 j 2
5 3 41
6 44
7 -29
zk
-73 -307
-79 -161 -249
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为了控制 zk 的无限增长或收敛于零，利用如下幂法的计算格式．
任取初始向量 z0 , z0
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1 ，

yk Azk 1 mk max( yk ) z y / m k k k
k 1, 2,
j 1
由此可得：
j a1 x1 a j x j 1 j 2 zk ， k n j max a1 x1 a j x j j 2 1
n
11
k
mk max Azk , k 1, 2,... ．
k
12
k 1 n j A a1 x1 a j x j 1 j 2 mk max( Azk 1 ) max ， k 1 n j max a1 x1 a j x j j 2 1